北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C C B B A A A 11． 12． 13．，（不唯一） 14． 15．②③④ 16．（1）在中，由，可得 则由，可得 即，故有 故为等腰三角形． （2）选择条件①：时，由（1）知，则有， 此时， 与已知矛盾，三角形无解．不能选； 选择条件②：的面积为时， 由得， 故有，解得，，． 三角形存在且唯一，可选． 选择条件③：边上的高为3． 由得， 可得，则有，． 三角形存在且唯一，可选． 综上可知：选择条件②时，三角形存在且唯一，． 选择条件③时，三角形存在且唯一，． 17．（I）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”． 由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故． （II）由题意可知，的所有可能取值为，，，，且 ；； ；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 故的期望． （III）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 18．（1）设的最小正周期为， 在区间上具有单调性， ，解得； ，在区间上单调， ，即的图象关于成中心对称，（1） 若选条件①：为奇函数，则的图象关于成中心对称， 因为，这是不可能的，故条件①不成立； 若选条件②：，， 则的图象关于直线对称，（2） 由（1）（2），得和为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ，， ， ，又， ，． 若选条件③：，则的图象关于直线对称， 由（1）（2），得和为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ， ， ， ，又， ， ． （2），，当，即时，， 当，即时， 19．（1）当时，，， 所以， 又， 所以切线方程为，即． （2）， 当时，，解得， 故时，，单调递减；时，，单调递增， 故时，的极小值为，无极大值； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的极大值为，极小值为； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值为，极小值为； 综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为， 极小值为． （3）当时，由（2）知，在和上单调递增， 在上单调递减，且时，恒成立， 时，， 又的极大值为，极小值为， 所以存在实数时，函数有三个零点． 20．（1）， 由题意可知是在处的切线方程， 所以且，故， （2）由（1）知，，所以， 所以， 令，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 因此在单调递增，故， 所以函数在上单调递增 （3）由（2）知：当，单调递增，当，单调递减， 所以当时，取最小值，且，，，故存在，使得， 因此当和，，当，， 因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减， 由于，， 因此存在使得， 故当时，，此时单调递减，当时，，单调递增， 故在时取极小值， 故有1个极值点． 21．（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，，，，，，，，，满足， 显然⫋，且对于S中的任意两个不同元素，， ，，，，，，，，，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ，，，，， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对，，…，中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（*） 不妨设，，…，中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知，， 所以，， 又因为，，…，，所以，，…，都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（*）可得 ， 所以． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京牛栏山一中高三（上）开学考 数学 2026.8 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（ ） A． B． C． D． 4．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，，那么（ ） A．， B．， C．， D．， 5．设为实数，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 7．按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数，为了测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的常数大约为（ ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 8．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且A、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ） A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，（，且）在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是_________；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是_________． 12．若，则_________；_________． 13．能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组，的值是_________． 14．已知函数 ①函数的零点个数为_________． ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是_________． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点．若，则．其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：边上的高为3． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）． （I）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率； （II）从2007年至2016年随机选择3年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求的分布列与数学期望； （III）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 18．设函数．若在区间上具有单调性，且．再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 条件①：为奇函数；条件②：；条件③：． 19．已知函数． （1）若，求在处切线方程； （2）求的极大值与极小值； （3）证明：存在实数，当时，函数有三个零点． 20．已知函数，且曲线在处与轴相切． （1）求，的值； （2）令，证明函数在上单调递增； （3）求的极值点个数． 21．记表示有穷集合的元素个数．已知，是正整数，集合．若集合序列，，…，满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中，，…，； ②⫋，其中，，…，； ③对于S中的任意两个不同元素，，都存在唯一的，使得． （1）设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） ，，，， ，，，， （2）已知且集合序列，，…，是“平衡序列”，对于，，…，，定义：．证明： （i）当时，； （ii）． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $