13.3 三角形的内角与外角 题型专练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

### 基本信息 聚焦三角形内角与外角核心考点，以"定理证明-性质应用-综合拓展"为主线，通过12类题型构建从基础到跨学科应用的完整训练体系，强化逻辑推理与模型转化能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角和证明|1例+6变式|辅助线构造（平行线/延长线）、等量代换|从实验验证到逻辑证明，深化公理化思想| |角度计算|1例+4变式|方程思想、比例分配|内角和定理的直接应用，培养运算能力| |综合应用|9类题型（含折叠/角平分线/跨学科等）|折叠性质转化、外角模型构建、实际问题抽象|从单一性质到多知识点融合，发展几何直观与模型观念|

人教版（2024）八年级上册 13.3 三角形的内角与外角 题型专练 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和等于180°”的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【举一反三3】在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和等于180°”的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三4】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【举一反三5】阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴（______________________）， 同理. ∵（________________）， ∴（________________）.    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义，基本事实，定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    【举一反三6】课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【举一反三1】已知△ABC中，∠A :∠B :∠C＝3:4:7，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【举一反三2】一个三角形中三个内角度数的比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是 　　． 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【举一反三4】在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　　°； （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由． 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（　　） A.55° B.65° C.75° D.85° 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作DE∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为(　　) A.60°　　　　　　　 B.65° C.70°　　　　　　　 D.75° 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=50°，∠C=70°，则∠ADE=　　　　. 【举一反三3】如图，AD和BC相交于点O，∠A＝∠AOB，∠COD＝∠CDO． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠1＝∠2，∠2＝110°，求∠B的度数． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A.30° B.37° C.54° D.63° 【举一反三1】在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A. B.或 C.或 D.或 【举一反三2】一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图所示，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若恰好与平行，且，则            ．    【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处． （1）填空：∠ADE＝　    　度； （2）求∠EAC的大小． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第二条反射光线的夹角的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，．若，则的度数是     ． 【举一反三3】 [学科融合]物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． [问题解决] （1）判断与是否平行； [尝试探究] （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行； [拓展应用] （3）如图3，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在△ABC中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，，则的度数为　　 A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数为      ． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，则∠CDE的度数为　　　　. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，AD、BE相交于点G，且∠AGB+∠BEF＝180°． （1）求证：∠CAD＝∠CEF； （2）若∠BAC＝60°，∠C＝40°，求∠BFE的度数． 【题型7】直角三角形定义 【典型例题】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A.∠A+∠B＝∠C B.∠A﹣∠B＝∠C C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D.∠A＝∠B＝3∠C 【举一反三1】在△ABC中，三个内角度数之比为2∶3∶5，则△ABC的形状是（　　） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【举一反三2】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　   　（填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 【举一反三4】如图，在△ABC中，DE∥BC，DE∥AF，∠FAB＝40°，AB交DE于D，BE平分∠ABC交DE于E，BC与AE的延长线交于点C.若∠ABE=110°.求证：△ABC为直角三角形． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，则∠A等于（　　） A.58° B.48° C.38° D.28° 【举一反三1】若把一副三角板如图叠放在一起，使顶点O、D、C在一直线上，则∠AOB等于（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝48°，则∠B的度数为　  　． 【举一反三3】如图，在△ABC中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【题型9】三角形外角的概念 【典型例题】如图，△BCE的一个外角是（　　） A.∠A B.∠ACE C.∠AEC D.∠BCD 【举一反三1】若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 【举一反三2】△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 A.80°或140° B.80°或100° C.100°或140° D.140° 【举一反三3】如图，的外角是          ． 【举一反三4】如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是　　　　　.  【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 【举一反三2】如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，点E为的上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为          ． 【举一反三4】如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则           度． 【举一反三5】如图，已知，，的平分线交直线于点H，，，求的度数． 【举一反三6】下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整． 如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，两角（与）的平分线交于点P，若，求的度数． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A. B. C. D.105° 【举一反三2】将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么      ． 【举一反三4】将一副含，的三角板按图中的方式放置，则      °． 【举一反三5】生活中处处有数字，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的． (1)图1中的的度数是多少？（请写推理过程） (2)图2中已知，则的度数是多少？ 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 【举一反三2】体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东的方向上，则          度．    【举一反三4】如图，从A观察公路的走向是北偏东，在A的北偏东方向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东的方向上． （1）点B位于点C的      方向上； （2）        °． 【举一反三5】某学校将国家非物质文化遗产—“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，的延长线交于点F，若，，求的度数． 人教版（2024）八年级上册 13.3 三角形的内角与外角 题型专练（参考答案） 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和等于180°”的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A项，由EF∥AB，得∠ECA=∠A，∠FCB=∠B，由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故A不符合题意； B项，由ED∥BC，得∠ADE=∠B，∠C=∠AED，由DF∥AC，得∠A=∠FDB，∠EDF=∠AED，那么∠C=∠EDF，由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠C+∠A=180°，故B不符合题意； C项，由CE∥AB，得∠A=∠FCE，∠B=∠BCE，由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故C不符合题意； D项，由CD⊥AB于点D，得∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意. 【举一反三1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意； C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意． 【举一反三2】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【答案】C 【解析】证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意； ∴，故②符合题意； ∴． 上述证明得到的结论，适用于任何三角形． 故③不符合题意；④符合题意． 【举一反三3】在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和等于180°”的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A项，由EF∥AB，得∠ECA=∠A，∠FCB=∠B，由∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故A不符合题意； B项，由ED∥BC，得∠ADE=∠B，∠C=∠AED，由DF∥AC，得∠A=∠FDB，∠EDF=∠AED，那么∠C=∠EDF，由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得∠B+∠C+∠A=180°，故B不符合题意； C项，由CE∥AB，得∠A=∠FCE，∠B=∠BCE，由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得∠A+∠B+∠ACB=180°，故C不符合题意； D项，由CD⊥AB于点D，得∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意. 【举一反三4】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【答案】D 【解析】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 【举一反三5】阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴（______________________）， 同理. ∵（________________）， ∴（________________）.    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义，基本事实，定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    【答案】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， 同理. ∵（平角定义）， ∴（等量代换）.    （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，. ∵ ∴.    【举一反三6】课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【答案】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【答案】C 【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和30°， ∴第三个内角的度数为180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴这个三角形的是钝角三角形． 【举一反三1】已知△ABC中，∠A :∠B :∠C＝3:4:7，则△ABC一定是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝7x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+7x＝180°． ∴x＝°． ∴7x＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 【举一反三2】一个三角形中三个内角度数的比是1：3：5，这个三角形中最大的内角是 　　． 【答案】100°． 【解析】解：由题意得：180°＝100°， 故三角形的最大的内角为100°， 故答案为：100°． 【举一反三3】在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【答案】70°，50°． 【解析】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°， ∴设∠C＝x，则∠B＝20°+x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴60°+20°+x+x＝180°， 解得x＝50°， ∴∠C＝50°，∠B＝70°． 故答案为：70°，70°． 【举一反三4】在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　　°； （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°－40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∠α＝60°， ∴∠APD+∠BPE＝120°， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°， ∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°－140°－120°＝100°． （2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°－40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°， ∴∠APD+∠BPE＝180°－∠α， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°， 即∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°－140°－180°+∠α＝40°+∠α， ∴∠1+∠2＝40°+∠α． 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（　　） A.55° B.65° C.75° D.85° 【答案】B 【解析】解：∵AB∥CE，∠DCE＝35°， ∴∠B＝∠DCE＝35°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝65°． 故选：B． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作DE∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为(　　) A.60°　　　　　　　 B.65° C.70°　　　　　　　 D.75° 【答案】D 【解析】解：∵DE∥AB ∴∠BCE=∠B＝40° ∵∠ACD＝65° ∴∠ACB=180°-65°-40°=75° 故选D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=50°，∠C=70°，则∠ADE=　　　　. 【答案】60° 【解析】∵∠A=50°，∠C=70°， ∴∠B=60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°. 【举一反三3】如图，AD和BC相交于点O，∠A＝∠AOB，∠COD＝∠CDO． （1）求证：∠B＝∠C； （2）若∠1＝∠2，∠2＝110°，求∠B的度数． 【答案】（1）证明：∵∠A＝∠AOB，∠COD＝∠CDO，∠AOB＝∠COD， ∴∠A＝∠AOB＝∠COD＝∠CDO， ∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，∠COD+∠CDO+∠C＝180°， ∴∠B＝∠C； （2）∵∠1＝∠2，∠2＝110°， ∴∠1＝110°， ∴∠AOB＝180°﹣∠1＝70°， ∵∠A＝∠AOB， ∴∠A＝∠AOB＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝40°， ∴∠B的度数为40°． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A.30° B.37° C.54° D.63° 【答案】C 【解析】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处， ∴∠BMN＝∠B'MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故选：C． 【举一反三1】在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A. B.或 C.或 D.或 【答案】B 【解析】如图1中，①当时，    ， ， 由折叠得， ； ②当时，如图2， ， ， ， 由折叠得， ， ∴的度数为或． 【举一反三2】一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由折叠性质可得，，， ∴，， ∵， ∴. 【举一反三3】如图所示，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若恰好与平行，且，则            ．    【答案】133 【解析】， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， . 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在BC边上的点E处． （1）填空：∠ADE＝　    　度； （2）求∠EAC的大小． 【答案】解：（1）由折叠可知∠ADB＝∠ADE， ∵∠ADB+∠ADE＝180°， ∴∠ADB＝90°； 故答案为：90； （2）由折叠可知，∠AEB＝∠B＝60°， 在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°， 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝15°． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】如图，两面镜子和的夹角，当光线经过镜子后反射，，，则入射光线与第二条反射光线的夹角的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三1】某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，根据题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，．若，则的度数是     ． 【答案】 【解析】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【举一反三3】 [学科融合]物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． [问题解决] （1）判断与是否平行； [尝试探究] （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行； [拓展应用] （3）如图3，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【答案】解：（1）平行. 理由：∵（已知）， ∴，依据是两直线平行，同位角相等； ∵，（已知）， ∴，依据是等量代换； ∴反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行. （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴. （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，在△ABC中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，，则的度数为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， ， ，分别是和的角平分线， 它们相交于点， ， ， 是边上的高， ， . 【举一反三2】如图，在中，于点，平分交于点．若，，则的度数为      ． 【答案】50 【解析】解：因为平分，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以 ， 所以． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，则∠CDE的度数为　　　　. 【答案】55° 【解析】因为A=50°，∠B=60°， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=70°. 因为CD平分∠ACB，所以∠DCE=∠ACB=35°. 因为DE⊥BC，所以∠CED=90°. 所以∠CDE=90°-35°=55°. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，AD、BE相交于点G，且∠AGB+∠BEF＝180°． （1）求证：∠CAD＝∠CEF； （2）若∠BAC＝60°，∠C＝40°，求∠BFE的度数． 【答案】（1）证明：∵∠AGB+∠BEF＝180°，∠AGB+∠AGE＝180°， ∴∠AGE＝∠BEF， ∴EF∥AD， ∴∠CAD＝∠CEF； （2）解：∵∠BAC＝60°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵AD是角平分线， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣80°﹣30°＝70°， ∵EF∥AD， ∴∠BFE＝∠ADB＝70°． 【题型7】直角三角形定义 【典型例题】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A.∠A+∠B＝∠C B.∠A﹣∠B＝∠C C.∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D.∠A＝∠B＝3∠C 【答案】D 【解析】A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意； B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意； C选项，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意； D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角中没有90°角，故不是直角三角形，符合题意． 【举一反三1】在△ABC中，三个内角度数之比为2∶3∶5，则△ABC的形状是（　　） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 【答案】D 【解析】∵△ABC的三个内角度数之比为2∶3∶5， ∴可设△ABC的三个内角分别为2a，3a，5a， 由三角形内角和定理得2α+3α+5α＝180°， ∴a＝18°， ∴2a＝36°，3a＝54°，5a＝90°， ∴△ABC为直角三角形． 【举一反三2】在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】C 【解析】①由得到， 即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2， 解得，，不是直角三角形； ④由得到， 解得，，，是直角三角形； ⑤由得到， 解得，不是直角三角形. 【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　   　（填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 【答案】直角三角形 【解析】∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 【举一反三4】如图，在△ABC中，DE∥BC，DE∥AF，∠FAB＝40°，AB交DE于D，BE平分∠ABC交DE于E，BC与AE的延长线交于点C.若∠ABE=110°.求证：△ABC为直角三角形． 【答案】解：∵DE∥BC，DE∥AF（已知）， ∴BC∥AF（平行于同一直线的两直线平行）． ∴∠ABC＝∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）， ∵BE平分∠ABC（已知）， ∴∠CBE＝∠ABC＝20°．（角平分线的定义） ∵∠AEB=110° ∴∠BEC=70° 在△BEC中，∠C＝180°-70°-20°=90°. ∴△ABC为直角三角形． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，则∠A等于（　　） A.58° B.48° C.38° D.28° 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝32°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣32°＝58°． 【举一反三1】若把一副三角板如图叠放在一起，使顶点O、D、C在一直线上，则∠AOB等于（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】A 【解析】解：由题意∠AOD＝60°，∠BOC＝45°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣45°＝15°， 故选：A． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝48°，则∠B的度数为　  　． 【答案】42° 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝48°， ∴∠B＝42°． 【举一反三3】如图，在△ABC中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵， ∴， ∴． 【题型9】三角形外角的概念 【典型例题】如图，△BCE的一个外角是（　　） A.∠A B.∠ACE C.∠AEC D.∠BCD 【答案】C 【解析】解：由图可知△ABC的一个外角是∠AEC， 故选：C． 【举一反三1】若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 【答案】D 【解析】解：∵一个外角为钝角， ∴与它相邻的内角的度数为锐角， ∴△ABC可能为：钝角三角形或锐角三角形或直角三角形． 【举一反三2】△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是 A.80°或140° B.80°或100° C.100°或140° D.140° 【答案】A 【解析】由题意得，如果∠A=∠B=40°，则∠C的外角的大小是80°，如果∠C=40°，则∠C的外角的大小是140°. 【举一反三3】如图，的外角是          ． 【答案】∠CAD；∠ACF 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 又∵∠DAC是中的一边AC与另一边BA的延长线AD组成的角； ∠ACF是中的一边AC与另一边BC的延长线组成的角； ∴图中的外角为，∠ACF. 【举一反三4】如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是　　　　　.  【答案】∠1和∠3 【举一反三5】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【答案】△ABD；△ABC、△ADC. 【解析】解：根据三角形外角的定义可知，∠β是△ABD的外角；∠γ是△ACD的外角，也是△ABC的外角. 故答案为：△ABD；△ABC、△ADC.． 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，延长交于E， ∵的角平分线交于点P， ∴， 由三角形的内角和定理得，， 在中，， 在中，， ∴， 得，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三1】如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 【答案】B 【解析】∵∠1是△ACD的一个外角， ∴∠1>∠A， ∵∠2是△CDE的一个外角， ∴∠2>∠1， ∴∠2>∠1>∠A. 【举一反三2】如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵是的一个外角，，， ∴. 【举一反三3】如图，点E为的上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为          ． 【答案】 【解析】解：，， ， ， ， ． 【举一反三4】如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则           度． 【答案】22 【解析】解：在中，，， ， 又平分， ． 于， ． 是的外角，是的外角， ， ， ． 【举一反三5】如图，已知，，的平分线交直线于点H，，，求的度数． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三6】下面是多媒体上的一道习题，请将过程补充完整． 如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，两角（与）的平分线交于点P，若，求的度数． 【答案】解：在中，根据三角形内角和定理可知 ， 又， ∴经计算：， 又平分，平分， ∴ ，（角平分线性质） ∴ ， 又，（三角形外角的性质） 且（平角的性质） ∴， ∴. 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【举一反三1】将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A. B. C. D.105° 【答案】C 【解析】解：由三角形的外角定理可知， ． 【举一反三2】将一副三角板按如图所示的方式摆放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图所示，，，， ， ， ． 【举一反三3】一副三角尺叠在一起如图所示放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角尺的斜边上，与交于点，如果，那么      ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴. 【举一反三4】将一副含，的三角板按图中的方式放置，则      °． 【答案】15 【解析】解：如图所示， 依题意得，， 根据三角形的外角性质得， ， ． 【举一反三5】生活中处处有数字，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的． (1)图1中的的度数是多少？（请写推理过程） (2)图2中已知，则的度数是多少？ 【答案】解：（1），， ， ， . （2），， ， ， ， ． 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】从便携折叠椅中抽象出的图形如图所示，若，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，， ， 是的外角，， ， . 【举一反三1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A.增大 B.减小 C.增大 D.减小 【答案】C 【解析】解：起吊物体前，设， ，支撑臂的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 【举一反三2】体育课上的侧压腿动作（图1）可以抽象为几何图形（图2），如果．则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解；由题意得，，， ∴. 【举一反三3】如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇M在其北偏东的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇M在其北偏东的方向上，则          度．    【答案】49 【解析】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：49． 【举一反三4】如图，从A观察公路的走向是北偏东，在A的北偏东方向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东的方向上． （1）点B位于点C的      方向上； （2）        °． 【答案】南偏西（或西偏南）；. 【解析】解：（1）∵点B处测得点C在北偏东的方向上， ∴点B位于点C的南偏西方向上. （2）如图， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴． 【举一反三5】某学校将国家非物质文化遗产—“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，的延长线交于点F，若，，求的度数． 【答案】解：∵，∴， 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $