第27章反比例函数分层练习2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 以分层训练构建反比例函数知识网络，融合定义辨析、性质应用与几何综合，通过典例提炼定义法、数形结合等解题策略，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|19题（选10填6解3）|定义法判断函数类型、性质分析法确定参数范围、k值几何意义求面积、方程思想解交点问题|从概念（定义）到性质（象限/增减性），再到应用（实际问题/图像综合）| |拔高训练|3题|模型迁移（一线三垂直）、动态几何与函数结合、分类讨论等腰直角三角形存在性|综合一次函数、几何图形，深化知识间逻辑推导与应用拓展|

第27章反比例函数分层练习 基础巩固 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点，下列说法正确的是（     ） A．反比例函数的图像在第二、四象限 B．两个函数图像的另一交点坐标为 C．当或时， D．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大 4．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 5．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 7．若点，，都在反比例函数（为任意实数）的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D．或 10．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（    ） A．经过用电器的电流的差值为 B．两款蓄电池的电压的差值为 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为 11．反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 12．某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 13．已知点 ，在反比例函数的图象上，若 ，则 、的大小关系为______． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为________ ． 15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为5，则的值为_________． 16．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 19．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 拔高训练 20．【模型建立】 (1)如图一，在中，，，直线经过点C，过点A作于D，过点B作于E．求证：． 【模型应用】 (2)如图二，直线：与坐标轴交于点A、B，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 (3)如图三，一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B，点C在反比例函数的图象上，若为等腰直角三角形，请直接写出k的所有可能的值． 21．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知点，，且、满足．四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点． (1)________，________，点的坐标________； (2)点在双曲线上，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B B B B B B 1．C 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数是反比例函数． 【详解】解： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义； B、是一次函数，不符合反比例函数定义； C、中，符合反比例函数定义； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义． 2．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 3．C 【分析】先根据已知交点坐标求出正比例函数和反比例函数的解析式，再结合函数性质和交点特征逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过点， ∴设，代入得，解得， ∴， 设反比例函数，代入得，解得， ∴， ∵， 反比例函数图象在第一、三象限，故A错误； ∵正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称， 另一交点坐标为，故B错误； 结合函数图象可得，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，即，故C正确； 正比例函数中随增大而增大，反比例函数在每个象限内随增大而减小，故D错误． 4．C 【分析】先根据图象上的点求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质及解析式逐项判断即可． 【详解】解：设， 图像经过点即， ∴． A．当时，，故A正确； B．由，则该函数在第一象限内p随S的增大而减小， 当时，， 即当时，，故B正确； C．当S从增加到时，p从1000减小到500，减小了500， 当S从增加到时，p从500减小到，减小量不为1000，故C错误，符合题意； D．当时，，当时，， 即当时，压强p的变化范围为，故选项D正确． 5．B 【分析】本题考查的是反比例函数与平行四边形的综合运用，灵活运用平行四边形的性质以及反比例函数的定义是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等、面积公式求出点的坐标，再根据反比例函数的定义，将点的坐标代入，进而求出实数的值． 【详解】解：如图，过点作轴， 点， ,即， ， ， ， ， ， 将点代入函数得，， 解得：． 故选：． 6．B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 7．B 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可． 【详解】解：∵对于任意实数均有， ∴， ∴反比例函数的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， 又∵在第一象限内随的增大而减小，且， ∴， ∴． 8．B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．B 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 10．B 【分析】根据反比例函数的实际意义进行排除选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴两款蓄电池的电压的差值为，故B选项正确，A选项错误； 当用电器的电阻都为R时，则有，，电流的差值为，故D选项错误； 假设经过用电器的电流都为，则有，则有，故C选项错误． 11． 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 12． 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解． 【详解】解：根据题意设， 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需， ， 解得：， ， 当时，，解得：， 若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点． 13． 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据判断两点所在象限，得到与的取值范围，即可比较大小． 【详解】解：对于反比例函数， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 点在第二象限，点在第四象限， ，， ． 14． 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】解：将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 15． 【分析】过点作轴，可得，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象可以求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作轴， 轴． ∵四边形为平行四边形， 轴． 又∵轴， ∴四边形为矩形． ∴， ． ∵反比例函数的图象经过第四象限， ， ． 16． 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得： 为直角三角形 17．(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 18．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 19．(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 20．(1)解：如图1， ∵， ∴． 又∵，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴ ∴； (2) (3)或或 【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定，从而得结论； （2）根据，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （3）根据为等腰直角三角形分三种情况：以A，B，C三个顶点为直角顶点，作辅助线构建三角形全等可得点C的坐标，根据可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线的图象与轴分别交于点， ∴当时，，当时，， ∴，， 如图2， 过点作交直线于点，过点作轴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 设的解析式为，将，点坐标代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为； （3）解：∵一次函数的图象与坐标轴分别相交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，， 分三种情况： ①如图3，，过点作轴于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图4，，过点作轴于， 由（1）同理可得， ∴，， ∴， ∴； ③如图5，，过点作轴，过点作轴， 由（1）同理可得， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，k的所有可能的值是或或． 21．(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 22．(1)，， (2)或或 (3)不变，的定值为 如图，连接、、， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ∴，， ∴， ， 在四边形中，，而， ∴， ∴四边形内角和为， ∴， ∵是的中点， ， ，即的定值为． 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出、的值，从而可得，，由题意可得点的横坐标为，设，结合平行四边形的性质求出，最后再利用反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）求出反比例函数的解析式为，分三种情况：当为边时，此时四边形为平行四边形；当为边时，此时四边形为平行四边形；当为对角线时，此时四边形为平行四边形；利用平行四边形的性质计算即可得出结果； （3）连接、、，由线段垂直平分线的性质可得，证明，得出，求出，即可得出，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴，， ∵为中点，且点在轴上， ∴点的横坐标为， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上，点在轴上， ∴设，， 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为边时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， ∴，， 此时点的坐标为； 当为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， 则，， 解得，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $