1.2解直角三角形（教学课件）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”，先通过知识回顾梳理直角三角形的三边关系、锐角互余及边角关系，再结合情境引入引导思考求解所需条件，搭建新旧知识支架，帮助学生自然过渡到新知学习。 其亮点在于分已知两边、一边一锐角、非直角三角形转化三种类型探究，通过例题、议一议等培养抽象能力、推理能力和模型意识，如作高将非直角三角形转化为直角三角形。学生能掌握解题方法，教师可高效组织教学，提升教学效果。

1.2 解直角三角形 第一章 直角三角形的边角关系 学 习 目 标 1.了解解直角三角形的概念，明确解直角三角形除了直角外至少需要两个条件(其中至少一个是边)，能用锐角三角函数解直角三角形；（重点） 2.经历解直角三角形的过程，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.（难点） 知识回顾 （1）三边之间的关系:a2+b2=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. A C B c b a 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ c2 90° 勾股定理 直角三角形两锐角互余 锐角三角函数 情境引入 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角. 直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？ A C B 利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 新知探究 探究一：已知两边解直角三角形 A B C 例1:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，求这个直角三角形的其他元素. 分析：直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边； 直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数； 再利用 求∠B(或∠A)的度数． 勾股定理 锐角三角函数 两锐角互余 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他的元素吗？ 做一做 新知探究 解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴. 在Rt△ABC中，sin B＝， ∴ ∠B＝30° ∴ ∠A＝90°-∠B=60°． A B C 还有没有其他解题思路? 新知探究 分组探究，思考下面的问题： 1.由两个已知条件，能不能求出其中的一个锐角？ 2.如何再求出另外一个锐角的度数？ 3.如何求出第三条边的长？ A B C tanA= （或tanB=） A=60° (或B=30°) sinA= (或sinB=) 边c 分析： 议一议 新知探究 解：在Rt△ABC中，a＝，b＝， ∴tanA=. ∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30° 在Rt△ABC中，sin A＝， ∴ . A B C 方法二： 新知探究 解直角三角形 知识归纳 由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边． 已知两边解直角三角形 1.如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= . A C B 新知探究 新知探究 2. 在△ABC 中，已知∠C=90°，a =4 ，c＝8 ． 解这个直角三角形. 分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题． 要会选择适当的三角比． 解：因为a2＋b2＝c2，所以 . 新知探究 探究二：已知一边和一个锐角解直角三角形 想一想 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且c=128,∠B＝60°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. B A C a c b 60° 分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用 求∠A的度数．再利用 求出另两条边. 锐角三角函数 两锐角互余 新知探究 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=90°-∠B=30°. B A C a c b 60° 新知探究 已知一边和一个锐角解直角三角形 知识归纳 已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 知道一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长； 也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长． 2.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AC=2，则BC=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 A C B 新知探究 B 新知探究 议一议 (1)除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？ (2)在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？先独立判断，再分组讨论． 只知道角度是无法求出直角三角形的边长的． (3)只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？ 不能. 新知探究 解直角三角形需要满足的条件： 知识归纳 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． A B a b c C 注意：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”． 新知探究 探究三：没有直接给出直角三角形的求解 想一想 如果已知条件中，没有直接给出直角三角形，你会怎么办？ 如图,在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦12,求AB 的长. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D. 转化思想：作边AB上的高，把锐角三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形！ 新知探究 如图，在△ABC中, ∠B=47°，∠ACB=15°，AC=6， 求AB的长（结果精确到0.01）. 解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D. ∵ ∠B=47°，∠ACB=15° ∴ ∠CAD=∠B+∠ACB=47°+15°= 62° 在Rt △ABC 中，AC=6，∠CAD=62°, ∴ C D A B 在Rt △ABC 中， ∠B=47°， 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a = 30 , b = 20 ，解这个直角三角形. 例1 A B C b=20 a=30 c 典例分析 解：根据勾股定理得 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线，解这个直角三角形. 例2 典例分析 D A B C 6 解： ∵AD平分∠BAC， 巩固练习 基础巩固题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=8，则BC的长是（　　） 2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC=(　　) A.3sin 50° B.3sin 40° C.3tan 50° D.3tan 40° D D 巩固练习 基础巩固题 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B 4.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)米. A.m·sin α B.m·tan α C.m·cos α D. B 巩固练习 基础巩固题 7.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，则AC＝________. 3 6.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________. 5.在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC= . 巩固练习 基础巩固题 8.在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形． 解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°． ∵cos B＝， ∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5． ∵sin B＝， ∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5． 30° 10 课堂小结 解直角三角形 定义 由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形． 依据 勾股定理 直角三角形两锐角互余 锐角三角函数 类型 已知直角三角形的两边； 已知直角三角形一边和一个锐角. 感谢聆听! $