1.3 三角函数的应用 第1课时(课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系的应用，核心内容为仰角、俯角、方位角问题，通过测量塔高、触礁判断等实际情境导入，衔接三角函数定义，构建从现实问题抽象为解直角三角形模型的学习支架。 其亮点在于结合天舟十号发射、超然楼测量等真实情境，引导学生用数学眼光观察现实，通过构造辅助线、列方程推理发展数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课堂练习含中考题和模拟题，注重应用意识培养，助力学生掌握方法，教师可直接高效开展教学。

第一章 直角三角形的边角关系 1.3 三角函数的应用 第1课时 仰角、俯角、方位角问题 鲁教版（五四制）九年级上册 如图，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 仰角、俯角 尝试·思考 如图 ，小明想测量塔 CD 的高度. 他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进 50 m 至 B 处，测得仰角为 60°，小明的身高为 1.5 m，那么该塔有多高？（结果精确到 0.1 m） 想一想 如图，在Rt△BED中，BE= 在Rt△AED中，AE= 所以-=50，DE≈43.3. 所以CD≈43.3+1.5=44.8（m）. 不考虑小明身高与其眼睛距地面高度的不同哦. 运用锐角三角函数解决实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要 解决的问题； (3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线； (4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算； (5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答． 方法总结 思考·交流 如图，海中有一小岛 A，它的周围 10 n mile内有暗礁. 今有货船由西向东航行，开始在 A岛南偏西 55°的 B 处，往东航行 20 n mile后到达该岛的南偏西 25°的 C 处. 之后，货船继续向东航行.你认为货船继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 你是怎样想的？与同伴进行交流. 基本思路： 如图，过点A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而 BD=ADtan55°，CD=ADtan25°， 又ADtan55°-ADtan25°=20. 得AD≈20.79n mile＞10n mile， 所以货轮没有触礁的危险. D 操作·思考 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把楼梯的倾斜角由 40°减少至35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到 0.01 m） 调整前后楼梯的高度是一个不变量. 基本思路： 由已知条件可知，原来楼梯的高度为4sin40°m，占地长4cos40°m；调整后，楼梯的长度变为m，占地长m. -4≈0.48（m）， -4cos40°≈0.61（m）. 调整前后楼梯的高度是一个不变量. 运用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 课堂小结 （第1题） 1. 2026年5月11日，天舟十号 货运飞船在文昌航天发射场成功发射，标志着我 国天舟系列任务取得“十战十捷”的辉煌战绩.如图， 当天舟十号货运飞船从地面到达点处时，在 处测得点的仰角为 ，与 两点的距 D A. B. C. D. 离为；它沿铅垂线上升到达 处时，此时 在处测得点的仰角为 ，则天舟十号 货运飞船从处到处的距离 的长为 ( ) 课堂练习 11 （第2题） 2. 潮汐塔是万平口区域内的 标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数学 兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量 方案如图所示，无人机在距水平地面的点 处测得潮 汐塔顶端的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点，测得潮汐塔底端的俯角为 （点,,, 在同 一平面内），则潮汐塔 的高度为( ) B （结果精确到.参考数据： , , ） A. B. C. D. 12 【点拨】如图，延长交于点.由题意得 , ,.在中， ， ， .在 中， ， , .故选B. 13 （第3题） 3. 如图，一艘轮船位 于灯塔的南偏东 方向，距离灯塔50海里 的 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达 位于灯塔的正东方向上的处，这时 处与灯 塔 的距离可以表示为( ) B A. 50海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 14 4. 如图，一渔船在海上处测得灯塔在它的北偏东 方 向，渔船向正东方向航行12海里到达点处，测得灯塔 在它 的北偏东 方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与 灯塔 的最短距离是__________海里. （第4题） 15 【点拨】如图，过点作 的延长线 于点，则渔船与灯塔的最短距离为 的 长度. ， ， ， ， ， .设 海里.在中，， ，解得 .故渔船与灯塔的最短距离是 海里. 16 5. 如图，将一个 形状的楔 子从木桩的底端点 处沿水平方向打 A A. B. C. D. 入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 ，若楔子沿水平方向前移 （如箭头所示），则木桩 上升了( ) 17 6. 如图,长的楼梯的倾斜角为 ,为了改善楼梯 的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为 ， 则调整后的楼梯的长为_____ . 18 （第7题） 7. 济南大明湖畔的“超然 楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人 机测量超然楼 的高度，测量方案如图：先将 无人机垂直上升至距水平地面的 点，测 得超然楼顶端的俯角为 ，再将无人机面向 C A. B. C. D. 超然楼沿水平方向飞行到达 点，测得超 然楼顶端的俯角为 ，则超然楼 的高度约 为 ( ) 19 【点拨】过点作于点 ，如图所示， 则 ，由题意得， ， . 在中， ， 为等腰直角三角 形，，设 ，则 .在 中， ，解得 ， ， 故选C. 20 （第8题） 8. [菏泽模拟] 如图，客轮在海上由向 航 行，在处测得灯塔的方位角为北偏东 ， 测得处的方位角为南偏东 ，航行 后到达处，在处测得 的方位角为北偏东 ，则到的距离是_____________ . 21 （第8题） 【点拨】过点作于点 ，根据题意 得 ， ， . ， ， ， ， ，，在 中， ， 22 .在中， ， ， ， ，即到的距离是 . （第8题） 9. [河北省石家庄市模拟] 某广场要修建一个地下停车场， 停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为 ，一楼到地下停车场地面的垂直高度 ，一楼到 地平线的距离 . 24 （1）为保证斜坡的倾斜角为 ， 应在地面上距点多远的 处开始斜 坡的施工？ 【解】由题意，得 ， . 在中， , . 答：应在地面上距点约远的 处开始斜坡的施工. 25 （2）如果给该广场送货的货车高度为 ，那么按这样的 设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由. （参考数据：， ， ） 26 能，理由如下： 如图，过点作于点 , 则 , . 在 中, . , 按这样的设计能保证货车顺利 进入地下停车场. 27 10. 为加强森林防火， 某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监 （1）求 的长度（结果保留小数点后一位）； 测森林情况.如图，，，，在同一平面内. 是瞭望台， 某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的 处， 乙无人机位于的南偏西 方向20千米的 处.两无人机同 时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于 的北偏西 方向上.（参考数据：， ， ， ）#1 28 【解】如图所示，过点作于点 ， 过点作于点 ， , 由题意，得 ，在 中， （千米）， （千米）. 29 甲无人机位于的正东方向10千米的 处，位于的正西方向上， , , , 四边形 是矩形, 千米, 千米, 千米, （千米）. （2）甲、乙两无人机同时分别从， 出 发沿，往 处进行巡视，乙无人机 速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相 距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞 离 处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 （结果保留小数点后一位）？ 32 如图所示，当甲无人机运动到 ，乙无人机 运动到时，此时满足千米.过点 作于点 , 由题意，得 , 在中， （千米）, （千米）, 33 千米, 设千米，则 千米， 千米, 在中， 千米， 千米, 千米, 在 中，由勾股定理得 , , 或 （此时大于 的长，舍去）, （千米）. 甲无人机飞离 处约3.8千米时，两无人 机可以开始相互接收到信号. $