25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的概念展开，涵盖定义、一般形式及根的核心知识点，通过雕像比例、方盒制作、排球邀请赛等现实情境导入，引导学生从具体问题抽象方程特征，搭建从实际到数学概念的认知支架。 其特色在于以真实问题培养数学眼光，通过辨析题和步骤化练习发展数学思维，结合考法强化数学语言表达。如用矩形铁皮问题抽象方程，例1辨析方程类型，助力学生提升抽象能力与应用意识，教师可直接用于课堂教学提升效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/16 25.1 一元二次方程的概念 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。判定需同时满足三个条件：整式方程、单未知数、最高次数为2，缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。核心注意点：$$a eq0$$，否则二次项消失，方程变为一元一次方程。 3. 方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 二、基础巩固练习 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$x^2-2x+y=0$$ B. $$\frac{1}{x^2}+3x=1$$ C. $$x^2=5$$ D. $$(x+1)^2=x^2-1$$ 2. 若方程$$(m-2)x^2+3x-1=0$$是关于$$x$$的一元二次方程，则$$m$$的取值范围是______。 3. 将方程$$3x(x-2)=2(x+1)$$化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 已知$$x=2$$是方程$$x^2+ax-4=0$$的一个根，求$$a$$的值。 三、能力提升练习 1. 已知方程$$(k^2-1)x^2+(k+1)x-2=0$$，根据条件求$$k$$的值：(1)方程为一元一次方程；(2)方程为一元二次方程。 2. 下列说法正确的是（） A. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都不能为0 B. 方程$$2x^2-3x=5$$的常数项是5 C. $$(1-x)^2=0$$是一元二次方程 D. 化简后为$$x^2=0$$的方程不是一元二次方程 3. 已知关于$$x$$的方程$$ax^2-bx-6=0$$的一个根是$$x=3$$，求$$3a-b$$的值。 四、参考答案与详细解析 基础巩固解析 1. 答案：C。解析：A含两个未知数；B是分式方程，非整式方程；D化简后为$$2x+2=0$$，是一元一次方程；C满足一元二次方程全部条件。 2. 答案：$$m eq2$$。解析：一元二次方程二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$，故$$m eq2$$。 3. 一般形式：$$3x^2-8x-2=0$$。二次项系数3，一次项系数-8，常数项-2。解析：去括号、移项整理为标准形式即可。 4. 答案：$$a=0$$。解析：将$$x=2$$代入方程，得$$4+2a-4=0$$，解得$$a=0$$。 能力提升解析 1. (1) 当方程为一元一次方程时，二次项系数为0且一次项系数不为0，即$$k^2-1=0$$且$$k+1 eq0$$，解得$$k=1$$；(2) 当方程为一元二次方程时，$$k^2-1 eq0$$，即$$k eq\pm1$$。 2. 答案：C。解析：一次项、常数项可为0，A错误；整理后常数项为-5，B错误；D是标准一元二次方程，错误。 3. 答案：2。解析：将$$x=3$$代入方程得$$9a-3b-6=0$$，化简得$$3a-b=2$$。 总字数：1212 情境导入 1. 理解一元二次方程的概念.(重点) 2. 掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方 程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系 数和常数项. (难点) 3. 理解一元二次方程的根的意义. 4. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，发展数学思维. 学习目标 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5， 即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，就可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 情境导入 3 问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm. 在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm²，可列得方程 (100-2x)(50-2x)=3 600. 整理并化简，得 x2-75x+350=0. 由方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 图1 图2 x (100-2x)cm (50-2x)cm 思考： 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1， 最高次数是2. 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：为什么需进行x(x-1)场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 6 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 思考：方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 未知数的个数是1，最高次数是2. 7 思考：以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0，x2-75x+350=0，x2-x-56=0. (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 识别关键： 原方程若有分母，则分母中不含未知数； 若有根号，则根号中不含未知数. 例1 下列方程中，一定是一元二次方程的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥  (m是常数)； ⑦ ； ⑧ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B A. 3x2＋＝0 B. 2x－3y＋1＝0 C. (x－3)(x－2)＝x2 D. (3x－1)(3x＋1)＝3 D 1. 下列方程是一元二次方程的是(　D　) 举一反三 2. 已知 x＝2 是一元二次方程 x2＋mx＋2＝0 的一个解，则 m 的值是(　A　) A. －3 B. 3 C. 0 D. 0或3 A 举一反三 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)， 其中 ax²是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项. 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0. 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0. 思考：为什么规定a≠0？ 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 例2 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0 3. 方程2x2－1＝x的二次项系数是 ， 一次项系数是 ，常数项是 ⁠. 4. [高频易错]若方程 (m－1)x｜m＋1｜＋2x－7＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 ⁠. 2　 －　 －1　 －3　 举一反三 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 例3 解：当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. (1)一个微信群里共有 x 个好友，每个好友都分别给 群里其他好友发送一条消息，这样共有 756 条消息；意得x2＋(x＋2)2＝130.一般形式：2x2＋4x－ 126＝0. 解：(1)依题意得 x(x－1)＝756. 一般形式：x2－x－756＝0. 解：(2)设这两个连续奇数分别为 x，x＋2， 根据题意得 x2＋(x＋2)2＝130. 一般形式：2x2＋4x－126＝0. 5. [教材变式]根据下列问题列方程，并将所 列方程化成一元二次方程的一般形式. (2)两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数. 举一反三 1. 返回 下列方程中，是一元二次方程的是(　　) A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3 C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1 A 考试考法 22 返回 2. 若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D 考试考法 返回 3. 若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________． a≠1 考试考法 返回 4. 一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．－4 B 考试考法 将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(　　) A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．3x2，－4x 返回 5. C 考试考法 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)9x2＝16; (2)x2－2＝5x； 返回 6. 解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16. 解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2. 考试考法 返回 (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1. 解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17. 解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4. 考试考法 返回 7. 下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　　) A．－2 B．0 C．2 　D．3 A 考试考法 返回 8. 已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(　　) A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0 C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0 C 考试考法 返回 9. 【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________． 2 考试考法 31 实际问题 解(根) 一元二次方程 定义 表示 引出 方程中只含有一个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，未知数的最高次数是2 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 谢谢观看 THANKS $