第25章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心易错点，通过基础巩固、情境应用及创新题型，适配九年级上册单元复习，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|定义、解法、根的判别式等|第6题结合坐标象限，体现几何直观；第8题引用苏轼诗词，渗透文化传承| |填空题|6题|根与系数关系、同构二次方程等|第16题创设“同构二次方程”新定义，培养创新意识| |解答题|5题|解方程、实际应用、新定义证明|21题“美丽方程”探究，发展推理能力；20题结合闽超文创销量，强化模型意识|

第25章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程用配方法化为的形式，则，的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 6．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 8．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 9．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 13．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 14．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 15．近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______． 16．把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 三、解答题 17．解方程： (1)． (2)． 18．已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 19．某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 20．自月日“闽超”开赛以来，福建省各地掀起观赛热潮，相关周边产品需求持续攀升．某文创公司推出闽超吉祥物纪念品“五福天团”，并同步开展线上主题打卡活动．现要对活动方案进行升级，需要对定价和打卡人数进行调研． 素材 月份，参与“闽超线上打卡”活动的人数有人，随着“闽超”热度不断提升，月份的报名人数达到人． 素材 闽超吉祥物纪念品“五福天团”深受球迷喜爱，在销售中发现：纪念品的进价为每件元． 素材 在统计销售数据后，发现当纪念品售价为每件元时，每月销售量达到件．若纪念品售价每降价元，销售量就会增加件． 请完成下面两个任务． (1)确定增长率：求从月份到月份“闽超线上打卡”活动报名人数的平均增长率． (2)拟定价格方案：求当纪念品降价多少元时，商场可以尽量减少库存并获利元． 21．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第25章一元二次方程易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C D B A A B D 1．D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 2．B 【分析】先将常数项移到等号右侧，再对左侧配方得到要求的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，． 3．C 【分析】利用根的判别式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根． 4．C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 5．D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 6．B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 7．A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 8．A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 9．B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 10．D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 11．4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 12． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 13． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 14． 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 15． 【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为． 根据题意列方程得：， 解得：，， 因为增长率不能为负，不合题意，舍去． ∴该新能源汽车月平均增长率为． 16． 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得， ，，， ， ， 则， （2）解： ， 或， 所以，． 18．(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 19．(1) (2) 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【详解】（1）解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 20．(1) (2)每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元 【分析】（1）设月平均增长率为，4月基数人，经过两个月增长到6月人，套用平均增长率公式：初始量增长率最终量，列一元二次方程求解，舍去负根． （2）单件利润原售价进价降价；总销量原销量降价增加的销量；总利润单件利润销量．列方程求出两个降价值，减少库存应使销量尽可能大，因此选更大的降价． 【详解】（1）解：设从4月到6月报名人数的月平均增长率为． 4月人数：人，经过、两个月增长，因此列方程： ， 两边同除以： ， ， ①若，得； ②若，得，增长率不能为负，舍去． 答：月平均增长率为． （2）解：设纪念品每件降价元． 单件利润：元； 月销售量：件； 总利润为元，列方程： ， 整理标准一元二次方程：， 解得：，． 要求尽量减少库存，即销量越大越好，降价越多销量越高： 降价2元：销量（件）； 降价8元：销量（件）， ，因此取． 答：每件纪念品降价8元时，可尽量减少库存且获利10800元． 21．(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $