1.3 三角函数的应用 第2课时(课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系中的坡度、坡角问题，通过“温故知新”回顾解直角三角形步骤，再以水库大坝、山坡改造等实例引入坡度概念，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合现实问题与跨学科案例（如帆船受力、陶盉高度计算），运用数学眼光抽象模型，通过数学思维推理运算，以课堂小结（辅助线分割梯形）和多样化练习巩固。帮助学生发展抽象能力和应用意识，教师可提升教学效率。

第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的应用 第2课时 坡度、坡角问题 鲁教版（五四制）九年级上册 运用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 温故知新 尝试·思考 如图 ，水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶 DC = 6 m，坝高 22 m， 斜坡 AD 的坡比为 1∶3，斜坡 BC 的坡比为 1∶2.5. 求斜坡 AD 的坡角 α（结果精确到 1′）、坝底宽 AB 和斜坡 AD 的长（结果精确到 0.1 m）. 这里的坡比是以比的形式出现的，其比值就是坡度. 基本思路： 由已知条件可知，tanα=，可得∠α≈18°26′. 由已知条件可知，AE=3DE=66m，BF=2.5CF=5m，所以AB=AE+EF+FB=66+6+55=127(m). AD可根据勾股定理求，AD＝DE＝22≈69.6m. 思考·交流 如图 ，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地.BC∥AD，BE⊥ AD，斜坡 AB 长 26 m，坡角∠BAD = 68°. 为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造. 经地质人员勘测，当坡角不超过 50°时，可确保山体不滑坡. 如果改造时保持坡脚 A 不动，坡顶 B 沿 BC 左移 11 m 到 F 点处，这样改造能确保山体不滑坡吗？与同伴交流。 基本思路： 过点F作FG⊥AD，垂足为点G，连接AF，如图. ∵BC∥AD，BE⊥ AD，∴四边形BFGE为矩形. ∴FG=BE，BF=GE=11. 在Rt△ABE中，AB= 26 ，∠BAD = 68°， ∴BE=AB·sin68°≈24.1，AE=AB·cos68°≈9.7. 在Rt△AFG中，FG=BE≈24.1，AG=GE+AE=11+9.7=20.7. ∴tan∠FAG≈1.164 3. ∴∠FAG≈49.34°＜50°. ∴这样改造能保证山体不滑坡. 课堂小结 1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题． 2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题． （第1题） 1. ［多选题］如图所示，为斜坡， 是斜坡 上一点，斜坡的坡度为，坡角为 ， 于点，于点 ，下面正确的 有( ) BCD A. B. C. D. 课堂练习 8 （第2题） 2. 某乡镇学校教 学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平 地.如图所示，，斜坡 ， 坡角 ，为防止夏季因暴雨引 发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测， 当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚 不动，坡顶沿向左移到处，则 至少是___________ （结果保留根号）. 9 （第2题） 【点拨】作于点，作 于 点， 易得四边形 为矩形， .在 中， ， , ， . 在中， ， 易得 . . 至少是 . 10 （第3题） 3. 如图①是三星堆遗址出 土的陶盉 ，图②是其示意图.已知管状短流 ，四边形是器身， ， ， ， 34.1 .器身底部距地面的高度为 ，则该陶 盉管状短流口距地面的高度约为_____ .（结果精确到 ,参考数据：， ， ， ） 11 【点拨】过点作，垂足为，过点 作 ，交的延长线于点 ，如图. ， .在 中， ， .在 中， ， ， 12 器身底部距地面的高度为， 该 陶盉管状短流口 距地面的高度 ， 该陶盉管状短流口 距地面的高度约为 . （第4题） 4. 无动力帆船是借助风力航行的.如 图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知 帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角为 ，风 对帆的作用力为.根据物理知识， 可以分解为两个力 与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力 可 以分解为两个力与, 与航行方向垂直，被舵的阻力抵 14 消； 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理 学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： ，则 _______. （参考数据： , ） 【点拨】如图， 帆船航行方向与风向所在直线 的夹角为 ，帆与航行方向的夹角 为 ， ， .， .在 中，, ， . 由题意可知，, . .在中， , , . 5. 如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为 ， 深为，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 ，斜坡的 起点为，现设计斜坡的坡度，则 的长度是( ) C （第5题） A. B. C. D. 18 （第6题） 6. 如图，， 区域为驾驶员的盲 区，驾驶员视线与地面 的夹角 ，视线与地面 的夹角 B A. B. C. D. ，点,为视线与车窗底端的交点， ， ，.若点到点的距离 ，则盲区 中的长度是（参考数据：， ， ， ）( ) 19 （第6题） 【点拨】, , , 四边形 是平行四边形. , 四边 形是矩形, .在 .在中, , , ,故选B. 中, , , 20 7. 如图①为 《天工开物》记载的用于舂 捣谷物的工具——“碓 ”的结构 简图，图②为其平面示意图.已知于点， 与水平 线相交于点， 水平线.若， ， ，则点到水平线的距离 为 _____________ . （结果用含根号的式子表示） 21 【点拨】如图，延长交水平线于点 ， 连接.在 中， ， ， ， ， . 22 8. 如图是一个装有货物的正方体木 箱沿着斜坡下滑的示意图，斜坡 的 坡比为，木箱的高为 .当 时，木箱的顶点到地面 的 距离为_________ . 23 【点拨】如图，过点作 于点 ，过点作于点，过点 作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ，， ， , 24 ， ， ， ， ， ， .在 中， ， ， , ,即木箱 的顶点到地面的距离为 . 9. 如图，为一个斜面，坡比 .斜面的高 .为了减小小球下滑的速度，将坡面 换成新坡面 ，且 . （1）求新坡面的坡比以及新坡面 的长； 27 【解】由题知， ， . ， ， ， . ，， ， 28 ， ， 新坡面 的坡比 ， 新坡面 的长为 . （2）原坡面 的底部距离铁 板的距离为 .经过实验， 坡面底部与铁板 的距离必 由题知， . ， . ， 小球从新坡面 静止滑下，会与铁板相撞. 须大于 ，小球才不和铁板相撞.请你通过计算，判断小 球从新坡面 静止滑下，会不会与铁板相撞？ 30 $