第二十六章 二次函数 单元练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二十六章二次函数单元复习卷，覆盖定义、图像性质及应用，以直播带货、芯片降价等现实情境为载体，梯度设计基础巩固与综合应用，适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|二次函数定义、图像开口方向、对称轴、零点估算|结合表格数据估算方程根（数学眼光），拱桥问题体现应用意识| |填空题|5题|顶点式、动点面积最值、利润函数图像分析|平行四边形与抛物线结合（空间观念），运动问题培养推理意识| |解答题|7题|解析式求解、图像平移、利润最值、几何综合|直播带货利润建模（数学语言表达），二次函数与圆综合考查创新意识|

第二十六章二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 2．如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，正方形的四个顶点坐标依次为，，，，若抛物线的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 7．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 9．已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 11．开口向下，顶点坐标为的抛物线为（    ） A． B． C． D． 12．某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 14．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 15．在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是_____月． 16．已知二次函数，当时，________． 17．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 三、解答题 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 19．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 20．已知二次函数的图象经过，，三点．    (1)求这个函数的解析式及函数图象顶点的坐标； (2)画出二次函数的图象（要列表画图）并求四边形的面积． 21．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 22．天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元．在元旦即将来临之际，开展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售单价每降低1元，平均每月就可以多售出5件． (1)设每件商品降价x元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与x元之间的函数关系； (2)该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？ 23．已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 24．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 《第二十六章二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A A A C C C B 题号 11 12 答案 D B 1．B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换． 根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为，半径为2的扇形面积是解题的关键． 【详解】解：抛物线与抛物线的图象关于轴对称， 直线中当时，， 直线与轴的正半轴的夹角正切值为，故直线与x轴的正半轴的夹角为，且抛物线和抛物线的图象自身都关于轴对称， ∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为，半径为2， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键求出抛物线经过两个特殊点时的a的值． 【详解】解：当抛物线经过时，， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故选A． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据，得出抛物线开口向上，即可求解． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线开口向上， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清“每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量”是解题的关键． 【详解】解：解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：， 故选C． 8．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，涉及顶点坐标、增减性、函数值比较及平移规律．关键要点：①二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；②当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；③比较函数值可通过计算或点到对称轴的距离判断；④平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 9．C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 10．B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 11．D 【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，需结合顶点式的特征判断，其中的符号决定开口方向，为顶点坐标，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴开口向上，顶点坐标为，故该选项不符合题意； B、∵，∴开口向上，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C、∵，∴开口向下，顶点坐标为，故该选项不符合题意； D、∵，∴开口向下，顶点坐标为，故该选项符合题意； 故选：D． 12．B 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得解． 【详解】解：如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：B． 13． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 14．36 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 根据题意得到，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积S的最大值． 【详解】解：根据题意有：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：36． 15． 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 16． 【分析】本题考查的是求解二次函数值，把代入解析式计算即可． 【详解】解：二次函数， 当时，， 故答案为： 17． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 18．(1) (2)1 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将代入，解得的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到轴上即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：， 该抛物线的顶点为， 要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上， 顶点纵坐标应为0， 将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点， 故答案为：1． 19． 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 20．(1)， (2) 描点，连线画图像如下： 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把，，分别代入解析式，建立方程组确定a，b，c的值即可；运用配方法或公式法确定顶点的坐标； （2）列表，描点，连线画图像即可；连接OP，把四边形的面积分割成计算即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把，，分别代入解析式，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点P的坐标为； （2）列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 描点，连线画图像如下：    连接，设对称轴与x轴的交点为E， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积 ． 【点睛】本题考查了了二次函数解析式，顶点坐标，图形的画法，分割法计算图形的面积，二次函数图形的性质，熟练掌握待定系数法，配方法，灵活掌握三步骤画图像，分割法计算图形的面积是解题的关键． 21． 图象如图所示： 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可． 【详解】略 22．(1) (2)定价160元时利润最大为18000元 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）设每件商品降价x元，则单件商品利润为元，月销量为件，月利润等于单件商品利润乘以月销量，由此列式即可； （2）将（1）中结果变形为顶点式，即可求出最值． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：， ， 当时，y取最大值，最大值为18000， 此时定价为：（元）， 即定价160元时平均每月获得的利润最大，最大利润是18000元． 23．(1) 证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， ∵ 无论 为何值，，∴ ， 即无论 为何值时，该二次函数的图像与 轴都有交点； (2) 和 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的判别式和对称轴性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的判别式与图像与x轴交点的关系． （1）通过计算判别式并化简，证明其非负，从而说明函数图像与x轴总有交点； （2）利用对称轴公式求出k值，再代入函数求与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 令 ，则 ， 解得 ， ∴ 或 ， ∴ 它与 轴的交点坐标为 和 ． 24． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $