专题1.2二次函数y=a(x-h)2+k的图像 （重难点突破+过关检测）九年级数学上册浙教版

浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=a(x-h)²的图象 题型2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 题型3 抛物线的平移 题型4 待定系数法和数形结合 · 能画出y=a(x-h)²+k的图象，明确其为抛物线； · 掌握 y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标；· 理解 y=a(x-h)²+k 与y=ax2图像的平移法则，会进行图像平移变换。 · 经历 “画图 — 观察 — 对比 — 归纳” 过程，培养数形结合与归纳能力。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 2. 二次函数+k的图像和性质 二次函数+k的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 3. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +k 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 4. 特殊形式 （1）当h=0时，y=的顶点在x 轴上，图像由y=的图像上、下平移 |k|个单位得到。 （2）当k=0时，y=ax²+k的顶点在y 轴上，图像由y=的图像左、右平移 |h|个单位得到。。 题型归纳 题型1二次函数y=a(x-h)²的图象 【例1】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【例2】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【例3】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 【变式练习】 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 3. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 4．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 5．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 6．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 【详解】解：根据二次函数图像性质，可知当时开口向上；当时开口向下； 对称轴为直线． 故答案为：向上；向下；． 7．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 【详解】（1）解：根据题意，满足题意的抛物线解析式为； （2）解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为． 8．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 题型2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 【例1】在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键． 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：列表， x … 0 1 … … 0 0 … x … 0 1 2 3 4 … … 4 2 4 … 描点，连线，得到函数图像如下， 由图象可知函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【例2】某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把二次函数解析式设为顶点式，再由所求抛物线的形状与函数的图象相同，且开口方向相反，得到 ，据此即可求得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为， 设该二次函数图象解析式为， 二次函数图象形状与函数的图象相同，且开口方向相反， ， 该二次函数的解析式为． 【例3】探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；；（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①根据二次函数的顶点式，即可得到顶点坐标． ②同①解答即可． （2）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，根据在轴上和轴上的坐标特征，得到此时的顶点坐标，即可得出答案，当顶点在轴上时根据写出满足条件的解析式即可． （3）根据二次函数的顶点式得到顶点坐标，对称轴和开口方向，根据已知条件得出当时，此时，继而得到当时，的取值范围． 【详解】（1）解：①∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； ②∵二次函数解析式为，变为顶点式为：， ∴此二次函数的顶点坐标为； 故答案为：①；②； （2）解：∵二次函数，因为，此二次函数的顶点坐标为， ∴当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 此时二次函数的解析式为， 当时，此时二次函数的解析式为，（答案不唯一） 当顶点在轴上时，，即顶点坐标为， 故答案为：；；（答案不唯一）； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向下，顶点坐标为， ∵与轴平行的直线与交于，两点， ∴该直线与抛物线的两个交点关于对称轴对称，到对称轴的距离相等， 当时，到对称轴的距离为， ∵点在左侧， ∴点的横坐标为， ∴当时，点到对称轴的距离不超过，且点在对称轴左侧， ∴的取值范围为. 【变式练习】 1．抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 2．抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了顶点式的性质，对于顶点式，其中顶点坐标为 根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 3．二次函数的最大值是_____． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题关键是明确二次函数的最值为顶点的纵坐标． 根据二次函数的顶点式，当开口向下时，函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为0． 故答案为：0． 4．二次函数图象的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是； 故答案为：． 5．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【答案】(1) 解：列表： x … 0 1 2 … … … 列表： x … … … … 列表： x … … … … 如图所示为所求： (2) ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为. (3) 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：函数开口向上，对称轴为直线，顶点为（2，-3） 6．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 【答案】(1)开口方向：向上；对称轴：直线；顶点： (2)开口方向：向下；对称轴：直线；顶点： 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键． （1）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标； （2）根据直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口向上， ， 抛物线的对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下， 抛物线对称轴为：直线；顶点坐标是：． 7．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了顶点式法求二次函数的解析式，掌握相关知识点是解题的关键． 设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入中，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． 8．已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 【答案】． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，根据题意，抛物线的顶点坐标为，把代入，求出的值即可，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 题型3 抛物线的平移 【例1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【例2】将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式为， 故选：C． 【变式练习】 1．将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出抛物线的顶点坐标再求出平移后的顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为， 故向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是． 故选A． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 2．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 3．抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 4．将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的顶点坐标是，可知平移后的顶点坐标是，写出平移后二次函数的顶点坐标式解析式即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 平移后的顶点坐标是， 平移后的二次函数解析式为． 故答案为：． 5．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 6．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． （1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案； （2）根据顶点式解析式直接回答即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即， 又， 解得， ，． （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 题型4 待定系数法和数形结合 【例1】已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 【例2】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． 【例3】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或 【分析】（1）①用待定系数法即可求解； ②当−（x−1）2＋4＝0时，解得 x1＝−1，x2＝3．则AB＝3−（−1）＝4，进而求解； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4，进而求解； ②观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝−（x−1）2＋k，得3＝−（0−1）2＋k， 解得 k＝4． ∴y＝−（x−1）2＋4； ②由y＝−（x−1）2＋4．可知顶点D（1，4）． 当−（x−1）2＋4＝0时， 解得 x1＝−1，x2＝3． ∴A（−1，0），B（3，0）． ∴AB＝3−（−1）＝4． ∴S＝×4×4＝8； （2）①根据点的对称性，折叠后的这部分函数的表达式为y＝−（x＋1）2＋4， ∴； ②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【变式练习】 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了顶点式法求二次函数的解析式，掌握相关知识点是解题的关键． 设抛物线解析式为，再把点代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入中，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． 2．根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式： （1）设出解析式，再利用待定系数法求解即可； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1））解：设抛物线的函数解析， 把点和的坐标代入中得， 解得 ， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设抛物线的函数解析式为， 将点的坐标代入中得，解得， ∴抛物线的函数解析式为． 3.如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 4.如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 【详解】解：由题意，得点的坐标为， ． 点都在抛物线上，且平行于x轴， 为等腰三角形，且轴． 为直角， 为等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为． 把代入，得，解得． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质和等腰直角三角形的性质，二次函数图像上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 5．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 6．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2) (3)不会碰到水柱．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点在图象上． 当时， ． 故答案为：， （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 一、单选题过关练习 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式． 利用形如的二次函数的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵形如的二次函数，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握其性质是关键；抛物线方程为顶点形式，直接根据顶点式公式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选 C． 3．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 4．二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选：A． 5．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 6．若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 7．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 8．平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称的拋物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线关于原点对称的解析式，只需将原函数中的x替换为，y替换为，然后求解新函数解析式即可． 【详解】解：∵原函数为关于原点对称时，则该函数上的任意一点的对称点为， ∴，即， ∴， 故选D． 9．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点式以及抛物线的性质．根据两抛物线开口方向相同、形状大小相同，则二次项系数相同，再结合顶点坐标，即可写出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， 抛物线的二次项系数为， 又抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 故选：． 10．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为过点，且平行于轴的直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最大值为， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 二、填空题 11．已知函数，那么的最大值为__________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查二次函数的性质 ，由二次函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点处取得最大值． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中，故抛物线开口向下，顶点坐标为，因此当时，取得最大值3． 故答案为：3． 12．如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】将抛物线向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是． 故答案为：． 13．若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可． 【详解】解：由于抛物线的开口向上， 则， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 14．抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据抛物线开口向上，图象全部在x轴上方则最小值大于零，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，其顶点坐标为，最小值为b． ∵图象全部在x轴上方， ∴， ∴b可取任意正数，如1（答案不唯一）． 故答案为1（答案不唯一）． 15．已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握形状和开口方向相同的二次函数二次项系数相等是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再根据图象的形状和开口方向与相同，可得a的值，即可解答． 【详解】解：∵该二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵图象的形状和开口方向与抛物线相同， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 16．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 17．如图，抛物线：与抛物线：相交于点T．过点T作x轴的平行线交抛物线于点A，交抛物线于点B，则线段AB的长度为________． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 由题意，得抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，设点横坐标为，可得，，再求的长即可． 【详解】解：设点横坐标为， 由题意，得抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ． 故答案为：． 18．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式组求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为， ∵，， ∴， ∴． 故选答案为． 三、解答题 19．某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把解析式设为顶点式，即，再由所求抛物线的形状与的函数图象相同得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵所求二次函数的顶点坐标为， ∴可设该二次函数解析式为， ∵所求二次函数的形状与的函数图象相同， ∴， ∴， ∴该二次函数表达式为或． 20．根据二次函数，的图象，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值、增减性． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，函数有最小值0； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 21．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)，，0，， (3)作图见详解 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，计算函数值，描点连线作图，掌握二次函数顶点式的特点，代入求值，根据表格信息作图的方法是解题的关键． （1）根据二次函数的顶点坐标为，对称轴直线为，即可求解； （2）把自变量的值代入计算即可求解函数值； （3）根据表格信息，描点、连线即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：把自变量的值代入求解， x … 1 3 5 … y … 0 … 故答案为：，，0，，； （3）解：根据表格信息，描点，连线，作图如下， 22．在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是实数）． (1)当 时，若点在该函数图象上，求b 的值； (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)小明说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）把点，分别代入解析式即可求解； （2）根据题意得出顶点是，代入，即可判断小明说法正确； 【详解】（1）解：当 时，， 把代入，得， ∴当 时，求b 的值为． （2）解：小明说法正确． ∵二次函数 ， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴顶点坐标为，在直线 上， ∴小明说法正确． 23．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 24. 如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该主缆所在抛物线的函数表达式； (2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)需要更换的这两根吊索之间的水平距离为 【分析】（1）根据已知条件确定抛物线顶点坐标，设出顶点式，再代入抛物线上一点的坐标求出解析式； （2）根据吊索总长度求出单根吊索长度，进而得到吊索顶端纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，最后计算两根吊索之间的水平距离． 【详解】（1）解：∵点O是的中点， ∴， ∴点C的坐标为， ∵最低处P距离桥面，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴设该主缆所在抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：∵这两根吊索的总长度为，这两根吊索的长度相等， ∴每根吊索的长度为， 把代入中得：， 解得：，， ∴， ∴需要更换的这两根吊索之间的水平距离为． 25．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图像 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=a(x-h)²的图象 题型2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 题型3 抛物线的平移 题型4 待定系数法和数形结合 · 能画出y=a(x-h)²+k的图象，明确其为抛物线； · 掌握 y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标；· 理解 y=a(x-h)²+k 与y=ax2图像的平移法则，会进行图像平移变换。 知识点讲解 1. 二次函数的图像和性质 二次函数的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位得到. (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，0） 2. 二次函数+k的图像和性质 二次函数+k的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 3. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +k 平移方向：左加右减是对（）而言，上加下减是对k而言。 4. 特殊形式 （1）当h=0时，y=的顶点在x 轴上，图像由y=的图像上、下平移 |k|个单位得到。 （2）当k=0时，y=ax²+k的顶点在y 轴上，图像由y=的图像左、右平移 |h|个单位得到。 题型归纳 题型1二次函数y=a(x-h)²的图象 【例1】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【例2】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【例3】若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【变式练习】 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3. 将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 4．抛物线经过点． (1)求的值； (2)写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 5．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 6．课堂归纳 图像 开口 开口 开口 越大，开口越小 对称轴 直线 顶点 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，随的增大而减小 ，随的增大而增大 7．已知一条抛物线开口方向和大小与抛物线的都相同，顶点与抛物线的相同． (1)求这条抛物线的解析式； (2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式． 8．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值。 题型2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 【例1】在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 【例2】某二次函数图象的顶点坐标为，形状与函数的图象相同，且开口方向相反，求该二次函数的解析式． 【例3】探究下列问题： (1)写出下列二次函数的顶点坐标． ①的顶点坐标为 ； ②的顶点坐标为 ． 若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”，像上面①②的函数均为“数轴函数”． (2)继续研究发现，对于，因为，当 时，的顶点在轴上；当 时，的顶点在轴上．请你写出一个顶点在轴上的二次函数解析式： ． (3)与轴平行的直线与交于，两点（点在点的左侧），若，请直接写出点横坐标的取值范围． 【变式练习】 1．抛物线的对称轴是直线_______． 2．抛物线的顶点坐标为________． 3．二次函数的最大值是_____． 4．二次函数图象的顶点坐标是______． 5．已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． x … 0 1 2 … … … x … … … … 列表： 6．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)； (2)． 7．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 8．已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 题型3 抛物线的平移 【例1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【例2】将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 3．抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 4．将二次函数的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后的二次函数解析式为______． 5．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 6．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 题型4 待定系数法和数形结合 【例1】已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【例2】根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【例3】（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D    ①求抛物线的解析式； ②求△ABD的面积． （2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴折叠到y轴的左侧，将折叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②． ①直接写出图像M所对应的函数解析式； ②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围． 【变式练习】 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 2．根据下列条件求函数解析式． (1)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过和两点，求抛物线的函数解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的函数解析式． 3.如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 4.如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C．若为直角，求a的值． 5．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 6．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 一、单选题过关练习 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 6．若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 8．平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称的拋物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 9．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为过点，且平行于轴的直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 二、填空题 11．已知函数，那么的最大值为__________． 12．如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______． 13．若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可） 14．抛物线的图象全部在x轴的上方，则b的一个值可为_________（只需写出符合条件的一个b的值）． 15．已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为______． 16．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 17．如图，抛物线：与抛物线：相交于点T．过点T作x轴的平行线交抛物线于点A，交抛物线于点B，则线段AB的长度为________． 18．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 三、解答题 19．某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 20．根据二次函数，的图象，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值、增减性． 21．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴； (2)完成下表： x … 1 3 5 … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)在平面直角坐标系中描点画出抛物线的图象． 22．在平面直角坐标系中，设二次函数 （a是实数）． (1)当 时，若点在该函数图象上，求b 的值； (2)小明说该二次函数图象的顶点在直线 上，你认为他的说法对吗？ 为什么？ 23．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 24. 如图，某悬索桥的主跨长（即），两座桥塔高（即），，，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以的中点为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该主缆所在抛物线的函数表达式； (2)现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离． 25．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $