2.2.1有理数的乘法 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法核心知识点，系统梳理两数相乘法则、多个有理数相乘符号规则、倒数定义与性质、乘法三大运算律及实际应用规则，从基础运算到符号判断，再到运算律与实际问题，构建递进式学习支架。 资料通过典例与变式练习结合，强化运算能力，如多个有理数相乘强调符号判断与简便运算。实际应用题（如气温变化、销售统计）培养应用意识，助学生用数学眼光观察现实世界，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2.2.1有理数的乘法 目录 知识点1 有理数乘法法则（两数相乘） 2 知识点2 多个有理数相乘符号法则 2 知识点3 倒数的定义与性质 2 知识点4 有理数乘法三大运算律 2 知识点5 有理数乘法实际应用规则 2 题型1 两个有理数的乘法运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 4 题型3 有理数乘法的实际应用 7 题型4 倒数 10 题型5 有理数乘法运算律 11 1. 理解有理数乘法法则，掌握两数、多数相乘的符号与运算规则。 2. 理解倒数的定义，会求任意非零有理数的倒数。 3. 掌握有理数乘法交换律、结合律、分配律，能进行简便运算。 4. 会利用有理数乘法解决生活实际问题，提升运算能力与应用能力。 知识点1 有理数乘法法则（两数相乘） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。 运算步骤：先定符号，再算绝对值。 知识点2 多个有理数相乘符号法则 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 1. 负因数个数为偶数，积为正； 2. 负因数个数为奇数，积为负； 3. 只要有一个因数为0，积直接为0。 知识点3 倒数的定义与性质 乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数；正数的倒数为正，负数的倒数为负；1的倒数是1，-1的倒数是-1。 知识点4 有理数乘法三大运算律 1. 交换律： 2. 结合律： 3. 分配律： 运算律作用：调整计算顺序、凑整、约分，简化复杂乘法运算。 知识点5 有理数乘法实际应用规则 用正负数表示相反意义的量（增减、盈亏、升降、进出），根据题意列出乘法算式，通过结果判断实际变化情况。 题型1 两个有理数的乘法运算 解题思路：严格遵循“先定符号，后算绝对值”两步法。①判断两数符号，同号正、异号负；②去掉符号，计算绝对值相乘；③特殊速记：任何数乘0得0，任何数乘1得本身，乘-1得相反数。 【典例1】．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【变式1】．计算的结果是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则，异号两数相乘，积为负，再计算两个绝对值的乘积即可． 【详解】解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题思路：①先观察式子，有0直接写结果0；②无0时数负因数个数，偶正奇负定符号；③所有数的绝对值相乘；④能约分、凑整的优先简化计算，避免大数运算出错。 【典例2】．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式1】．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题思路：①审题设定正负意义；②找出单一变化量与变化次数；③列出乘法算式计算总变化量；④根据结果正负结合题意作答，正数表示正向变化，负数表示反向变化，标注单位。 【典例3】．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 【详解】解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 【变式1】．小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】分别计算两款智能手表的加权总分，比较总分大小，选择总分更高的一款即可． 【详解】解：A手表的总分为， B手表的总分为， ∵ ∴小明应该购买B款智能手表． 【变式2】．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【答案】(1) (2) 辆 (3) 本周实际销售总量达到了计划 【分析】（1）用计划数加上差额进行计算即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据即可得出结果； （3）求出本周实际销量，进行判断即可. 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 【变式3】．赵林山导演的电影《731》是一部兼具历史深度与现实意义的作品，以影像为证，守护民族记忆，传递和平与正义的信念．已知某市9月30日该电影的售票量为1.5万张，10月1日到10月7日售票量的变化如下表（正数表示售票量比前一天多，负数表示售票量比前一天少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 售票量的变化（单位：万张） 请根据以上信息，解答下列问题： (1)10月2日的售票量为________万张； (2)10月1日到10月7日售票量最多的是10月________日； (3)若平均每张票价为30元，则10月1日到10月7日期间该市《731》的票房收入多少万元？ 【答案】(1)2.1 (2)2 (3)10月1日至7日期间该市《731》的票房收入为396万元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的运算的应用． （1）用9月30日该电影的售票量加上表格中1日、2日售票量的变化值即可的出结论． （2）根据表格的出一日到七日每天的售票量再比较即可． （3）根据表格的出一日到七日每天的人数相加后再乘以30即可得到结果． 【详解】（1）解：（万张）， 故答案为：2.1； （2）解：由表格中的数据可得： 10月1日的售票量为：（万张）， 10月2日的售票量为：（万张）， 10月3日的售票量为：（万张）， 10月4日的售票量为：（万张）， 10月5日的售票量为：（万张）， 10月6日的售票量为：（万张）， 10月7日的售票量为：（万张）， 所以在10月1日到10月7日，售票量最多的是10月2日这一天． 故答案为：2； （3）解：总票数为：（万张）， 票房收入为：（万元）． 答：10月1日至7日期间该市《731》的票房收入为396万元． 题型4 倒数 解题思路：①求整数倒数：整数分之一；②求小数倒数：先化分数，再颠倒分子分母；③求带分数倒数：先化为假分数，再颠倒；④判断倒数：两数相乘等于1即为倒数，牢记0无倒数。 【典例4】．的倒数的相反数是（     ） A． B．2022 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的倒数为，的相反数为， ∴的倒数的相反数是． 【变式1】．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可； 【详解】解：， 的倒数是． 【变式2】．的倒数是________． 【答案】 【分析】根据倒数定义，找到乘积为的数即可得到结果． 【详解】解：， 的倒数是． 【变式3】．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 题型5 有理数乘法运算律 解题思路：①凑整优先：小数、分数优先组合凑整数；②互为倒数优先相乘得1；③多个数相乘用交换律、结合律分组；④含加减混合用分配律展开简便计算；⑤移动数字必须连带前面符号，防止符号出错。 【典例5】．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 【变式1】．简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 【答案】C 【详解】解：A、9是整数，属于有理数，故本选项说法错误； B、的倒数是，故本选项说法错误； C、0的相反数与绝对值都是0，即都是它本身，故本选项说法正确； D、若，则，故本选项说法错误． 【变式3】．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 【答案】A 【详解】解：滴滴打车总费用为（元）， 曹操出行总费用为（元）， ∵， ∴滴滴软件更划算． 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 3．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 4．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，， 当时，， ， 是正数． 5．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 6．下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 【答案】C 【详解】解：A．0的相反数是0，0没有倒数，错误 ​B．乘积为1的两个数互为倒数，的倒数是，不是4，错误 ​C．相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，相加结果恒为0，正确 ​D．倒数等于本身的数有1和，错误 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 8．数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】由数轴性质知，，然后结合得到，，即可求解． 【详解】解：由数轴性质知，， ， ，， 原点在a与b之间，故点C可能为原点． 9．的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 【答案】 // / 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 10．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 11．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 12．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 【答案】222.2 【分析】本题需要分类讨论两种购买方案，分别计算总价后比较大小，得到最少花费． 【详解】分两种情况计算： 方案1：直接购买本，不享受优惠，总价为：元； 方案2：购买本，满足优惠条件，可享受优惠单价，总价为：元； 比较大小得， 因此最少需要元． 13．如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（） =耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（） =耗油量（L）×2.7 【答案】562 【详解】解：家居用电的二氧化碳排放量：， 开私家车的二氧化碳排放量：， 则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为． 14．怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2)20 (3)10 (4)19 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 15．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 16．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， ； （2）， ， ， ； （3）， ． 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】（1）根据拆项法和乘法分配律求解即可； （2）根据有理数的加减运算法则求解即可； （3）仿照题干方法，可将原式改写为，再利用乘法分配律和有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 18．奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 【答案】(1)3 (2)6克 (3)6克 【分析】（1）根据绝对值大于2的有枚可得答案； （2）由超过最多的减去不足最多的可得答案； （3）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案． 【详解】（1）解：若允许有的误差， 则30枚样品中不合格的有（枚）； （2）解：（克）， 即30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多6克； （3）解： （克）， 即与标准质量相比，30枚样品总计超过的质量为6克． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1有理数的乘法 目录 知识点1 有理数乘法法则（两数相乘） 2 知识点2 多个有理数相乘符号法则 2 知识点3 倒数的定义与性质 2 知识点4 有理数乘法三大运算律 2 知识点5 有理数乘法实际应用规则 2 题型1 两个有理数的乘法运算 3 题型2 多个有理数的乘法运算 3 题型3 有理数乘法的实际应用 4 题型4 倒数 5 题型5 有理数乘法运算律 6 1. 理解有理数乘法法则，掌握两数、多数相乘的符号与运算规则。 2. 理解倒数的定义，会求任意非零有理数的倒数。 3. 掌握有理数乘法交换律、结合律、分配律，能进行简便运算。 4. 会利用有理数乘法解决生活实际问题，提升运算能力与应用能力。 知识点1 有理数乘法法则（两数相乘） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。 运算步骤：先定符号，再算绝对值。 知识点2 多个有理数相乘符号法则 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 1. 负因数个数为偶数，积为正； 2. 负因数个数为奇数，积为负； 3. 只要有一个因数为0，积直接为0。 知识点3 倒数的定义与性质 乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数；正数的倒数为正，负数的倒数为负；1的倒数是1，-1的倒数是-1。 知识点4 有理数乘法三大运算律 1. 交换律： 2. 结合律： 3. 分配律： 运算律作用：调整计算顺序、凑整、约分，简化复杂乘法运算。 知识点5 有理数乘法实际应用规则 用正负数表示相反意义的量（增减、盈亏、升降、进出），根据题意列出乘法算式，通过结果判断实际变化情况。 题型1 两个有理数的乘法运算 解题思路：严格遵循“先定符号，后算绝对值”两步法。①判断两数符号，同号正、异号负；②去掉符号，计算绝对值相乘；③特殊速记：任何数乘0得0，任何数乘1得本身，乘-1得相反数。 【典例1】．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 多个有理数的乘法运算 解题思路：①先观察式子，有0直接写结果0；②无0时数负因数个数，偶正奇负定符号；③所有数的绝对值相乘；④能约分、凑整的优先简化计算，避免大数运算出错。 【典例2】．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3 有理数乘法的实际应用 解题思路：①审题设定正负意义；②找出单一变化量与变化次数；③列出乘法算式计算总变化量；④根据结果正负结合题意作答，正数表示正向变化，负数表示反向变化，标注单位。 【典例3】．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 【变式2】．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【变式3】．赵林山导演的电影《731》是一部兼具历史深度与现实意义的作品，以影像为证，守护民族记忆，传递和平与正义的信念．已知某市9月30日该电影的售票量为1.5万张，10月1日到10月7日售票量的变化如下表（正数表示售票量比前一天多，负数表示售票量比前一天少）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 售票量的变化（单位：万张） 请根据以上信息，解答下列问题： (1)10月2日的售票量为________万张； (2)10月1日到10月7日售票量最多的是10月________日； (3)若平均每张票价为30元，则10月1日到10月7日期间该市《731》的票房收入多少万元？ 题型4 倒数 解题思路：①求整数倒数：整数分之一；②求小数倒数：先化分数，再颠倒分子分母；③求带分数倒数：先化为假分数，再颠倒；④判断倒数：两数相乘等于1即为倒数，牢记0无倒数。 【典例4】．的倒数的相反数是（     ） A． B．2022 C． D． 【变式1】．的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【变式2】．的倒数是________． 【变式3】．有理数的倒数为_____________． 题型5 有理数乘法运算律 解题思路：①凑整优先：小数、分数优先组合凑整数；②互为倒数优先相乘得1；③多个数相乘用交换律、结合律分组；④含加减混合用分配律展开简便计算；⑤移动数字必须连带前面符号，防止符号出错。 【典例5】．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．简便运算：________． 【变式2】．下列说法正确的是（     ） A．9不是有理数 B．的倒数是5 C．0的相反数与绝对值都是它本身 D．，则 【变式3】．随着时代的发展，打车软件种类繁多，滴滴和曹操出行分别设置这样的收费标准：起步价为8元和9元（3千米以内）、超过3千米的部分每千米分别为1.3元和1.2元，某乘客打车路程为10千米，哪种软件更划算？ （     ） A．滴滴 B．曹操出行 C．一样划算 D．无法比较 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 2．下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 3．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（     ） A． B． C． D． 5．如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列说法正确的是（     ） A．0的相反数和倒数都不存在 B．的倒数是4 C．互为相反数的两个数的和一定为0 D．若一个数的倒数等于它本身，则这个数只能是1 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 10．计算的结果是________． 11．若规定，则________． 12．一种笔记本售价是2.3元/本，如果一次买100本以上（不含100本），售价是2.2元/本，如果需要100本笔记本，最少需要_______元． 13．如图，是权威机构给出的排碳计算公式．小明家某月家居用电，开车耗油，则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为________． 碳排放计算公式 家居用电的二氧化碳排放量（） =耗电量（）×0.785 开私家车的二氧化碳排放量（） =耗油量（L）×2.7 14．怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 15．探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 16．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 18．奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $