专题01 方程与解一元一次方程（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以8大题型为框架，融合概念辨析、解法技巧与含参讨论，构建“定义-性质-解法-应用”四层递进的方法体系，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1典例+3变式|三看定义（未知数、次数、整式）+参数求值三步走|从一元一次方程定义出发，强化抽象能力| |等式性质|1典例+3变式|加减任意数成立，除法需验除数非0|衔接定义，为解方程奠定推理基础| |解方程|1典例+3变式|五步法（去分母至系数化1）+口诀防错|核心运算技能，覆盖整数/小数分母场景| |含参问题|4题型各1典例+3变式|错解代入求参、解代入求参、同解分析、ax=b解讨论|从基础运算过渡到代数推理，提升应用意识|

专题01 方程与解一元一次方程（8题型突破·举一反三） 题型01 一元一次方程概念辨析（求参数） 题型02 等式性质变形判断 题型03 基础解方程（普通整数分母） 题型04 分母含小数的方程 题型05 错解复原问题（看错符号、漏乘） 题型06 已知方程的解求参数 题型07 同解方程问题 题型08 含参一元一次方程解的讨论 ▌题型01 一元一次方程概念辨析（求参数） 一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式（分母不能出现未知数），标准形式：。 判断三看：①一个未知数；②次数为1；③整式（分母不含未知数）。 解题技巧三步走： 1. 未知数次数等于1； 2. 未知数系数不等于0； 3. 分母不含未知数。 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 【变式1-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． ▌题型02 等式性质变形判断 性质1：等式两边加（减）同一个数/式子，等式仍成立。若，则。 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。若，则；。 ⚠️易错：两边同除字母时，必须确认字母不等于0。 解题技巧： 1. 加减任意数都成立； 2. 做除法时，除数不能为0； 3. 等式两边必须同时做相同变形。 典型陷阱：若，不能直接推出（时不成立）。 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 ▌题型03 基础解方程（普通整数分母） 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 步骤 操作要点 高频坑点 去分母 两边同乘分母最小公倍数 ❶漏乘无分母常数项；❷分子是多项式不加括号 去括号 分配律全部乘到每一项；负括号全部变号 ❶漏乘括号内某一项；❷负括号只变第一项符号 移项 跨等号移动的项必须变号；同侧交换位置不变号 移项忘记变号（初一最高频丢分） 合并同类项 系数相加减，字母不变 符号运算出错 系数化为1 两边同除以未知数系数 ❶分子分母颠倒；❷符号算错 可选：解完代入原方程检验。 解题口诀：去分母要全乘，去括号要全变，移项必变号，合并仔细算，系数化1看符号。 【典例3】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）解方程 (1) (2) (3) 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【变式3-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1) ； (2) ； (3) ▌题型04 分母含小数的方程 1. 先用分数基本性质把小数分母化为整数（只改单个分数，不是方程两边同乘）； 2. 再执行去分母（方程整体乘公倍数）。 ⚠️区分：分数性质（分子分母同乘）≠去分母（方程每一项同乘），不要混淆两步变形。 【典例4-1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程可化为【A】 去分母，得【B】 去括号，得【C】 移项，得【D】 合并同类项，得【E】 系数化为1，得【F】 (1)他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____； (2)步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____； (3)请你帮助写出正确求解过程． 【典例4-2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）解方程：． 【变式4-1】解方程： (1) (2)． 【变式4-2】解方程： (1)=+． (2)解方程 【变式4-3】解方程： (1) ． (2)． ▌题型05 错解复原问题（看错符号、漏乘） 1. 把错解代入看错之后的错误方程，求出参数； 2. 将参数回代原方程，解正确答案。 核心：错解满足错误版本方程，不满足原方程。 【典例5】（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【变式5-1】（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． ▌题型06 已知方程的解求参数 把给出的解直接代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，解参数即可。 例题：已知是方程的解，求。 代入得：，解得。 【典例6-1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【典例6-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程． 【典例6-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：的解为，方程的解为，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： (1)方程和方程是否互为“邻解方程”？________；（填“是”或“否”） (2)若关于x的方程与方程互为“邻解方程”，求m的值． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【变式6-3】（25-26七年级下·山西长治·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． ▌题型07 同解方程问题 两类考法： 1. 一个普通方程+一个含参方程解相同 ①先解普通方程，得到解；②把解代入含参方程求参数。 2. 两个都含参数的方程解相同 ①分别用参数表示两个方程的解；②令两个解相等，求参数。 【典例7-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【典例7-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知与关于x的方程有相同的解． (1)求k的值． (2)直接写出方程的解． 【变式7-1】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【变式7-2】定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． ▌题型08 含参一元一次方程解的讨论 方程整理成 形式： 1. ：方程有唯一解； 2. ：无数个解； 3. ：无解。 注意：题目明确是一元一次方程，则隐含，无需讨论后两种情况。 【典例8】（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，那么我们称这两个方程为“值方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， 因为，所以方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，是“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于的一元一次方程和是“值2方程”，求k的值； (3)无论m取任何数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“值0方程”，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 方程与解一元一次方程（8题型突破·举一反三） 题型01 一元一次方程概念辨析（求参数） 题型02 等式性质变形判断 题型03 基础解方程（普通整数分母） 题型04 分母含小数的方程 题型05 错解复原问题（看错符号、漏乘） 题型06 已知方程的解求参数 题型07 同解方程问题 题型08 含参一元一次方程解的讨论 ▌题型01 一元一次方程概念辨析（求参数） 一元一次方程：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式（分母不能出现未知数），标准形式：。 判断三看：①一个未知数；②次数为1；③整式（分母不含未知数）。 解题技巧三步走： 1. 未知数次数等于1； 2. 未知数系数不等于0； 3. 分母不含未知数。 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程只含有一个未知数，且未知数的次数为， ∵原方程中，的系数为，恒不为， ∴要满足一元一次方程的定义，需的系数为，即， 解得：． 【变式1-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【答案】 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得：． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. ▌题型02 等式性质变形判断 性质1：等式两边加（减）同一个数/式子，等式仍成立。若，则。 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。若，则；。 ⚠️易错：两边同除字母时，必须确认字母不等于0。 解题技巧： 1. 加减任意数都成立； 2. 做除法时，除数不能为0； 3. 等式两边必须同时做相同变形。 典型陷阱：若，不能直接推出（时不成立）。 【典例2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 【变式2-1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 【变式2-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； ▌题型03 基础解方程（普通整数分母） 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 步骤 操作要点 高频坑点 去分母 两边同乘分母最小公倍数 ❶漏乘无分母常数项；❷分子是多项式不加括号 去括号 分配律全部乘到每一项；负括号全部变号 ❶漏乘括号内某一项；❷负括号只变第一项符号 移项 跨等号移动的项必须变号；同侧交换位置不变号 移项忘记变号（初一最高频丢分） 合并同类项 系数相加减，字母不变 符号运算出错 系数化为1 两边同除以未知数系数 ❶分子分母颠倒；❷符号算错 可选：解完代入原方程检验。 解题口诀：去分母要全乘，去括号要全变，移项必变号，合并仔细算，系数化1看符号。 【典例3】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）解方程 (1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式3-2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解一元一次方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 【变式3-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． ▌题型04 分母含小数的方程 1. 先用分数基本性质把小数分母化为整数（只改单个分数，不是方程两边同乘）； 2. 再执行去分母（方程整体乘公倍数）。 ⚠️区分：分数性质（分子分母同乘）≠去分母（方程每一项同乘），不要混淆两步变形。 【典例4-1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程可化为【A】 去分母，得【B】 去括号，得【C】 移项，得【D】 合并同类项，得【E】 系数化为1，得【F】 (1)他错在哪一步？_____（请填后面的大写字母代号），错误的原因是_____； (2)步骤【A】的变形依据是_____；步骤【B】的变形依据是_____； (3)请你帮助写出正确求解过程． 【详解】（1）解：他错在哪一步，D（请填后面的大写字母代号），错误的原因是移项时忘了变号； （2）解：步骤【A】的变形依据是分数的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的数，分数的值不变； 步骤【B】的变形依据是等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式； （3）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【典例4-2】（24-25六年级下·山东烟台·期中）解方程：． 【详解】解：整理得 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-1】解方程： (1) (2)． 【详解】 （1）解： ， ， ， ， ， ． （2）解： 【变式4-2】解方程： (1)=+． (2)解方程 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． （2）解：， ， ， ， ， . 【变式4-3】解方程： (1)． (2)． 【详解】（1）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）解：， 等式两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． ▌题型05 错解复原问题（看错符号、漏乘） 1. 把错解代入看错之后的错误方程，求出参数； 2. 将参数回代原方程，解正确答案。 核心：错解满足错误版本方程，不满足原方程。 【典例5】（25-26七年级下·重庆万州·期中）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 【变式5-1】（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 【答案】，原方程的正确解为 【详解】解：由题可得当时，， 化简得，，即，， 把代入得，， 解得，； 故原方程为， 方程两边同时乘以得，， 化简得，， 解得，． 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式5-3】（25-26七年级下·山东淄博·期中）小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解． (1)求的值； (2)求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意可知方程的解为． 把代入，得． ， ， ； （2）解：把代入，可得原方程为． 去分母，得 ． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． ▌题型06 已知方程的解求参数 把给出的解直接代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，解参数即可。 例题：已知是方程的解，求。 代入得：，解得。 【典例6-1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【详解】解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 【典例6-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程． 【答案】， 【详解】解：，解得， 方程与方程满足“”运算关系， 是方程的解， 则， 解得， 方程的解为． 【典例6-3】（25-26七年级下·山西临汾·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：的解为，方程的解为，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： (1)方程和方程是否互为“邻解方程”？________；（填“是”或“否”） (2)若关于x的方程与方程互为“邻解方程”，求m的值． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵， ∴方程和方程是互为“邻解方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程互为“邻解方程”， ∴或， ∴或， 综上，的值为或． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 【变式6-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下： 解方程得，； 解方程得，； ∵和互为相反数， ∴方程与是“互逆方程”； （2）解：， 解得：； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴的解为，代入方程可得， ∴； （3）解：， 解得； ， 解得； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴， 解得． 【变式6-3】（25-26七年级下·山西长治·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． ▌题型07 同解方程问题 两类考法： 1. 一个普通方程+一个含参方程解相同 ①先解普通方程，得到解；②把解代入含参方程求参数。 2. 两个都含参数的方程解相同 ①分别用参数表示两个方程的解；②令两个解相等，求参数。 【典例7-1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程， ， ， ， 将代入中，得： ， ， ， 解得． 【典例7-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知与关于x的方程有相同的解． (1)求k的值． (2)直接写出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时， 方程为， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 【变式7-1】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴ ， 解得. 【变式7-2】定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)；18 (2)2 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． (1)填空：方程与方程______同解方程（填“是”或“不是”）； (2)若方程与关于x的方程是同解方程，求m的值； (3)若关于x的两个方程与是同解方程，求符合要求的正整数m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)，或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程与方程是同解方程； （2）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程是同解方程， ∴方程的解为， ∴， ∴； （3）解：解方程得：， 解方程得：； ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴是正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ▌题型08 含参一元一次方程解的讨论 方程整理成 形式： 1. ：方程有唯一解； 2. ：无数个解； 3. ：无解。 注意：题目明确是一元一次方程，则隐含，无需讨论后两种情况。 【典例8】（26-27七年级·江苏·暑假作业）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 【变式8-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． 【变式8-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期末）在科技节的机器人编程活动中，若关于机器人的程序指令（）的运行结果与关于机器人的程序指令的运行结果满足，则称这两个程序指令是“智能匹配指令”．例如：机器人的程序指令运行后，机器人的程序指令运行后，因为，所以这两个程序指令是“智能匹配指令” (1)请判断机器人的程序指令与机器人的程序指令（填“是”或“不是”）___________“智能匹配指令”． (2)若关于机器人的程序指令与关于机器人的程序指令是“智能匹配指令”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于机器人的程序指令（a，b为常数）与关于机器人的程序指令都是“智能匹配指令”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或 【详解】（1）的解为，的解为， ， 方程与方程不是“智能匹配指令”； 故答案为：不是； （2）∵的解为， 解为， ， 或； （3）的解为， ∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“智能匹配指令”， ∴，即， ∴或， 的解为或， 即关于x的方程，无论为何值，方程的解恒为或， ①若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； ②若方程的解恒为， 将代入得，，整理得， ，解得， ； 综上，或． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东深圳·期末）规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为，那么我们称这两个方程为“值方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， 因为，所以方程与方程是“值3方程”． (1)下列方程中：①，②，③，是“值6方程”的是______（只填序号）； (2)若关于的一元一次方程和是“值2方程”，求k的值； (3)无论m取任何数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“值0方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)的值为18或34 (3)的值为11 【详解】（1）解：①， 解得 ②， 解得 ③， ∵， ∴是“值6方程”的是①③； 故答案为：①③ （2）解方程，得：， ∵关于的方程与关于的方程是“值2方程”， ， 或， ①当时，，解得：； ②当时，，解得：； 综上所述：的值为18或34． （3）解方程，得：， ∵关于的方程与关于的方程是“值0方程”， ， ， 当时，， ， ， ∵无论取何值都成立，故与的取值无关， 令：，得：， 此时：，得：， ； 即的值为11． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $