专题01 二次函数的意义与图像 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“知识点梳理-题型专训-自我检测”递进式构建二次函数知识体系，通过目录清晰划分3个核心知识点与12大基础题型、2类提高题型，用表格归纳函数定义、图像平移规律等要点，即时训练衔接理论与应用，凸显重难点内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如“根据二次函数定义求参数”培养抽象能力，提高题型如“销售问题列关系式”强化模型意识，自我检测覆盖不同难度。通过例题解析与变式训练，帮助学生用数学思维分析问题，既支持基础薄弱学生掌握方法，也为优秀学生提供拓展空间，助力教师实施精准分层教学。

专题01 二次函数的意义与图像重难点题型专训（3个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列二次函数关系式 1 题型二、二次函数的识别 2 题型三、根据二次函数的定义求参数 3 题型四、y=ax²的图象和性质 4 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7 题型八、二次函数图象的平移 8 题型九、把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型十、画y=ax²+bx+c的图象 10 题型十一、y=ax²+bx+c的图象与性质 11 题型十二、二次函数图象与各项系数符号 12 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数关系式——销售问题 1 题型二、二次函数关系式——几何图形 2 第三部分・自我检测 知识点01 函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）二次函数的二次项系数是________． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）关于x的函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的图像是由抛物线向___________平移___________个单位长度得到的；此函数图像开口向___________，对称轴是___________，当___________时，y有最___________值，是___________． 【基础题型一 列二次函数关系式】 【例1】（25-26九年级上·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 3．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【基础题型二 二次函数的识别】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【基础题型三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 3．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)若点在此抛物线上，直接写出n的值． 【基础题型四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·期末）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【基础题型五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 1．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【基础题型六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线，当自变量的值满足时，与其对应的函数的最大值是，则的值为___________． 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）抛物线开口______，顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而减小，当x______时，y随x的增大而增大． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【基础题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·课后作业）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数，当时，y的取值范围____________． 1．（2026·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）若点在二次函数的图象上，则的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”） 3．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【基础题型八 二次函数图象的平移】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为______________． 3．（2026·内蒙古兴安·模拟预测）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【基础题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 1．（25-26九年级上·山东烟台· 阶段检测）通过配方法将二次函数化成的形式，此二次函数可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，将表达式化成的形式_____． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数（a为常数）． (1)若， ①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标； ②当时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围； ③当时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求． (2)若点、点，当此二次函数的图象与线段有两个交点时，直接写出a的取值范围．（温馨提示的解集为或．) 【基础题型十 画y=ax²+bx+c的图象】 【例1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【例2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数． (1)求出二次函数图象的对称轴； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的大致图象； (3)根据函数图象回答：当时，的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线 (1)在直角坐标系中画出函数图像； … … … … (2)判断在抛物线的上方还是下方？并说明理由． 【基础题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 1．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）二次函数（是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 已知当时，对应的函数值．以下结论：①；②；③关于的方程的正实数根在1和之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 3．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求a的值； (2)已知是抛物线上两点．当时，对于，都有，求a的取值范围． 【基础题型十二 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 _____（填序号）． 3．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【提高题型一 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出．现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：每涨价1元，月销售量就减少． (1)填空：设每千克水产品涨价元，则每千克水产品的销售利润可以表示为 元，月销售量可以表示为 ，月销售利润（单位：元）与之间的函数关系式为 ． (2)若商店计划销售利润达到元，并且希望尽量减少库存，则销售价应定为多少？ (3)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【提高题型二 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【例2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 1．（2026·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图1，一张边长为a、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是______． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 2．（2026·山西吕梁·模拟预测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为(    ) A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 6．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 7．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 8．（2025·上海徐汇·一模）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 9．（2025·山东菏泽·三模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）定义运算：，若从、3、中任取两个分别作为和，得到一个代数式． (1)用“画树状图”或“列表”的方法，求出代数式所有可能出现的结果； (2)设，求是二次函数的概率． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 14．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 15．（2026·广东佛山·一模）二次函数，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为 ； (2)在坐标系中画出平移后的图象并写出与的交点坐标； (3)点，在新的函数图象上，且、两点均在对称轴同一侧，若，则 ．（填不等号） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的意义与图像重难点题型专训（3个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列二次函数关系式 1 题型二、二次函数的识别 2 题型三、根据二次函数的定义求参数 3 题型四、y=ax²的图象和性质 4 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7 题型八、二次函数图象的平移 8 题型九、把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型十、画y=ax²+bx+c的图象 10 题型十一、y=ax²+bx+c的图象与性质 11 题型十二、二次函数图象与各项系数符号 12 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数关系式——销售问题 1 题型二、二次函数关系式——几何图形 2 第三部分・自我检测 知识点01 函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（  ） A． B． C．（其中m是常数） D．（其中a是常数） 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为一次函数，故此选项不符合题意； B、，为二次函数，故此选项符合题意； C、，为一次函数，故此选项不符合题意； D、，当时，，此时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）二次函数的二次项系数是________． 【答案】2 【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x（x-1） =2x2-2x． 所以二次项系数2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）关于x的函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的定义．根据“函数的图象与轴有两个交点”可得，且方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵函数的图象与轴有两个交点， ∴，且方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 综上：的取值范围为：且． 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据规律“上加，下减，左加，右减”可得，整理得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移 3 个单位得，再向左平移 2 个单位得． 故选：A． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的图像是由抛物线向___________平移___________个单位长度得到的；此函数图像开口向___________，对称轴是___________，当___________时，y有最___________值，是___________． 【答案】 右 4 下 直线 4 大 0 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值， 根据左加右减的平移规律可知如何平移，根据题目中的函数解析式，可以写出它们的开口方向、对称轴和是否有最高点或最低点，本题得以解决． 【详解】解：二次函数的图像是由抛物线向右平移4个单位长度得到的；此函数图像开口向下，对称轴是直线，当时，y有最大值，是0． 故答案为：右；4；下；直线；4；大；0． 【基础题型一 列二次函数关系式】 【例1】（25-26九年级上·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 1．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】通过，可得到与的函数关系，通过正方形的面积可得到与的函数关系． 【详解】解：， ， ， 所以与是一次函数关系； ， ， 所以与是二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是通过题意准确找出关系式． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 3．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 【基础题型二 二次函数的识别】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【例2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义：形如，其中，逐项判断每个选项即可得到答案． 【详解】解：A：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； B：是分式，不是整式，不满足二次函数定义，不符合题意； C：，满足二次函数定义，符合题意； D：是一次函数，不满足二次函数定义，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【分析】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【详解】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 3．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 【基础题型三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【例2】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 3．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)若点在此抛物线上，直接写出n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式； （2）将代入解析式即可求解. 【详解】（1）解：∵是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）， 答: （2）由可得：二次函数的解析式为， 当时，， 即 【基础题型四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·广东广州·期末）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 【例2】（25-26九年级上·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 2．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【答案】(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）略 【基础题型五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 1．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 2．（2026·上海杨浦·二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解． 【详解】解：∵顶点是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)填表如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 填表、函数图象略； （2）解：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 【基础题型六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 【例2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线，当自变量的值满足时，与其对应的函数的最大值是，则的值为___________． 【答案】8或2/2或8 【分析】根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴抛物线的开口向下，函数的最大值为0，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧， ①当时，当时，取得最大值，即：，解得：或（舍去）； ②当时，当时，取得最大值，即：，解得：或（舍去）； 综上：的值为8或2； 故答案为：8或2． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 2．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）抛物线开口______，顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而减小，当x______时，y随x的增大而增大． 【答案】 向下 【分析】由所给函数解析式可知其图象的对称轴、开口方向和顶点坐标，根据开口方向及对称轴即可确定函数值与自变量的变化情况． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大； 故答案为：向下；；；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数和的图象，并解决下列问题： 将抛物线向_______平移_______个单位得到抛物线． 【答案】左，6 二次函数和的图象如图所示． 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数的平移等知识点，正确画出函数图象成为解题的关键． 先在坐标系内画出二次函数和的图象，然后根据函数图象即可解答． 【详解】解：略． 【基础题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·课后作业）抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 【例2】（2026九年级上·广西南宁·专题练习）已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 1．（2026·天津南开·模拟预测）顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 2．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）若点在二次函数的图象上，则的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键． 先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上， 故答案为：>． 3．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 【基础题型八 二次函数图象的平移】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线平移仅改变位置，不改变开口方向及大小，即二次项系数不变．原抛物线的，选项中仅D的，故无法通过平移得到． 【详解】解：原抛物线为，其二次项系数．平移后抛物线的值必须保持不变． 验证选项： A：，，可能通过平移得到． B：，，可能通过平移得到． C：，，可能通过平移得到． D：，，与原抛物线不同，无法通过平移得到． ∴仅选项D的二次项系数改变，故不可能由原抛物线平移得到． 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，由平移规律得出值不变是解题的关键． 2．（2026·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为______________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为即 故答案为：． 3．（2026·内蒙古兴安·模拟预测）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 【基础题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）将二次函数改写成顶点式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过配方法将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 1．（25-26九年级上·山东烟台· 阶段检测）通过配方法将二次函数化成的形式，此二次函数可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法的步骤解答即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；②顶点式： y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0）；③交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，将表达式化成的形式_____． 【答案】 【分析】利用配方法进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数（a为常数）． (1)若， ①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标； ②当时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围； ③当时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求． (2)若点、点，当此二次函数的图象与线段有两个交点时，直接写出a的取值范围．（温馨提示的解集为或．) 【答案】(1)①；  ②  ③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知二次函数的增减性的应用． （1）①先由得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标； ②由二次函数的开口方向和对称轴得到函数的增减性，然后得到关于n的不等式，进而得出n的取值范围； ③结合二次函数的增减性求得m和n的值，然后求得的值； （2）由二次函数图象与线段有两个交点得到的最小值小于2，当和时，，从而得到有关a的不等式组，然后解不等式组求得a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． ②∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵当时，函数值随的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． ③∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，， ∴当时，取得最小值， ∵当时，， 当时，， ∴最大值， ∴． （2）解：∵点，点， ∴轴， ∵二次函数的图象与线段有两个交点， ∴的最小值小于2，与的函数值均大于或等于2， ∵， ∴， 解得：或， ∴的取值范围是或． 【基础题型十 画y=ax²+bx+c的图象】 【例1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【例2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数． (1)求出二次函数图象的对称轴； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的大致图象； (3)根据函数图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线 (2) 抛物线的大致图象如图所示： (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标为，令，求出抛物线与轴的交点坐标为和，再描点，连线画图像即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的对称轴为直线； （2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得：或， 抛物线与轴的交点坐标为和； （3）由函数图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线 (1)在直角坐标系中画出函数图像； … … … … (2)判断在抛物线的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1) 列表 … 0 1 2 3 4 … … … 画图如下 (2) 下方，理由：∵当时，， ∴在抛物线的下方． 【分析】本题考查了二次函数的图象，以及二次函数的图象上点的特征，解题的关键是： （1）列表、描点、连线即可； （2）求出当时，对应的函数值即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十一 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 1．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）二次函数（是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 已知当时，对应的函数值．以下结论：①；②；③关于的方程的正实数根在1和之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标得到的值和与的关系，求出对称轴，再结合时得到的取值范围，逐个判断四个结论即可． 【详解】∵将 代入得 解得，， 抛物线对称轴为直线， ∵时，，代入得 ， 整理得 ， ∴， ∴； ∵，，，∴，故①错误； ∵是时的函数值， ， 是时的函数值， ， ∴ ， ∵， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为，时， 根据对称性，关于对称的点是， ∴时， 又∵时， ∴方程的正实数根在和之间，故③正确； 抛物线开口向下，点到对称轴距离越大，函数值越小． 若，则 ，即 ， 平方化简得，即当时，故④错误． 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 3．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求a的值； (2)已知是抛物线上两点．当时，对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a的取值范围为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解不等式组． （1）把点代入抛物线中解方程即可； （2）根据a的正负情况，利用二次函数的增减性数形结合画出图形分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中， 得， 解得（与题意不符，舍去）或， 故； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， 抛物线对称轴为直线． 当时，开口向上，，则位于对称轴的右侧， ∵在给定条件下总有，如图1所示， 则，解得； 当时，开口向下，， ∴，则必在对称轴的左边， ∵在给定条件下总有，如图2所示， 则，解得， 从而； 综上可得：a的取值范围为或． 【基础题型十二 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）二次函数中，________决定该函数图象的开口方向和开口大小，在________确定的条件下，________决定图象对称轴的位置，________决定图象与轴交点的位置． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数图象与系数的关系回答即可． 【详解】解：二次函数中，决定该函数图象的开口方向和开口大小，在确定的条件下，决定图象对称轴的位置，决定图象与轴交点的位置． 故答案为：；；；． 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）二次函数（为常数，）的自变量与函数对应值如表： … 0 … … … 若，则点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，判断点所在的象限；根据表格中和时值相等，确定二次函数的对称轴为，结合顶点处的函数值判断开口方向，进而确定、、的符号关系，最终得出点的坐标符号及其所在象限． 【详解】解：由表格可知，当和时，均为，则对称轴为． 当时，且，说明顶点为最低点，抛物线开口向上，因此． 当时，，代入函数得： 由和， 因此，点的坐标为，横纵坐标均为负数，位于第三象限． 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 _____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，可判断①②；由时及抛物线的对称性可判断③⑤；由函数最大值大于0可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，②正确； ∴，①正确； 由图象可得时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，，③错误； 由图象可得函数最大值大于0， ∴，④正确； 由抛物线对称性可知，时，时， 可得当时，不确定，⑤错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 3．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【提高题型一 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 2．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）某商店销售一种成本为40元/kg的水产品，若按50元/kg销售，一个月可售出．现商店计划上调销售价以获得更高的利润，经市场调研发现：每涨价1元，月销售量就减少． (1)填空：设每千克水产品涨价元，则每千克水产品的销售利润可以表示为 元，月销售量可以表示为 ，月销售利润（单位：元）与之间的函数关系式为 ． (2)若商店计划销售利润达到元，并且希望尽量减少库存，则销售价应定为多少？ (3)当销售价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)；； (2)销售价应定为元/ (3)当销售价定为元/时会获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数在销售问题中的应用，关键是利润公式“利润=每千克利润×销售量”，以及二次函数的最值求解． （1）根据涨价后的售价与成本的差表示每千克利润，根据涨价对销售量的影响表示月销售量，再结合利润公式得到函数关系式； （2）通过列方程求解利润为元时的涨价金额，结合“减少库存”的需求选择更优解； （3）利用二次函数的顶点式求最值，确定最大利润对应的销售价． 【详解】（1）解：∵原售价为元/，成本为元/，涨价元， ∴每千克利润为元； ∵每涨1元，月销售量减少， ∴月销售量为kg； 月销售利润； 故答案为：；；． （2）解：根据题意，得， 展开整理得， 因式分解得， 解得，； ∵要尽量减少库存，即需要销售量尽可能大， ∴选择， 销售价为元/； （3）解：， ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值， 此时销售价为元/． 答：当销售价定为元/时会获得最大利润，最大利润是元． 【提高题型二 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 【例2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段检测）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 1．（2026·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可. 【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图1，一张边长为a、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 利用长方形的面积公式，可得出k关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】根据题意，得， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，k随a的增大而增大， ∴当时，k可以取得最小整数，此时． 故答案为： 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】(1)①2；②B (2)①；②， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求二次函数关系式，二次函数图象的性质，求二次函数的极值， 对于（1），先根据路程和速度求出时间，再根据得出关系式解答； 对于（2），先根据列出二次函数关系式，再根据图象的性质讨论最大值即可． 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 1．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 2．（2026·山西吕梁·模拟预测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为，即， 故选：D． 【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 3．（2026·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b；是实数，）的最小值分别为m和n，若，则的值为(   ) A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意配出顶点式，可分别写出和，再根据，写出，推出，即可求出和，即可求出． 【详解】解：由题意可知，有最小值， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ； 故选：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值，解题关键是用含有、的式子表示出和． 4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段检测）下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 5．（2026·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 6．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 7．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）已知函数使使成立的的值恰好只有2个时，则满足的条件是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的图象．画出图象，使成立的的值恰好只有2个．即函数图象与这两个条直线有2个交点，据此观察图象求解． 【详解】解：画出函数解析式的图象， 使成立的的值恰好只有2个即函数图象与这两个条直线有2个交点， 由图象及解析式可知，当或时，函数图象与这两个条直线恰好有2个交点． 故答案为：或． 8．（2025·上海徐汇·一模）已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 9．（2025·山东菏泽·三模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是___________． 【答案】（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 11．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）定义运算：，若从、3、中任取两个分别作为和，得到一个代数式． (1)用“画树状图”或“列表”的方法，求出代数式所有可能出现的结果； (2)设，求是二次函数的概率． 【答案】(1)，，，，， (2) 【分析】（1）画树状图，即可得出结论； （2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中是二次函数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，分别为，，，，，，； （2）解：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中是二次函数的结果有2种， 是二次函数的概率为． 【点睛】此题考查新定义，用树状图法求概率以及二次函数的定义．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 14．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 15．（2026·广东佛山·一模）二次函数，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为 ； (2)在坐标系中画出平移后的图象并写出与的交点坐标； (3)点，在新的函数图象上，且、两点均在对称轴同一侧，若，则 ．（填不等号） 【答案】(1)6 (2)， (3)或 【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标； （2）利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标； （3）结合二次函数图象的性质分析求解． 【详解】（1）解：将先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为， ， 故答案为：6； （2）解：平移后的函数图象如图： 联立方程组， 解得，， 与的交点坐标为：，； （3）解：点，在新的函数图象上，且、两点均在对称轴同一侧， 当、两点同在对称轴左侧时，若，则， 当、两点同在对称轴右侧时，若，则， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $