第13章 勾股定理（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义通过考点分级与题型分类构建知识体系，用表格梳理教学目标和重难点，以“核心定理-证明方法-应用场景”递进呈现考点，结合思维导图明晰勾股定理与逆定理的内在联系及实际问题建模思路。 讲义亮点是分层题型设计与方法技巧提炼，如立体图形最短路径问题通过展开转化为平面直角三角形，培养空间观念和转化思想，折叠问题设未知数列方程提升运算能力。典例与变式覆盖基础到综合，支持学生自主复习，助力教师精准分层教学。

第13章 勾股定理 教学目标 1.熟练掌握勾股定理及逆定理，能准确进行直角三角形边长计算和形状判定。 2.会识别勾股数，能用拼图法验证勾股定理的合理性。 3.能将实际问题、立体图形转化为直角三角形模型，求解最短路径等问题。 4.体会数形结合思想，提升几何建模和逻辑推理能力。 5.了解勾股定理的历史文化价值，激发数学学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理及逆定理的核心内容与直接应用。 （2）勾股数的识别与简单拓展。 （3）直角三角形相关的边长计算、形状判定。 （4）实际问题与直角三角形模型的转化。 2.难点 （1）立体图形表面最短路径问题的展开与建模。 （2）复杂实际场景中直角三角形的构造与边长对应。 （3）逆定理应用中最长边的判断与定理适用条件把握。 （4）折叠、网格问题中勾股定理的综合运用。 考点01勾股定理的基本内容 1.核心定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为、，斜边长为，则。 2.公式变形：，，，。 3.适用条件：仅针对直角三角形，非直角三角形不能直接应用；使用时需明确直角边与斜边，未明确斜边时需分类讨论。 考点02勾股定理的证明 1.证明核心思路：通过图形割补拼接，利用面积不变性列等式推导，体现“形数结合”思想。 2.常见证明方法： 赵爽弦图法：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即。 总统证法：梯形面积=3个直角三角形面积之和，即。 拼图法：用两个全等直角三角形拼成直角梯形，通过面积等式推导。 证明关键：明确图形各部分边长与直角三角形、、的对应关系，确保面积计算准确。 考点03勾股定理的直接应用（求边长与面积） 1.已知直角三角形两边求第三边： 若已知两直角边，直接用求解斜边。 若已知斜边和一条直角边，用（或）求解另一直角边。 2.直角三角形相关面积问题： 以直角三角形三边为边长向外作正方形，两直角边对应正方形面积和等于斜边对应正方形面积。 以直角三角形三边为斜边长向外作等腰直角三角形，两直角边对应等腰直角三角形面积和等于斜边对应图形面积。 3.含特殊角的直角三角形：30°角所对直角边是斜边的一半，结合勾股定理可快速求边长。 考点04勾股定理的逆定理（直角三角形判定） 1.逆定理内容：若三角形三边长、、满足（为最长边），则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2.判定步骤： 先确定三角形的最长边（设为）。 计算与的值。 比较两者大小：相等则为直角三角形，为钝角三角形，为锐角三角形。 3.实际应用：用于判断三角形形状、构造直角三角形（如古埃及土地测量）。 考点05勾股数 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数。 2.常见勾股数： 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41等。 衍生勾股数：由基础勾股数同时乘以同一正整数得到（如3k、4k、5k，为正整数）。 3.勾股数规律： 奇数开头：若勾为奇数（为正整数），则股为，弦为。 偶数开头：若勾为偶数(，为正整数)，则股为，弦为。 考点06勾股定理的实际应用（情境类问题） 1.折叠问题： 核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折叠形成的图形全等。 解题关键：设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解。 2.最短路径问题： 立体图形表面最短路径：将立体图形（长方体、圆柱、三棱柱等）侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形，再用勾股定理计算。 平面图形最短路径：结合轴对称性质转化线段，构造直角三角形求解。 3.测量与航海问题： 常见场景：梯子靠墙、台风影响范围、航海路线判断、建筑物高度测量等。 解题思路：将实际问题转化为直角三角形模型，明确已知边与待求边的关系，应用勾股定理求解。 考点07弦图与勾股树相关探究 1.赵爽弦图变式： 由四个全等直角三角形和一个小正方形组成大正方形，可通过面积关系计算边长、面积或验证勾股定理。 拓展应用：弦图的拼接、分割问题，阴影部分面积计算。 2.勾股树（规律探究）： 图形特征：以直角三角形三边为边作正方形，再以正方形边为斜边作直角三角形，依次迭代形成“树状”结构。 规律总结：所有小正方形面积和等于最外层大正方形面积，可通过勾股定理迭代推导。 考点08综合拓展（动点、旋转与跨章节综合） 1.动点问题：直角三角形中动点移动时，结合勾股定理求线段长度、取值范围或特殊位置。 2.旋转问题：直角三角形旋转后，利用旋转性质（对应边相等、旋转角相等）构造新直角三角形，应用勾股定理求解。 3.跨章节综合：与平面直角坐标系、一次函数、四边形（矩形、菱形、正方形）等知识结合，通过勾股定理建立等量关系。 题型01勾股定理直接求边长 方法技巧： 1.明确直角三角形中直角边与斜边，斜边为最长边，记为，直角边为、； 2.直接套用公式：，变形求边：、()； 3.计算时注意单位统一，结果需化简二次根式。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在中，，，，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·月考）若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，求梯子顶端距地面的高度的长． 题型02勾股定理逆定理判断三角形形状 方法技巧： 1.找出三角形三边中最长边，设为，另外两边为、； 2.验证关系：若，则为直角三角形；若，为锐角三角形；若，为钝角三角形； 3.注意三边需为正实数，且满足三角形三边关系(两边之和大于第三边)。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框，则能组成一个直角三角形木框的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．6，7，8 【变式1】．（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则 °． 【变式2】．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【变式3】．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 题型03勾股数识别与应用 方法技巧： 1.勾股数定义：满足的三个正整数，常见组：3,4,5；5,12,13；7,24,25等； 2.拓展性质：若是勾股数，则(为正整数)也是勾股数； 3.应用时需结合题意筛选符合条件的勾股数，避免非正整数干扰。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列是勾股数的是（ ） A．，2， B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，6，7 【变式1】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．1，4，9 D．1，2，3 【变式2】．（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（    ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．1.5，2，2.5 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合探究． 【知识回顾】能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数． 在一次数学活动课上，王老师设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 3 8 15 24 … b 4 6 8 10 … c 5 10 17 26 … 【规律探究】 （1）分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（）的代数式表示：________，________，________； 【规律验证】 （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并说明理由． 题型04网格中勾股定理求线段长 方法技巧： 1.网格中线段多为直角三角形斜边，先构造直角三角形(横向、纵向为直角边)； 2.数出直角边所占网格单位长度，记为、，则线段长为； 3.复杂网格可通过分割图形转化为多个直角三角形求解。 【典例1】．（2025·江西抚州·二模）如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中有三条线段． (1)请将三条线段首尾相连成格点三角形，并画在右边备用图中（用字母表示）； (2)判断该三角形的形状． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 题型05勾股定理与面积问题 方法技巧： 1.单一图形面积：直角三角形面积，结合勾股定理可互求边长与面积； 2.组合图形(如赵爽弦图)：利用“总面积=各部分面积和”，即大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积()； 3.阴影部分面积：通过“割补法”转化为直角三角形或正方形面积，再用勾股定理计算关键边长。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是 ． 【变式1】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留） 【变式3】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 题型06勾股定理与无理数(数轴表示) 方法技巧： 1.数轴上表示无理数：以数轴上单位长度为直角边，构造直角三角形，斜边即为无理数； 2.步骤：①取数轴上点表示整数； ②过作垂线，截取长度为的线段； ③以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点，即为无理数对应的点； 3.常见无理数：(1,1为直角边)、(1,2为直角边)等。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 【变式1】．（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为 ． 【变式2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知七个实数，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________； (2)借助圆规，在数轴上准确的用点表示数（提示：利用图中的正方形），并将题目中所给的这七个实数用“”连接起来． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图①．这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)这个魔方的棱长为______（直接写出答案）． (2)图①中阴影部分是一个正方形．把图①中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，那么点B在数轴上表示的数为______（直接写出答案）． (3)若的立方根是2，b为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 题型07勾股定理实际应用(基础模型) 方法技巧： 1.梯子滑落模型：梯子长度为斜边，滑落前后满足； 2.旗杆/大树模型：构造直角三角形，旗杆(大树)高度、水平距离为直角边，绳长(斜边)为斜边； 3.解题步骤：建模→标量→套用勾股定理→验证结果合理性。 【典例1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【变式2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 【变式3】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 题型08立体图形表面最短路径 方法技巧： 1.核心思路：将立体图形表面展开为平面图形(长方体、圆柱等)，最短路径为平面上两点间线段； 2.长方体展开：分3种情况计算(长+宽、长+高、宽+高为直角边)，取最小值； 3.圆柱展开：侧面为长方形，底面圆周长为长，圆柱高为宽，最短路径为长方形对角线长。 【典例1】．（25-26七年级上·山东济南·期中）一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求的度数； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【变式3】．（25-26八年级上·北京·课后作业）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 题型09勾股定理与折叠问题 方法技巧： 1.折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，找到相等的线段和直角； 2.设未知数：设折叠后重合的线段长为，表示出其他相关线段； 3.构造直角三角形：在折叠后的直角三角形中套用勾股定理，列方程求解。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 【变式1】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 题型10勾股定理动态综合题 方法技巧： 1.动态问题(动点、动线)：确定动点运动范围，分情况讨论(如动点在不同边上)； 2.构造辅助线：过动点作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理表示线段长度； 3.结合方程思想：设动点运动距离为，列含的方程，求解后验证是否符合运动范围。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度，回答： (1)______；______；（用含t的代数式表示） (2)求当t为何值时，使得恰好把的周长平分？说明理由； (3)求当t为何值时，是以或为底的等腰三角形？说明理由． 【变式2】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 【变式3】．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点P运动的过程中，以为折痕折叠，求出点C恰好落在边上处时t的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动，直接写出______秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点P运动的时间t是_______秒． 题型11勾股定理与新定义问题 方法技巧： 1.理解新定义：如“类勾股三角形”“勾股分割点”等，提取定义中的核心数量关系； 2.转化为勾股定理问题：将新定义条件转化为的变形形式(如)； 3.结合图形分析：新定义常伴随特殊图形，需结合图形性质简化计算。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫作“高倍底”三角形，这条边叫作这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”． 【直角三角形中的“恰等中线”】 （1）如图，在中，，，，为的中线．求证：是“恰等中线”． 【等腰三角形中的“恰等中线”】 （2）已知，等腰是“恰等三角形”，，求底边的值． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”． (1)【概念理解】如图①，在四边形中，，，则四边形__________（填“是”或“不是”）“垂直四边形”． (2)【性质探究】如图②，四边形的对角线交于点O，．求证：． (3)【问题解决】如图③，是四边形内一点，分别连接，且，，，连接交于点； ①试证明：四边形是“垂直四边形”； ②若，，，则的长为__________．（直接写出答案） 【变式3】．（25-26八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫作“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则 ， ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 题型12勾股定理与旋转综合 方法技巧： 1.旋转性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角等于对应边的夹角； 2.构造直角三角形：旋转后往往形成等腰三角形，过旋转中心作垂线，结合勾股定理求边长； 3.常见模型：将三角形绕直角顶点旋转90°，转化为直角三角形求解。 【典例1】．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 【变式1】．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图1，在中，，，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)图1中哪两个三角形旋转后可以重叠在一起？说明旋转过程； (2)如图2，当，时，求的长． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【变式3】．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）问题提出 如图（1），和都是等腰直角三角形，，连接，，是的中点，过作于点，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），令，，三点共线，连接，把绕点旋转得到，连接．请画出图形并证明：； （2）如图（1），若，，三点不共线，求证：； 问题拓展 （3）若，，将绕点旋转，直接写出的最大值和最小值． 题型13勾股定理最值问题 方法技巧： 1.最短路径最值：利用“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算； 2.线段和差最值：通过“对称变换”(如作某点关于直线的对称点)，转化为两点间距离，再用勾股定理求解； 3.定值最值：在动点运动中，利用勾股定理表示线段长度，结合二次函数求最值(八年级可结合不等式性质)。 【典例1】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式2】．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【变式2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【变式3】．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 勾股定理 教学目标 1.熟练掌握勾股定理及逆定理，能准确进行直角三角形边长计算和形状判定。 2.会识别勾股数，能用拼图法验证勾股定理的合理性。 3.能将实际问题、立体图形转化为直角三角形模型，求解最短路径等问题。 4.体会数形结合思想，提升几何建模和逻辑推理能力。 5.了解勾股定理的历史文化价值，激发数学学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）勾股定理及逆定理的核心内容与直接应用。 （2）勾股数的识别与简单拓展。 （3）直角三角形相关的边长计算、形状判定。 （4）实际问题与直角三角形模型的转化。 2.难点 （1）立体图形表面最短路径问题的展开与建模。 （2）复杂实际场景中直角三角形的构造与边长对应。 （3）逆定理应用中最长边的判断与定理适用条件把握。 （4）折叠、网格问题中勾股定理的综合运用。 考点01勾股定理的基本内容 1.核心定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长为、，斜边长为，则。 2.公式变形：，，，。 3.适用条件：仅针对直角三角形，非直角三角形不能直接应用；使用时需明确直角边与斜边，未明确斜边时需分类讨论。 考点02勾股定理的证明 1.证明核心思路：通过图形割补拼接，利用面积不变性列等式推导，体现“形数结合”思想。 2.常见证明方法： 赵爽弦图法：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即。 总统证法：梯形面积=3个直角三角形面积之和，即。 拼图法：用两个全等直角三角形拼成直角梯形，通过面积等式推导。 证明关键：明确图形各部分边长与直角三角形、、的对应关系，确保面积计算准确。 考点03勾股定理的直接应用（求边长与面积） 1.已知直角三角形两边求第三边： 若已知两直角边，直接用求解斜边。 若已知斜边和一条直角边，用（或）求解另一直角边。 2.直角三角形相关面积问题： 以直角三角形三边为边长向外作正方形，两直角边对应正方形面积和等于斜边对应正方形面积。 以直角三角形三边为斜边长向外作等腰直角三角形，两直角边对应等腰直角三角形面积和等于斜边对应图形面积。 3.含特殊角的直角三角形：30°角所对直角边是斜边的一半，结合勾股定理可快速求边长。 考点04勾股定理的逆定理（直角三角形判定） 1.逆定理内容：若三角形三边长、、满足（为最长边），则该三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。 2.判定步骤： 先确定三角形的最长边（设为）。 计算与的值。 比较两者大小：相等则为直角三角形，为钝角三角形，为锐角三角形。 3.实际应用：用于判断三角形形状、构造直角三角形（如古埃及土地测量）。 考点05勾股数 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数。 2.常见勾股数： 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41等。 衍生勾股数：由基础勾股数同时乘以同一正整数得到（如3k、4k、5k，为正整数）。 3.勾股数规律： 奇数开头：若勾为奇数（为正整数），则股为，弦为。 偶数开头：若勾为偶数(，为正整数)，则股为，弦为。 考点06勾股定理的实际应用（情境类问题） 1.折叠问题： 核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折叠形成的图形全等。 解题关键：设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解。 2.最短路径问题： 立体图形表面最短路径：将立体图形（长方体、圆柱、三棱柱等）侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”构造直角三角形，再用勾股定理计算。 平面图形最短路径：结合轴对称性质转化线段，构造直角三角形求解。 3.测量与航海问题： 常见场景：梯子靠墙、台风影响范围、航海路线判断、建筑物高度测量等。 解题思路：将实际问题转化为直角三角形模型，明确已知边与待求边的关系，应用勾股定理求解。 考点07弦图与勾股树相关探究 1.赵爽弦图变式： 由四个全等直角三角形和一个小正方形组成大正方形，可通过面积关系计算边长、面积或验证勾股定理。 拓展应用：弦图的拼接、分割问题，阴影部分面积计算。 2.勾股树（规律探究）： 图形特征：以直角三角形三边为边作正方形，再以正方形边为斜边作直角三角形，依次迭代形成“树状”结构。 规律总结：所有小正方形面积和等于最外层大正方形面积，可通过勾股定理迭代推导。 考点08综合拓展（动点、旋转与跨章节综合） 1.动点问题：直角三角形中动点移动时，结合勾股定理求线段长度、取值范围或特殊位置。 2.旋转问题：直角三角形旋转后，利用旋转性质（对应边相等、旋转角相等）构造新直角三角形，应用勾股定理求解。 3.跨章节综合：与平面直角坐标系、一次函数、四边形（矩形、菱形、正方形）等知识结合，通过勾股定理建立等量关系。 题型01勾股定理直接求边长 方法技巧： 1.明确直角三角形中直角边与斜边，斜边为最长边，记为，直角边为、； 2.直接套用公式：，变形求边：、()； 3.计算时注意单位统一，结果需化简二次根式。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ． 答：的长是． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·月考）若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的知识．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得到斜边． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（    ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和是解题的关键． 根据勾股定理，直接计算斜边即可． 【详解】∵ 直角边分别为3和4， ∴ 斜边满足， ∴， 则斜边长为5． 故选：B． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，求梯子顶端距地面的高度的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得． 题型02勾股定理逆定理判断三角形形状 方法技巧： 1.找出三角形三边中最长边，设为，另外两边为、； 2.验证关系：若，则为直角三角形；若，为锐角三角形；若，为钝角三角形； 3.注意三边需为正实数，且满足三角形三边关系(两边之和大于第三边)。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框，则能组成一个直角三角形木框的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股逆定理，根据勾股逆定理，若三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方，则该三角形为直角三角形，据此进行计算各选项即可判断． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江西九江·期中）在中，，，，则 °． 【答案】 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 【变式2】．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【变式3】．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 题型03勾股数识别与应用 方法技巧： 1.勾股数定义：满足的三个正整数，常见组：3,4,5；5,12,13；7,24,25等； 2.拓展性质：若是勾股数，则(为正整数)也是勾股数； 3.应用时需结合题意筛选符合条件的勾股数，避免非正整数干扰。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）下列是勾股数的是（ ） A．，2， B．4，5，6 C．6，8，10 D．5，6，7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，勾股数是指三个正整数，满足勾股定理，只需验证各选项是否满足该等式且均为正整数． 【详解】解：A、∵，但1.5和2.5不是正整数，∴不是勾股数； B、∵，∴不是勾股数； C、∵，且均为正整数，∴是勾股数； D、∵，∴不是勾股数； ∴故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（  ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．1，4，9 D．1，2，3 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，符合题意； B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．1.5，2，2.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且满足勾股定理（其中最大），按照勾股数定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A：均为正整数，但，不是勾股数，不符合题意； B：不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C：均为正整数，且，是勾股数，符合题意； D：不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合探究． 【知识回顾】能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数． 在一次数学活动课上，王老师设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 3 8 15 24 … b 4 6 8 10 … c 5 10 17 26 … 【规律探究】 （1）分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（）的代数式表示：________，________，________； 【规律验证】 （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并说明理由． 【答案】（1），，；（2）是，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的数字规律，勾股数的定义和勾股定理的逆定理等知识点，解决此题的关键是找到规律； （1）根据表格中数字的规律得到相应的整式即可； （2）根据整式的化简得到左右两边相等，再根据勾股定理的逆定理即可得到答案； 【详解】解：（1），， （2）猜想：以为边的三角形是直角三角形． 理由：因为，， 所以， 所以以为边的三角形是直角三角形． 题型04网格中勾股定理求线段长 方法技巧： 1.网格中线段多为直角三角形斜边，先构造直角三角形(横向、纵向为直角边)； 2.数出直角边所占网格单位长度，记为、，则线段长为； 3.复杂网格可通过分割图形转化为多个直角三角形求解。 【典例1】．（2025·江西抚州·二模）如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线，即可求解． 【详解】解：因为， 所以长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线， 如图， 共有14条线段． 故选：D 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中有三条线段． (1)请将三条线段首尾相连成格点三角形，并画在右边备用图中（用字母表示）； (2)判断该三角形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)该三角形为直角三角形 【分析】本题主要考查网格里的作图，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据线段的长度调整位置即可； （2）计算出三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：由勾股定理得， ，，， ， 该三角形为直角三角形． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 【变式3】．（25-26八年级上·江西·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，在网格中画直角三角形； （1）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解； （2）画一个直角边长分别为和的直角三角形，则它的斜边长为，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，即为所求（答案不唯一）． 题型05勾股定理与面积问题 方法技巧： 1.单一图形面积：直角三角形面积，结合勾股定理可互求边长与面积； 2.组合图形(如赵爽弦图)：利用“总面积=各部分面积和”，即大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积()； 3.阴影部分面积：通过“割补法”转化为直角三角形或正方形面积，再用勾股定理计算关键边长。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和．进而可求出边长． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 则字母A所代表的正方形的边长是． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见详解 (2)15 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及逆定理等知识， （1）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后由折叠的性质可得，易知，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，进而可得，设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵将沿折叠得， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）∵将沿折叠得， ∴， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒ 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ﹒ 【变式3】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，若正方形，的面积分别为和，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，根据可知，根据正方形，的面积分别为和，可知，，代入求出的长度即为正方形的边长． 【详解】解：如下图所示， ， ， 正方形，的面积分别为和， ，， ， ， ， 正方形的边长是. 故选：D． 题型06勾股定理与无理数(数轴表示) 方法技巧： 1.数轴上表示无理数：以数轴上单位长度为直角边，构造直角三角形，斜边即为无理数； 2.步骤：①取数轴上点表示整数； ②过作垂线，截取长度为的线段； ③以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴于点，即为无理数对应的点； 3.常见无理数：(1,1为直角边)、(1,2为直角边)等。 【典例1】．21．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由勾股定理得，即可得到点M在数轴上表示的数是． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， ∴点M在数轴上表示的数是 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了，，，及点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知七个实数，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答） (1)点表示数，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________，点表示数___________； (2)借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：利用图中的正方形），并将题目中所给的这七个实数用“”连接起来． 【答案】(1)，，，； (2)见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解题的关键． （）根据在数轴上的位置即可求解； （）根据数轴的数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案． 【详解】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数，点表示数，点表示数， 故答案为：，，，； （2）解：， ∴在数轴上准确地表示数，如图所示， 由数轴可知，． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图①．这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27． (1)这个魔方的棱长为______（直接写出答案）． (2)图①中阴影部分是一个正方形．把图①中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，那么点B在数轴上表示的数为______（直接写出答案）． (3)若的立方根是2，b为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根，勾股定理，数轴上的点与实数的对应关系，实数的小数部分求解，平方根的计算．掌握立方根、平方根的计算方法，结合勾股定理求线段长度是解题的关键． （1）根据正方体体积公式进行计算即可； （2）先通过勾股定理得到阴影正方的边长，再利用数轴上的点的位置关系，结合点对应，得出点表示的数； （3）先根据立方根的定义求出，再确定小正方形边长的小数部分，然后代入计算代数式的值，最后根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：魔方的棱长为． 故答案为3． （2）解：魔方棱长为3，则每个小立方体棱长为1， 阴影正方形的边长是小立方体的面对角线，长度为， 点B在数轴上表示的数为． 故答案为． （3）解：由题意得， 解得， 由（2）可知， 的小数部分为， 将，代入 得到， 的平方根为． 题型07勾股定理实际应用(基础模型) 方法技巧： 1.梯子滑落模型：梯子长度为斜边，滑落前后满足； 2.旗杆/大树模型：构造直角三角形，旗杆(大树)高度、水平距离为直角边，绳长(斜边)为斜边； 3.解题步骤：建模→标量→套用勾股定理→验证结果合理性。 【典例1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，露出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 【变式2】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高_________． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 【变式3】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． (1)求两点之间的距离； (2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)400海里 (2)该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 题型08立体图形表面最短路径 方法技巧： 1.核心思路：将立体图形表面展开为平面图形(长方体、圆柱等)，最短路径为平面上两点间线段； 2.长方体展开：分3种情况计算(长+宽、长+高、宽+高为直角边)，取最小值； 3.圆柱展开：侧面为长方形，底面圆周长为长，圆柱高为宽，最短路径为长方形对角线长。 【典例1】．（25-26七年级上·山东济南·期中）一个长方体盒子按如图所示放置，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的外表面爬到盒顶的点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】分别从三个路径计算讨论，得出结果再比较最短路径． 【详解】解：分三条路径考虑： ①从正面和上底面爬行，如图： 此时，， 则； ②从正面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则； ③从下底面和右侧面爬行，如图： 此时，， 则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用，解题关键是灵活考虑最短路径的几种不同情况分类讨论计算再比较大小． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，如图在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路分隔（宽度忽略不计），经测量，米，米，米，米． (1)求的度数； (2)若每米石子路的造价为20元，当石子路时最短，求修小路的最少花费． 【答案】(1) (2)修小路的最少花费是288元． 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论； （2）用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米20元，列式计算即可解答． 【详解】（1）因为，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 所以； （2）由（1）可知， 在中，由勾股定理得： （米） ， 即， （米）， （元）， 故修小路的最少花费是288元． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，画出相应展开图求解即可，结合图形找出最短路程是解题关键． 【详解】解：如图所示展开， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·北京·课后作业）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 题型09勾股定理与折叠问题 方法技巧： 1.折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，找到相等的线段和直角； 2.设未知数：设折叠后重合的线段长为，表示出其他相关线段； 3.构造直角三角形：在折叠后的直角三角形中套用勾股定理，列方程求解。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上的点处，折痕与交于点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 由折叠得，，，可得，利用勾股定理求出长，可得长，设，，，在中，利用勾股定理列方程可求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠得：，，， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴ 故答案为： 【变式1】．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【答案】或7 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或7． 故答案为：或7． 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点在边上运动，沿着折叠得到．若线段与边相交，则记交点为． (1)若，求的长度； (2)如图，当，求的长度； (3)如图，在点的运动过程中，当时，连接，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)的长为或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据勾股定理得，然后利用等面积法即可求解； （）过作于点，同（）理得，由折叠性质可知，，，所以，求得，故有，然后通过勾股定理即可求解； （）分如图，当与重合时，如图，当在下方时，然后通过全等三角形的判定与性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点， 同（）理得， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当与重合时， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 过作于点，作于点， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 综上可得：的长为或． 题型10勾股定理动态综合题 方法技巧： 1.动态问题(动点、动线)：确定动点运动范围，分情况讨论(如动点在不同边上)； 2.构造辅助线：过动点作垂线，构造直角三角形，利用勾股定理表示线段长度； 3.结合方程思想：设动点运动距离为，列含的方程，求解后验证是否符合运动范围。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用． （1）先根据沙尘中心移动速度及时间求出，再利用勾股定理求的长； （2）令，由等腰三角形三线合一，可得，用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 在中，， ， 即的长为； （2）解： ， 市会受到沙尘暴的影响． 如图，令， ， ， ， ， ， 即市受到沙尘暴影响的时间持续． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度，回答： (1)______；______；（用含t的代数式表示） (2)求当t为何值时，使得恰好把的周长平分？说明理由； (3)求当t为何值时，是以或为底的等腰三角形？说明理由． 【答案】(1) (2)当时，使得恰好把的周长平分，理由见解析 (3)秒或3.6秒时，是以或为底的等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键． （1）由速度乘以时间得到，利用勾股定理列式求出，由此得到； （2）根据恰好把的周长平均分得到关于t的方程，故可求解； （3）根据等腰三角形的定义，可分①时，直接求出t的值；②时，过点B作于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得． 【详解】（1）解：∵点D从点C出发，沿边往A运动，当运动到点A时停止，运动的时间为t秒，运动的速度为每秒2个单位长度， ∴, ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）∵恰好把的周长平均分， ∴ 故 解得 ∴当时，使得恰好把的周长平分； （3）解：①时，，∴． ②时，如图，过点作于F， ，∴， ∴， ∴，， 综上所述，秒或3.6秒时，是以或为底的等腰三角形． 【变式2】．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿的方向运动，到点C停止运动，且点P运动速度为，设运动时间为． (1)________； (2)连接，当平分时，求t的值； (3)当点P在边上时，若，求t的值； (4)若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理，可以求出的长； （2）过点作于点，根据平分，得，推出，得，根据，求出的值，即可得出根据点运动速度为，即可求出； （3）过点作，根据等积法求出，根据勾股定理结合图形求出，得出，最后求出结果即可． （4）若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，可得，设，列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵当运动到边时，， 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴点的运动距离为： ， ∴． （4）解：若动点M在射线上运动，当为直角三角形时，如图所示： ①当点M与点重合时，，； ②当时，设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查三角形上动点问题，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，根据题意构造三角形，利用三角形的性质，计算． 【变式3】．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）中，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点P运动的过程中，以为折痕折叠，求出点C恰好落在边上处时t的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动，直接写出______秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点P运动的时间t是_______秒． 【答案】(1)的长为 (2)C恰好落在边上处时t的值为秒 (3) (4)或5或8 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合折叠的性质得，则在中，，代入数值计算，即可作答． （3）当时，则是直角三角形，再根据，，故，代入数值进行计算，即可作答． （4）理解题意，根据为等腰三角形进行分类讨论，再逐个情况作图，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵在点P运动的过程中，以为折痕折叠，点C恰好落在边上处 ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； （3）解：∵小丽在探究过程中发现当秒时，点P与点C重合，此时是直角三角形，点P继续运动， ∴当时，则是直角三角形， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∴点P继续运动，直接写出秒时，再次成为直角三角形； （4）解：∵在点P运动的过程中， ∵为等腰三角形 ∴依题意，当时，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示： 则， 即， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 即． 综上：当为等腰三角形时，点P运动的时间t是或5或8秒． 题型11勾股定理与新定义问题 方法技巧： 1.理解新定义：如“类勾股三角形”“勾股分割点”等，提取定义中的核心数量关系； 2.转化为勾股定理问题：将新定义条件转化为的变形形式(如)； 3.结合图形分析：新定义常伴随特殊图形，需结合图形性质简化计算。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：若三角形一条边上的高的长度等于这条边长度的2倍，则这个三角形叫作“高倍底”三角形，这条边叫作这个三角形的“基底”． (1)概念理解：下列属于“高倍底”三角形的有________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③三边长分别是的三角形． (2)问题探究：如图，是“高倍底”三角形，是“基底”．若，，求的长； (3)应用拓展：是“高倍底”三角形，是“基底”， ．将沿着边翻折得到，连接，若，且有一条边长为5，求的长． 【答案】(1)③ (2)的长为 (3)的长为或 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠-垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高等知识的综合，理解“高倍底”三角形，掌握等边三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，数形结合分析思想是解题的关键． （1）根据“高倍底”三角形的定义，根据等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用等知识分别验证各选项是否符合即可； （2）如图所示，过点作延长线于点，则，可证是等腰直角三角形，解得，，由是“高倍底”三角形，是“基底”，得到，即可求解； （3）根据题意作图，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；运用勾股定理，等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等边三角形，过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等边三角形不是“高倍底”三角形； 如图所示，等腰直角三角形，，过点作于点，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，不符合“高倍底”三角形的定义，故等腰直角三角形不是“高倍底”三角形； 三边长分别是的三角形， ∵， ∴该三角形是直角三角形， 如图所示，， ∴是边的高，且， ∴三边长分别是的三角形符合“高倍底”三角形的定义，是“高倍底”三角形； 故选：③； （2）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，即， 解得，， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”， ∴， ∴． 答：的长为 （3）如图所示， ∵将沿着边翻折得到，连接，延长交于点，过点作延长线于点， ∴垂直平分， ∴， ∵是“高倍底”三角形，是“基底”，， ∴， ∴， 第一种情况，当时， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当时，则， ∴， 在中，， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”． 【直角三角形中的“恰等中线”】 （1）如图，在中，，，，为的中线．求证：是“恰等中线”． 【等腰三角形中的“恰等中线”】 （2）已知，等腰是“恰等三角形”，，求底边的值． 【答案】（1）见解析；（2）底边的值为或． 【分析】此题主要考查了新定义、勾股定理、等腰三角形的性质；熟练掌握新定义，利用勾股定理解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，再比较即可求证； （2）分①当腰上的中线时；②当底边上的中线时，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴是“恰等中线”； （2）∵等腰是“恰等三角形”，， 分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过作于， ∵，∴，， ∴， ∴中，， ∴中，， ∴； 如图，当底边上的中线时， 则，且， 设，则， ∴， ∴， ∴． 综上所述，底边的值为或． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”． (1)【概念理解】如图①，在四边形中，，，则四边形__________（填“是”或“不是”）“垂直四边形”． (2)【性质探究】如图②，四边形的对角线交于点O，．求证：． (3)【问题解决】如图③，是四边形内一点，分别连接，且，，，连接交于点； ①试证明：四边形是“垂直四边形”； ②若，，，则的长为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂直四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）①先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂直四边形， ②根据垂直四边形的性质、勾股定理、结合①的结论计算即可． 【详解】（1）解：是， 证明：连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； （2）证明：∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴； （3）①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ 即， ∴四边形是垂直四边形； ②由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式3】．（25-26八年级上·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学活动课上，同学们对具有特殊结构特征的三角形进行探究．求真小组给出了“底倍高三角形”的定义：如果一个三角形中，有一边等于这边上高的倍，那么称这个三角形为底倍高三角形，这条边叫作“倍底边”．请根据这一定义解决他们提出的如下问题． 概念理解：（1）如图1，是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边．若，则 ， ； （2）如图2，中，，，．小颖判断是一个以为倍底边的底倍高三角形，她的结论正确吗？说明理由； 探索运用：（3）如图3，已知线段，点是平面内一点，且是一个以线段为倍底边的底倍高三角形．若的面积为，，请直接写出中边的长． 【答案】（1），；（2）小颖的结论不正确，理由见解析；（3）边的长为或 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解决问题的关键是正确理解“底倍高”三角形的概念、画出图形，根据分类讨论的思想进行解答． （1）根据“底倍高”三角形的概念求出，再根据勾股定理求出； （2）过点作于点，根据勾股定理的逆定理可得，利用等面积法求出，得到，即可判定； （3）过点作于点，根据题意求出，，进而得到，分两种情况：当时，，当时，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1） 是一个底倍高三角形，其中，边为倍底边， ， ， 故答案为：，； （2）小颖的结论不正确，理由如下： 如图，过点作于点， ，，， ， ， ，即， ， ， 不是一个以为倍底边的底倍高三角形，故小颖的结论不正确； （3）如图，过点作于点， 是一个以线段为倍底边的底倍高三角形， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，则， ， ； 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，边的长为或． 题型12勾股定理与旋转综合 方法技巧： 1.旋转性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角等于对应边的夹角； 2.构造直角三角形：旋转后往往形成等腰三角形，过旋转中心作垂线，结合勾股定理求边长； 3.常见模型：将三角形绕直角顶点旋转90°，转化为直角三角形求解。 【典例1】．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； 实践运用： 过点作于点，于点，证得，进而证得四边形是正方形，设正方形的边长为，列方程求解即可． 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： 实践应用： 过点作于点，于点， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， 四边形是正方形， ， 设， 、， ， 、， ， 在中，， 即， 解得或， 当时， 在中，、、， 满足，即， 则符合题意， 当时， 在中，、、， 由于，与矛盾， 则不符合题意，故舍去， ， ， 答：的长为． 【变式1】．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图1，在中，，，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)图1中哪两个三角形旋转后可以重叠在一起？说明旋转过程； (2)如图2，当，时，求的长． 【答案】(1)与，见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称和旋转对称的性质，勾股定理，理解轴对称和旋转对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称性质及旋转的定义即可求解； （2）根据轴对称和旋转的性质可得，在根据勾股定理可求出的长． 【详解】（1）解：和，理由如下： 根据轴对称性质，得到，， ， 绕点顺时针旋转可以得到． （2）由轴对称可知， ， 三点在一条直线上． 在中． 【变式2】．（25-26九年级上·全国·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，．再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到． （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到． 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ， ∴ 是直角三角形，， ． （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ， ∵，，， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理逆定理等知识，掌握利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3】．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）问题提出 如图（1），和都是等腰直角三角形，，连接，，是的中点，过作于点，探究与的数量关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），令，，三点共线，连接，把绕点旋转得到，连接．请画出图形并证明：； （2）如图（1），若，，三点不共线，求证：； 问题拓展 （3）若，，将绕点旋转，直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）； 【分析】（1）根据提示作出图形，由题得，再利用边角边（）； （2）连接并延长至点，使，连接，，．易证（），再证（），则，，，进而即可得证； （3）易得，由即可得解． 【详解】（1）解：作图如下： 证明：连接，把绕点旋转得到，连接． 和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 和关于点对称， ， ，， ， 在和中， ，，， ． （2）证明：连接并延长至点，使，连接，，． 是的中点， ， ，， ， ∴，， ， ， ， ，且， ， ，， ， ， 于点， ． （3）由（2）知，为中点， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、含有直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型13勾股定理最值问题 方法技巧： 1.最短路径最值：利用“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算； 2.线段和差最值：通过“对称变换”(如作某点关于直线的对称点)，转化为两点间距离，再用勾股定理求解； 3.定值最值：在动点运动中，利用勾股定理表示线段长度，结合二次函数求最值(八年级可结合不等式性质)。 【典例1】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．（20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； (2)几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； (3)代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②5； (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据 ，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． （2）解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：根据 ， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $