专题01 二次函数的意义、图象 同步●培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题01 二次函数的意义、图象 同步●培优讲义 ✺知识框架 1.概念认知：从生活实际问题抽象函数模型，掌握二次函数定义、组成要素及常见变式，精准区分二次函数与一次函数、分式函数。 2.图象认知：掌握描点法画基础二次函数图象，认识抛物线、顶点、对称轴等核心几何概念。 3.性质探究：掌握系数a对抛物线开口方向、宽窄、增减性、最值的影响，建立数形结合的核心解题思维。 ✅本节课是二次函数入门核心，依托实际情境引出二次函数概念，区别于一次函数、反比例函数，重点掌握最简二次函数y=a(a≠0)的图象特征与函数性质，为本章后续复杂二次函数的图象、平移、综合应用打下基础。 ✺学习目标 1.熟记二次函数的定义、一般形式及变式结构；认识抛物线基本特征，熟练掌握y=a(a≠0)的图象形态与核心性质。 2.能准确判定二次函数、求解参数取值；能规范使用描点法绘制二次函数基础图象；能结合图象分析函数增减性与最值，具备基础建模与数形结合能力。 3.通过实例建模、图象观察、规律归纳，培养逻辑推理、直观想象、归纳总结的数学核心素养。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=a的图象和性质 题型5.y=a+k的图象和性质 题型6.y=a(x‑h)2的图象和性质 题型7.y=a(x‑h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型12.二次函数图象与各项系数符号 ✺知识清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 3.顶点式形式：y=a(x-h)2+k（可直接读出顶点坐标）。 4.自变量取值范围：一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，﹣＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点六、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 ★易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 知识点七、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 ★注意：c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 2．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 3．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 3．下列函数中哪些是二次函数？ （1）；                 （2）；           （3）； （4）；                （5）． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 3．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4.y=a的图象和性质 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 3．在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 题型5.y=a+k的图象和性质 1．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 2．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ． 3．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 题型6.y=a(x‑h)2的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 3．通过_____法画出和的图象 通过图象可知： 的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________． 的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________． 题型7.y=a(x‑h)2+k的图象和性质 1．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的最小值为__________． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 题型8.二次函数图象的平移 1．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 2．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 3．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 3．已知抛物线 (1)将抛物线的解析式化成的形式为：______________ (2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，当取何值时，随的增大而减小； 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．抛物线的对称轴是直线_______． 3．在平面直角坐标系中，用描点法画出 二次函数的图象． 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，若，当时，，当时，总有，则实数的取值范围是_______ ． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 2．二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 二、填空题 5．抛物线的顶点坐标为______． 6．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 7．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 8．二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 三、解答题 9．已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 10．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 11．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 12．已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的意义、图象 同步●培优讲义 ✺知识框架 1.概念认知：从生活实际问题抽象函数模型，掌握二次函数定义、组成要素及常见变式，精准区分二次函数与一次函数、分式函数。 2.图象认知：掌握描点法画基础二次函数图象，认识抛物线、顶点、对称轴等核心几何概念。 3.性质探究：掌握系数a对抛物线开口方向、宽窄、增减性、最值的影响，建立数形结合的核心解题思维。 ✅本节课是二次函数入门核心，依托实际情境引出二次函数概念，区别于一次函数、反比例函数，重点掌握最简二次函数y=a(a≠0)的图象特征与函数性质，为本章后续复杂二次函数的图象、平移、综合应用打下基础。 ✺学习目标 1.熟记二次函数的定义、一般形式及变式结构；认识抛物线基本特征，熟练掌握y=a(a≠0)的图象形态与核心性质。 2.能准确判定二次函数、求解参数取值；能规范使用描点法绘制二次函数基础图象；能结合图象分析函数增减性与最值，具备基础建模与数形结合能力。 3.通过实例建模、图象观察、规律归纳，培养逻辑推理、直观想象、归纳总结的数学核心素养。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=a的图象和性质 题型5.y=a+k的图象和性质 题型6.y=a(x‑h)2的图象和性质 题型7.y=a(x‑h)2+k的图象和性质 题型8.二次函数图象的平移 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型12.二次函数图象与各项系数符号 ✺知识清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 3.顶点式形式：y=a(x-h)2+k（可直接读出顶点坐标）。 4.自变量取值范围：一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，﹣＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点六、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 ★易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 知识点七、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 ★注意：c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 2．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 3．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2） 将代入，得． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 2．二次函数的二次项是_____，一次项系数是_______，常数项是_______． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．下列函数中哪些是二次函数？ （1）；                 （2）；           （3）； （4）；                （5）． 【答案】（2）（3）（4）是二次函数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）不是二次函数，不符合题意； （2）是二次函数，符合题意； （3）是二次函数，符合题意； （4）是二次函数，符合题意； （5）不是二次函数，不符合题意． 综上分析可知：（2）（3）（4）是二次函数． 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 2．若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意二次项的系数不能为且最高次数为． 根据二次函数的定义，列出，求解即可． 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ ， 解得， ∴综上． 故答案为：． 3．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2、常数项是； (2)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0、常数项是； (3)是二次函数，二次项系数是、一次项系数是1、常数项是0； (4) ∵ ∴不是二次函数． 【分析】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． （4）略． 题型4.y=a的图象和性质 1．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 2．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 3．在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【答案】(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （3） 略 题型5.y=a+k的图象和性质 1．对于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．将二次函数解析式化为顶点式，结合开口方向、对称轴、顶点坐标及最值逐一分析选项。 【详解】解：A：∵ ， ∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意； B：函数图象的对称轴是直线，选项错误，符合题意； C：∵顶点式直接得出顶点为，选项正确，不符合题意； D：∵开口向下， ∴当时，y有最大值，选项正确，不符合题意； 故选：B。 2．如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解． 【详解】解：∵顶点是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)填表如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 填表、函数图象略； （2） 解：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 题型6.y=a(x‑h)2的图象和性质 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 2．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上， 当时，最小为， 又∵， ∴时，最大为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性． 3．通过_____法画出和的图象 通过图象可知： 的开口方向_______ ，对称轴_______，顶点坐标___________． 的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________． 【答案】 描点 向下 向下 【详解】解：略 题型7.y=a(x‑h)2+k的图象和性质 1．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 2．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 题型8.二次函数图象的平移 1．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 2．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 3．已知把二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． (1)试确定的值； (2)指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解； （2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为， ∴原二次函数的解析式为， ∴，，． （2）解：由（1）可知，二次函数，即， ∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键． 题型9.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， 故选：C． 2．将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 【详解】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 3．已知抛物线 (1)将抛物线的解析式化成的形式为：______________ (2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，当取何值时，随的增大而减小； 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所求求出对称轴和顶点坐标，再根据开口向上即可得到增减性． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 题型10.画y=ax2+bx+c的图象 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 2．抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，用描点法画出 二次函数的图象． 【答案】 描点、连线画出抛物线如图： 【分析】本题考查了利用描点法画二次函数的图象，根据二次函数的解析式求出图象上的点是解题关键．将x和对应的y值列表，再在平面直角坐标系中描点，最后用曲线连接即可画出图形． 【详解】解：函数的x和对应的y值列表如下： x … 0 1 … y … 1 1 … 题型11.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．已知二次函数，若，当时，，当时，总有，则实数的取值范围是_______ ． 【答案】或 【分析】 根据题意可得二次函数的解析式为，则可推出当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；求出，则当时，随的增大而增大；则当时，，当时，，据此求出的值，再由对称性求出当时，，据此可得答案． 【详解】解：当时，二次函数的解析式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ∵， ∴， ∴当时，随的增大而增大； ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， 解得或（舍去）， 由对称性可知，当时，， ∵当时，总有， ∴或 ． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 2．二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系回答即可． 【详解】解：二次函数中，决定该函数图象的开口方向和开口大小，在确定的条件下，决定图象对称轴的位置，决定图象与轴交点的位置． 故答案为：；；；． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标．根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 2．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 4．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 二、填空题 5．抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，其顶点是，据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 6．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 7．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0 【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 8．二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 三、解答题 9．已知 是二次函数． (1)当时，随的增大而减小，求的值． (2)若有最大值，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的定义和性质，根据二次函数的定义和性质求出的值是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，，解得或，进而得到； （2）根据二次函数的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二次函数， ，， 或， 当时，随的增大而减小， 函数图象开口向上， ， ； （2）解：有最大值， 函数图象开口向下， ， ， 该函数的表达式为． 10．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 11．已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 12．已知二次函数． (1)当时，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若二次函数的图象经过点，顶点坐标． ①求关于的函数解析式； ②求该二次函数的图象顶点最低时的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴为直线，求解即可； （2）①根据二次函数的图象经过点，得出，根据顶点坐标得出，解答即可； ②由①知，，得出顶点有最低点，求出二次函数的解析式即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ． （2）解：①∵二次函数的图象经过点， ， ， ∵二次函数的顶点坐标为， ，， ； ②由①知，， ∴当时，顶点纵坐标取得最小值为0，此时顶点最低点为， 二次函数中， ∴二次函数的解析式为， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $