25.2.1 第一课时：直接开平方法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，课堂导入通过复习平方根定义及完全平方式，搭建新旧知识桥梁，以学习支架形式帮助学生理解降次转化为一元一次方程的核心思想。 其亮点在于分层递进的题型设计与实际应用结合，从基础的x²=p到复杂的(x+n)²=p，再到正方体盒子棱长计算等实例，培养学生抽象能力和模型意识，三步法总结强化结构化思维，助力学生用数学语言表达现实问题，提升教师教学效率与学生学习兴趣。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 第一课时：直接开平方法 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程. 重点：降次转化为两个一元一次方程 难点：开平方法解形如x2=p 复习导入 1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. a(a≥0)的平方根记作：± . x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝±. 2.完全平方式： a2＋2ab＋b2＝(_____)2，a2_________＝(a－b)2 3.练一练： 若x2＝16，则x＝____；x2－6x＋9＝_______. a+b -2ab+b2 ±4 (x-3)2 探究新知 知识点1 直接开平方法 (1)x2=6 (2)x2=0 (3)x2+4=0 解:根据平方根的意义，得x1=, x2=-. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-4, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 如何解下列方程？ 探究新知 知识点1 直接开平方法 (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根： (3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根. 一般的，对于可化为方程x2=p, (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根: 【定义】利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 针对训练 1.对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m________； (2)若方程有两个相等的实数根，则m________； (3)若方程无实数根，则m________． ＞1 ＝1 ＜1 典例解析 题型1 直接开平方法 例1.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 9x2=8， 直接开平方，得 x=±， ∴x1=, x2=－. (1) 2x2-8=0 (2) 9x2-5=3 2x2=8， x2=4， x=±2， ∴x1=2,x2=－2. 解： x2=， ——x2=p的题型 探究新知 知识点1 直接开平方法 你认为应怎样解方程(x+3)2=5？ 由方程 (x+3)2=5， 得 x+3=± 即 x+3= ，或 x+3=-. ③ 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 x1=-3+ ，x2=-3- . 典例解析 题型1 直接开平方法 例2.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 3(x-1)2=6， 直接开平方，得 x-1=±， ∴x1=+1, x2=－+1. (1) (x+6)2-9=0 (2) 3(x-1)2-6=0 (x+6)2=9， x+6=±3， ∴x1=-3,x2=－9. 解： 即 x+6=3或x+6=-3 (x-1)2=2， 即 x-1=或x-1=- ——(mx+n)2=p的题型 针对训练 2.解下列方程:(1)2x2-=0; (2)(x-1)2=27; (3)2(x-1)2-8=0. 解:移项,得2x2=. 二次项系数化为1,得x2=. 直接开平方,得x1=, x2=-. 解:直接开平方,得x-1=±3. 解得x1=3+1,x2=-3+1. 解:移项,得2(x-1)2=8. 二次项系数化为1,得(x-1)2=4. 直接开平方,得x-1=±2. 解得x1=3,x2=-1. 探究新知 知识点1 直接开平方法 你认为应怎样解方程9x2-12x+4=3？ 由方程 9x2-12x+4=3 化成 (3x-2)2=3 得 3x-2=± 即 3x-2= ，或3x-2=- . 于是，方程9x2-12x+4=3的两个根为= ，=. 典例解析 题型1 直接开平方法 例3.利用直接开平方法解下列方程: 解： 直接开平方，得 (x+3)2=5， 直接开平方，得 x+3=±， ∴x1=-3, x2=－-3. (2x+1)2=0， 2x+1=0， ∴x1=x2=－. 解： 即 x+3=或x+3=- ——x2+2mx+m2=p的题型 针对训练 3.利用直接开平方法解下列方程: （1）x2-10x+25=1 （2）4x2-4x+1=-3 解： 直接开平方，得 ∵ (2x-1)2≥0， ∴此方程无实数根. (x-5)2=1， x-5=±1， ∴x1=6,x2=4. 解： 即 x-5=1或x-5=-1 (2x-1)2=-3， ∴ (2x-1)2≠-3， 典例解析 题型1 直接开平方法 例4.利用直接开平方法解下列方程: (1)(x-2)2=(2x+3)2 解: x-2=2x+3或x-2=-2x-3 -x=5或3x=-1 ∴x1=-5，x2=- ——(x+m)2=(x+n)2的题型 (2) x2-8x+16=(3-2x)2. 解:原方程可化为(x-4)2=(3-2x)2, ∴ x-4=3-2x或x-4= - (3-2x). 解得x1= , x2= -1. 典例解析 题型2 实际应用 例5一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2dm2. 得， 10×6x2=1500 整理，得 x2=25 根据平方根的意义，得 即x1=5，x2=－5. x=±5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 针对训练 4.一个正方形的每条边的边长均减少2 cm后,面积变为20 cm2,求原正方形的边长. 解:设原正方形的边长为x cm.根据题意,得 (x-2)2=20,即x-2=±2. 解得x1=2+2, x2=2-2(不合题意,舍去). 答:原正方形的边长为(2+2)cm. 归纳总结 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 拓展训练 1.一个球的表面积是100πcm2，则这个球的半径为(球的表面积S=4πR2，其中R是球的半径)（ ） A.10cm B.5cm C.±10cm D.±5cm B 2.解方程(x+m)2=n，正确的结论是( ) A.有两个解x=± B.当n≥0时，有两个解x=±-m C.当n≥0时，有两个解=± D.当n≤0时，无实数解 B 拓展训练 3.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另一个根. 解:把x=2代入原方程得k2+3=9， ∴k2=6.解得k=±. 把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4. 作业布置 课堂作业:P17习题25.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $