第25章一元二次方程 综合素养能力评价 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 该单元卷聚焦一元二次方程，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合亚冬会销售、几何动态等真实情境，考查概念理解、解法应用及综合建模，适配初中数学单元复习，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|一元二次方程概念、根的判别式、配方法|结合2025年期末真题，基础巩固| |填空题|7/21|根的定义、传染问题、几何与方程综合|第13题流感传染，体现模型意识| |解答题|6/59|解方程、利润问题、动态几何、等腰三角形综合|23题等腰三角形与方程综合，考查推理能力；19题亚冬会销售，落实应用意识|

第25章综合素养能力评价 总分:100分 时间：90分钟 一、选择题(每小题2分，共20分) 1.(2025·惠山区期末)下列是一元二次方程的是 ( ) A.2x+1=0 2.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A.2 B.4 C.8 D.2或4 3.用配方法解下列方程时，配方有错误的是 ( ) 化为 化为 化为 化为 4.(2025·台州期末)关于x的一元二次方程+mx-2=0(m为常数)，则该方程 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.实数根的个数与m的取值有关 5.已知a是一元二次方程 的解，则代数式 的值为 ( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6 6.(2025·武城期末)关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A. m≥0且m≠1 B. m>0 C. m≥0 D. m>0且m≠1 7.已知a是一元二次方程 较大的实数根，那么a的值应在 ( ) A.3和4之间 B.2和3之间 C.1和2之间 D.0和1之间 8.如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起来，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm²，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为( ) A.(30-2x)(40-x)=600 B.(30-x)(40-x)=600 C.(30-x)(40-2x)=600 D.(30-2x)(40-2x)=600 9.某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.经调查发现，该种商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件.在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元，每件商品应降价( ) A.10元 B.20元 C.10元或20元 D.13元 10.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x₁，x₂，若 则m的值是( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在 二、填空题(每小题3分，共21分) 11.(2025·青海)若x=1是一元二次方程 的一个根，则c的值为 . 12.(2025·常州)若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 . 13.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 个人. 14.(2025·玄武区一模)设x₁,x₂是关于x的方程 的根，且x1=x2(2x1-1),则k 的值为 . 15.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=5.正方形 DEFG的边长为，它的顶点D,E,G分别在△ABC的边上,则 BG的长为 . 16.若m，n是一元二次方程. 的两个实数根，则 的值为 . 17.已知关于x的方程 那么 的值为 . 三、解答题(共59分) 18.(18分)解下列方程: 配方法)； (3) (5)5x(x+3)=2(x+3); (6)(y-2)(y-4)=2. 19.(8分)(2025·南通模拟)某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售.经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件.从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价x元，请解答下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 件；(用含x的式子表示) (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达到8400元? 20.(8分)(2025·沭阳期末)已知关于x的一元二次方程. (k为常数). (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根x₁,x₂,且 求k的值. 21.(8分)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)在直角三角形ABC 中,∠C=90°,斜边. 两直角边的长a，b恰好是方程 的两个根，求m的值. 22.(8分)如图,在△ABC中, 点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s的速度移动，到达点 B时停止移动，点 Q从点B 开始沿射线BC以2cm/s的速度移动.点P，Q同时出发，当点 P停止移动时，点Q同时停止，设移动时间为 ts.当t为何值时，以点 A，P，Q，C为顶点的四边形的面积为19 cm²? 23.(9分)已知 的一条边BC的长为5，另外两条边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 的两个实数根. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时， 是以BC为斜边的直角三角形? (3)当m为何值时， 是等腰三角形?并求 的周长. 1. C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. A 10. A11.3 12.1 13.12 14.- 15.3 16.3 17.-₂18.解：(1)原方程可化为 (2)原方程可化为 即 则 (3)原方程可化为(3y+1)(y-1)=0, (4)原方程可化为 (5)原方程可化为(x+3)(5x-2)=0, (6)原方程可化为 即 则 19.(1)(400+20x) (2)解:根据题意,得(68-x-45)(400+20x)=8400,整理，得 解得 (舍去), 答：当该款吉祥物降价8 元时，月销售利润达到8400元. 20.(1)证明: ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)解：由根与系数的关系，得 k+1, 即 解得k=2或k=-1. 21.(1)证明:∵a=1,b=-m,c=2m-4, ∴无论m为何值，方程总有两个实数根. (2)解：∵两直角边的长a，b恰好是方程 4=0的两个根,∴a+b=m,ab=2m-4. ∴根据勾股定理，得 即 即 解得m=-2或m=6. 又 ∴m>2,∴m的值为6. 22.解:根据题意,得AP=t cm,BP=(6-t) cm,BQ=2t cm. ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, 当点 Q在点C下方时,0<t<4, 此时 整理，得 解得 (舍去); 当点 Q在点C 上方时,4<t≤6, 此时 解得t=4.3. 综上所述,当t=1或t=4.3时,以A,P,Q,C为顶点的四边形的面积为 23.(1)证明: ∴无论m为何值，方程总有两个实数根. (2)解：由题意，得 是以BC为斜边的直角三角形， 解得m=6或m=-2. 即当m=6时，△ABC是以BC 为斜边的直角三角形. (3)解：①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，将x=5代入方程,得25-5(m+1)+3(m-2)=0,解得m=7, ∴方程为 解得 ∴等腰三角形ABC的三边长为5，5，3， ∴△ABC的周长为5+5+3=13; ②当BC为底边时，则方程有两个相等的实数根， ∴m=5, ∴方程为 解得 ∴等腰三角形ABC的三边长为3，3，5， ∴△ABC的周长为3+3+5=11. 综上可得，当m=7时，△ABC是等腰三角形，其周长为13;当m=5时,△ABC是等腰三角形,其周长为11. 学科网（北京）股份有限公司 $