专题01 圆的对称性与基本定理综合应用（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的对称性与基本定理，以八大题型系统覆盖核心性质应用，强化几何直观与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |连接半径构造等腰三角形|5题|利用半径相等转化角关系|从圆的定义出发，构建等腰模型基础| |垂径定理与弦心距|5题|结合勾股定理计算弦长|对称性延伸到弦与圆心距关系| |圆心角与圆周角定理|5题|弧角转化及多角联动|定理推导形成角的度量体系| |直径对直角构造|4题|直径条件转化直角三角形|特殊圆周角性质的应用深化| |圆内接四边形性质|6题|对角互补及外角关系|圆的内接性质拓展内角计算| |角度综合导角与分类|6题|多性质交叉及分类讨论|性质综合提升逻辑推理能力| |隐圆模型构造|4题|挖掘隐藏圆的判定条件|圆的定义与性质的逆向应用| |几何综合计算|4题|多知识点融合的动态问题|性质体系整合提升空间观念|

专题01 圆的对称性与基本定理综合应用 题型一 连接半径构造等腰三角形 题型二 垂径定理与弦心距 题型三 同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 题型四 直径所对圆周角为直角的构造与应用 题型五 圆内接四边形对角互补的性质应用 题型六 圆中角度综合导角与分类探讨 题型七 隐圆模型的构造与应用 题型八 圆的基本性质在几何综合计算中的运用 题型一：连接半径构造等腰三角形 1．如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了半径相等，等边对等角，三角形的内角和定理和三角形的外角性质．连接，利用等边对等角，求得，利用三角形的外角性质求得的度数，据此近一步计算即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是半圆的直径，、、三点在半圆上，，是直径上的点，若，．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） e A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆的对称性，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理．作点C、E关于的对称点M、N，由圆的对称性知点M、N在圆上，连接和，证明在同一直线上，同理在同一直线上，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理即可求解． 【详解】解：作点C、E关于的对称点M、N，由圆的对称性知点M、N在圆上，连接和， 由对称性知， ∵， ∴， ∴在同一直线上，同理在同一直线上， ∵的度数为，的度数为， ∴的度数为，的度数为， ∴的度数为， ∴的度数为， 故选：C． 3．如图，为的直径，，为上的点，，若，则_________． 【答案】 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意，得； ， ， ， ． 4．如图，与相切于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、等边对等角 【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由三角形内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接OA、OB． ∵BM是⊙O的切线， ∴∠OBM=90°． ∵∠MBA=140°， ∴∠ABO=50°． ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=50°， ∴∠AOB=80°， ∴∠ACB=∠AOB=40°． 故选A．    【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 5．如图，，是的两条切线，，是切点，点在圆上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、多边形内角和问题 【分析】连接，由切线的性质可得，利用四边形内角和求出，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的两条切线，，是切点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型二：垂径定理与弦心距 1．如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（ ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 2．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 3．如图所示，圆的直径与弦相交于点．已知圆的直径，，则的值是（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】过点作 ，于点，连接，根据题意可得，进而根据垂径定理，有，进而将转化为，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ，于点，连接，则， ∵ ∴， ∵ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键. 4．如图，在扇形中，，D为上一点，且，，则图中的阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是扇形面积及不规则图形面积的计算、垂径定理及解直角三角形等知识，取中点M，中点N，连接作交延长线于点， 在中，求出，进而求出，再求出半径长，用扇形面积减去即可得出． 【详解】解：取中点M，中点N，连接作交延长线于点，   ， ，平分，平分， ， ， 在四边形中，， ， 在中，， 在中， ， 在中， ， ，, 图中的阴影部分面积为， 故选：B． 5．如图，中弦所对的圆心角分别是，已知，，则圆心A到弦的距离等于__． 【答案】3 【知识点】圆周角定理、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，易得为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，而， ， ， ， ，， ，而， 为的中位线， ， 圆心A到弦的距离等于3． 故答案为：3． 题型三：同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 1．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 2．如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据可得，推出，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，点A，B，C，D，E在上，所对的圆心角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．连接，利用圆内接四边形对角互补求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ， 所对的圆心角为， ， ， 故选：B． 4．如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则_____． 【答案】3 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】连接，先根据圆内接四边形对角互补得，再结合，求出，，由圆周角定理及“等弧对等弦”证得，再由“同弧上的圆周角相等”证得，结合可推得，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 如图，连接． ∵为的直径，D为弧的中点， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线． 5．如图，为的直径，弦于点，于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，作圆的直径， 连接，，利用切线的性质和圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】作圆的直径， 连接，， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型四：直径所对圆周角为直角的构造与应用 1．如图，内接于是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选C． 2．如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形的外角的定义及性质、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】连接， ∵是的直径， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形外角的性质是求角的度数的常用方法． 3．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 4．如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，则的度数是 _______ ． 【答案】58 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、同(等)角的余(补)角相等的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接，由圆周角定理得，由切线的性质得到，利用同角的余角相等得到． 【详解】解：连结，如图， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：58． 题型五：圆内接四边形对角互补的性质应用 1．如图，在圆O中，，点C在劣弧上，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形和三角形内角和定理，在优弧上任取一点，连接，根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形性质可得，最后由三角形内角和即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在优弧上任取一点，连接， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 3．如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】根据题意得到四边形共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数． 【详解】由题意得到，作出圆，如图所示， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 故选B． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【知识点】坐标与图形、点与圆上一点的最值问题、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查了坐标与图形、的圆周角所对的弦是直径、勾股定理等知识，找到线段长最小位置是解题的关键．由可知点是以为直径的圆上的动点，当过圆心时长度最小，画图计算即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴点是以为直径的圆上的动点， 如下图，以为直径作，连接，交于点，此时长最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 【答案】(1) 证明：（1）， ， ， ，即， ， ， ， ， 即， ； (2)①； ②． 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理是正确解答的关键． （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可； （2）①根据得到，再利用圆内接四边形的性质进行解答即可． ②根据①中原理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：① 的度数， ，其度数都等于， ， 点、点、点、点在上， ， ， 即； ②，理由如下： 的度数， ，其度数都等于， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即， ． 6．如图，点A，B，C，D，E 在上顺次排列，已知 (1)求证： (2)求证：． (3)若直线过圆心O，的度数为，求 的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【知识点】已知圆内接四边形求角度、利用弧、弦、圆心角的关系求证、同弧或等弧所对的圆周角相等、等边对等角 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆周角和圆心角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据弧与弦之间的关系可得，据此可证明结论； （2）根据弧与圆周角之间的关系可得，则可证明，再由（1）的结论即可证明结论； （3）根据圆心角与弧之间的关系可得；由（2）可知，则，据此根据对边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵的度数为， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴． 题型六：圆中角度综合导角与分类探讨 1．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 2．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 3．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确． 【详解】解：如答图1，∵点B是的中点， ∴， ∴，选项A正确； 当时，分两种情况， 如答图5，当点C位于优弧上时， 由圆周角定理，得， 如答图6，当点C位于劣弧上时，在优弧上任选一点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴或，选项B正确； 当时，分两种情况． 如答图3，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如答图4，∵， ∴， ∴的度数为或，选项C错误； 如答图2，∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∴四边形是菱形，选项D正确； 故选：C． 4．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 5．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 6．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点． (1)求证：； (2)若C是的中点，设，用含α的代数式表示β． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴ ∵的内接四边形 ∴ ∴，即． (2) 【分析】（1）先根据已知条件结合对顶角相等、三角形外角的性质可得，然后再根据圆的内接四边形对角互补即可证明结论； （2）先根据等弧所对的弦相等求得，再说明，即是的垂直平分线；从而得到，；然后再根据直角三角形的性质可得，进而求得即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵C是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的垂直平分线 ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 题型七：隐圆模型的构造与应用 1．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【知识点】折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：如图所示点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ， ， 是边的中点，， ， ∵E是直角边的中点，D是斜边的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识．如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 3．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、折叠问题、圆周角定理 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1）________； （2）当线段最短时，的面积为________． 【答案】 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． （1）由得到，即可得到； （2）首先证明点在以为直径的上，连接与交于点，此时最小，利用勾股定理求出即可得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设的中点为，连接， 则(直角三角形斜边中线等于斜边一半)， ∴点在以为直径的上，连接交于点，此时最小， 在中，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 题型八：圆的基本性质在几何综合计算中的运用 1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴ ， 又， ∴， ∴， 故选D． 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 3．如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为________． 【答案】 【分析】连结BD，过作于，首先得到HC和HB的关系，再证明AH=BH，可得AC=BH，根据AC求出AB，利用圆周角定理证明∠ABD=90°，从而推出∠F=30°，得到BF和EF，即可表示出△BEP的周长，可得当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时，BE取得最大值为时，的周长最大． 【详解】解：连结BD，过作于， 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵AD是⊙的直径， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ． 当且仅当BE经过圆心，BE为⊙的直径时， BE取得最大值为时，的周长最大， ∴的周长最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是用BE表示出△BEF的周长． 4．如图，点A在半径为6的⊙O内，，P为⊙O上一动点，当取最大值时，的长等于_______． 【答案】 【详解】解：作于H，如图： ∵，OP＝6， ∴当最大时，即时，最大， 此时， 故答案为： 【点睛】本题考查圆上动点问题及解直角三角形，解题的关键是根据直角三角形中锐角正弦值随角度增大逐渐增大得到当最大时取最大． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的对称性与基本定理综合应用 题型一 连接半径构造等腰三角形 题型二 垂径定理与弦心距 题型三 同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 题型四 直径所对圆周角为直角的构造与应用 题型五 圆内接四边形对角互补的性质应用 题型六 圆中角度综合导角与分类探讨 题型七 隐圆模型的构造与应用 题型八 圆的基本性质在几何综合计算中的运用 题型一：连接半径构造等腰三角形 1．如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，是半圆的直径，、、三点在半圆上，，是直径上的点，若，．已知的度数为，的度数为，则的度数为（ ） e A． B． C． D． 3．如图，为的直径，，为上的点，，若，则_________． 4．如图，与相切于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，是的两条切线，，是切点，点在圆上．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型二：垂径定理与弦心距 1．如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（ ） A． B． C．6 D． 2．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，则的半径长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图所示，圆的直径与弦相交于点．已知圆的直径，，则的值是（    ） A． B．8 C． D．4 4．如图，在扇形中，，D为上一点，且，，则图中的阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中弦所对的圆心角分别是，已知，，则圆心A到弦的距离等于__． 题型三：同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 1．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 2．如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C，D，E在上，所对的圆心角为，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于为的直径，D为的中点，过点D作于点E，若则_____． 5．如图，为的直径，弦于点，于点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四：直径所对圆周角为直角的构造与应用 1．如图，内接于是的直径，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，是⊙O的直径，点是弧的中点，弦与交于点．若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，则的度数是 _______ ． 题型五：圆内接四边形对角互补的性质应用 1．如图，在圆O中，，点C在劣弧上，，则（　　） A． B． C． D． 2．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 3．如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为__________． 5．如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知． (1)求证：； (2)若直线过圆心O，设的度数为，的度数为． ①当时，求的值； ②探索和满足的等量关系． 6．如图，点A，B，C，D，E 在上顺次排列，已知 (1)求证： (2)求证：． (3)若直线过圆心O，的度数为，求 的度数． 题型六：圆中角度综合导角与分类探讨 1．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 3．已知点A，B，C是上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（　　） A．若点B是的中点，则 B．若，则或 C．若，则 D．若四边形是平行四边形，则四边形一定是菱形 4．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 _________． 5．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 6．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点． (1)求证：； (2)若C是的中点，设，用含α的代数式表示β． 题型七：隐圆模型的构造与应用 1．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在的直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，在中，，、，点是内部的一个动点，连接，且满足． （1）________； （2）当线段最短时，的面积为________． 题型八：圆的基本性质在几何综合计算中的运用 1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 3．如图，已知中，，作的外接圆，直径将圆分成上下两部分，点E为上半圆上的动点，点B，C在下半圆上，连结，过点B作，交的延长线于点F，则周长的最大值为________． 4．如图，点A在半径为6的⊙O内，，P为⊙O上一动点，当取最大值时，的长等于_______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 圆的对称性与基本定理综合应用 题型归纳 题型一连接半径构造等腰三角形 题型二垂径定理与弦心距 题型三同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 题型四直径所对圆周角为直角的构造与应用 题型五圆内接四边形对角互补的性质应用 题型六圆中角度综合导角与分类探讨 题型七隐圆模型的构造与应用 题型八圆的基本性质在几何综合计算中的运用 题型专练 题型一：连接半径构造等腰三角形 1.C 2.C 3.26.5° 4.A 5.c 题型二：垂径定理与弦心距 1.A 2.D 3.B 4.B 5.3 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：同弧或等弧相关的圆心角与圆周角定理 1.2 2.A 3.B 4.3 5.C 题型四：直径所对圆周角为直角的构造与应用 1.C 2.B 3.C 4.58 题型五：圆内接四边形对角互补的性质应用 1.B 2.110 3.B 4.65-4. 5. 【答案】(1) 证明：(1).AB=BC, ∴.AB=BC .'∠ABD=∠BCE ∴.AED=BAE,即AE+DE=AB+DE, ∴.DE=AB AB=BC, ∴.DE=BC, ∴.DE+CD=BC+CD, 即BD=CE, ∴BD=CE 216 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①.·CD的度数B=60, ∴.AB=BC=DE,其度数都等于 80°-60° =40°， 3 ∴.∠AOB=40°， 点A、点B、点C、点E在⊙O上， ∴.∠BCE+∠A=180°， .∠BCE=1800-180°-40° 2 =180°-70° =110°， 即a=110°； ②6a+β=720°，理由如下： .CD的度数B, ∴.AB=BC=DE,其度数都等于 80°-β 3 .∠AOB=180°-B 3 ,四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴.∠BCE+∠A=180°， ∴.∠BCE=180°-∠A =180-180°-∠A0B =90 ∠AOB 2 =90+1×180°-B 2 3 即Q=90°+1x180°-B 2 3 .∴.60+β=720° B 316 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【答案】(1) 证明：，BD=CE, ∴BD=CE, .BD-CD=CE-CD, .BC=DE; (2) 证明：，∠ABD=∠BCE, .BAE=CBE .'BAE-EA=CBE-EA, ..AB=DE, .BC=DE, ..AB=BC, ∴，AB=BC: (3)解：如图所示，连接AE,OB,OD,OC, ,CD的度数为60°， .∠C0D=60, .∠A0B+∠B0C+∠D0E=180°-60°=120°： 由(2)可知AB=BC=DE, ∴.∠AOB=∠BOC=∠DOE=40°， .OA=OB, :∠0AB=∠0BA=180°-∠A0B=70°， 2 .四边形ABCE是圆O的内接四边形， .∠BCE=180°-∠A=110°. C B 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：圆中角度综合导角与分类探讨 1.A 2.D 3.C 4.34°/34度 5.105°. 6. 【答案】(1) 证明：，∠E=∠F,∠ECD=∠BCF,∠ADC=∠ECD+∠E,∠CBA=∠BCF+∠F .∠ADC=∠CBA ,⊙O的内接四边形ABCD ∴.∠ADC+∠CBA=180° .∠ADC=∠CBA=90°，即DF⊥AE (2)解：连接AC, ,C是BD的中点 ..DC=BC .∠CDB=∠CBD ,∠ADC=∠CBA=90° .∠ADB=∠ABD ..AD=AB ∴.AC是BD的垂直平分线 ∴ACL BD,.∠CAB=∠DAB ,∠E=a,∠ADC=∠CBA=90° ∴.∠DAB=90°-a ∠CAB=450-1 ,AC⊥BD :.∠DBA=90°-∠CAB=90°- 450-1a=450+1a 2 B=45+1。 516 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 题型七：隐圆模型的构造与应用 1.A 2.C 3.D 4. 90° 5 题型八：圆的基本性质在几何综合计算中的运用 1.D 2.97-1 3.2V6+6V2 4.2V6 616