2.2.2有理数的除法 2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，系统梳理除法法则（符号判定与转化思想）、乘除混合运算规则、四则混合运算顺序，以及数轴与有理数符号关系，构建从基础运算到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 该资料通过8类题型设计，结合购物优惠、水箱水位等实际场景，培养学生抽象能力与运算能力。典例与变式题搭配解题思路，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升综合解题与实际应用能力。

2.2.2有理数的除法 目录 知识点1 有理数除法法则（两种形式） 2 知识点2 有理数乘除混合运算规则 2 知识点3 有理数四则混合运算顺序 2 知识点4 数轴与有理数符号关系 2 题型1 有理数的除法运算 3 题型2 有理数除法的应用 3 题型3 有理数乘除混合运算 4 题型4 有理数乘除中的简便运算 4 题型5 有理数四则混合运算 5 题型6 有理数四则混合运算的实际应用 6 题型7 根据点在数轴的位置判断式子的正负 7 题型8 数轴上的翻折 8 1. 掌握有理数除法法则，理解除法与倒数的转化关系，能熟练进行有理数除法运算。 2. 掌握有理数乘除混合、四则混合运算顺序，会运用运算律进行简便计算。 3. 能利用有理数四则运算解决实际问题，结合数轴位置判断代数式符号、掌握数轴翻折题型解法。 4. 规范有理数综合运算步骤，规避符号、顺序类计算错误，提升综合解题能力。 知识点1 有理数除法法则（两种形式） 法则一（符号判定）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意不为0的数，结果为0。 法则二（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：。 重要规定：0不能作为除数，无意义。 运算步骤：先定符号，再算绝对值；整除用法则一，非整除用法则二转化乘法计算。 知识点2 有理数乘除混合运算规则 1. 同级运算从左至右依次进行，不可随意调换顺序。 2. 所有除法统一转化为乘法，再利用乘法运算律简便计算。 3. 符号判定：统计整体负因数个数，偶正奇负，最后算绝对值乘积。 知识点3 有理数四则混合运算顺序 1. 先乘除，后加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 2. 同级运算从左往右依次计算。 3. 可灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算。 知识点4 数轴与有理数符号关系 1. 数轴右侧的数为正数，左侧的数为负数，右边的数始终大于左边的数。 2. 可根据点的位置判断数的正负、大小、差值、商积的正负性。 3. 数轴翻折核心：翻折后两点到折点的距离相等，中点为翻折对称中心。 题型1 有理数的除法运算 解题思路：①优先判断符号，同号相除为正、异号相除为负；②整除题型直接做绝对值相除；③分数、小数、非整除题型，统一转化为乘倒数计算；④牢记0除以非0数得0，0不能做除数，杜绝无意义运算。 【典例1】．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【变式1】．计算：________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 有理数除法的应用 解题思路：①用正负数表示相反意义的实际量；②根据题意找准总变化量、单次变化量，利用“总量÷单量=次数/份数”列式；③先算符号再算数值，结合实际场景解释结果正负含义，标注单位作答。 【典例2】．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【变式1】．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【变式2】．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【变式3】．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 题型3 有理数乘除混合运算 解题思路：①统一转化：将所有除法全部改为乘倒数，式子变为纯乘法运算；②整体判号：数式子中负因数个数，偶数为正、奇数为负；③约分计算：优先交叉约分，简化绝对值运算；④严格从左往右运算，禁止随意跳步、乱改顺序。 【典例3】．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【变式1】．计算：________． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： 题型4 有理数乘除中的简便运算 解题思路：①转化为先：全部化除为乘；②分组凑整：互为倒数、能约分、凑整数的数优先结合；③巧用运算律：乘法交换律、结合律分组，有加减嵌套用分配律；④移动数字必须连带前方符号，避免符号错位出错。 【典例4】．的值为________． 【变式1】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【变式2】．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【变式3】．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 题型5 有理数四则混合运算 解题思路：①定顺序：先括号、再乘除、最后加减；②化统一：除法全部化乘法，小数、带分数统一化为假分数；③分组算：同号、凑整、约分优先简便运算；④分步合并：先算各项结果，最后合并加减，杜绝一步到位、跳步计算。 【典例5】．定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【变式1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．对于任意两个数、，规定，则________． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型6 有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①梳理题干连续变化数据，用正负表示增减、盈亏、升降；②根据实际逻辑列出完整四则混合算式；③优先简便运算化简式子，精准计算结果；④结合实际意义解读结果，正数为正向变化、负数为反向变化，0为无变化。 【典例6】．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【变式1】．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【变式2】．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【变式3】．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 题型7 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①看图定正负：原点右侧为正、左侧为负；②看图定大小：右大左小，大数减小数为正，小数减大数为负；③积商判号：同号乘除为正，异号乘除为负；④结合绝对值、加减乘除规则，综合判断代数式最终正负。 【典例7】．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，数轴、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【变式3】．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 题型8 数轴上的翻折 解题思路：①找折点：确定数轴翻折中心（对称中点）；②用距离相等：翻折前后对应点到折点的距离完全相等；③列式计算：设未知数，根据距离相等列等式求解对应点数值；④多段翻折逐次分析，每次翻折重新确定新对称点，不混淆前后位置关系。 【典例8】．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【变式1】．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【变式3】．如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 1．计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 4．某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 5．根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 6．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 7．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 8．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 10．结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 11．对于有理数，，定义运算：，则______． 12．小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 13．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 14．计算：． 15．计算： 16．用简便方法计算：． 17．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 18．某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东为正，向西为负，一天中的行驶记录如下（单位：）：，，，，，， (1)收工时，检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 19．淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 20．王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2有理数的除法 目录 知识点1 有理数除法法则（两种形式） 2 知识点2 有理数乘除混合运算规则 2 知识点3 有理数四则混合运算顺序 2 知识点4 数轴与有理数符号关系 2 题型1 有理数的除法运算 3 题型2 有理数除法的应用 5 题型3 有理数乘除混合运算 8 题型4 有理数乘除中的简便运算 9 题型5 有理数四则混合运算 12 题型6 有理数四则混合运算的实际应用 14 题型7 根据点在数轴的位置判断式子的正负 18 题型8 数轴上的翻折 19 1. 掌握有理数除法法则，理解除法与倒数的转化关系，能熟练进行有理数除法运算。 2. 掌握有理数乘除混合、四则混合运算顺序，会运用运算律进行简便计算。 3. 能利用有理数四则运算解决实际问题，结合数轴位置判断代数式符号、掌握数轴翻折题型解法。 4. 规范有理数综合运算步骤，规避符号、顺序类计算错误，提升综合解题能力。 知识点1 有理数除法法则（两种形式） 法则一（符号判定）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意不为0的数，结果为0。 法则二（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：。 重要规定：0不能作为除数，无意义。 运算步骤：先定符号，再算绝对值；整除用法则一，非整除用法则二转化乘法计算。 知识点2 有理数乘除混合运算规则 1. 同级运算从左至右依次进行，不可随意调换顺序。 2. 所有除法统一转化为乘法，再利用乘法运算律简便计算。 3. 符号判定：统计整体负因数个数，偶正奇负，最后算绝对值乘积。 知识点3 有理数四则混合运算顺序 1. 先乘除，后加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 2. 同级运算从左往右依次计算。 3. 可灵活运用交换律、结合律、分配律简化运算。 知识点4 数轴与有理数符号关系 1. 数轴右侧的数为正数，左侧的数为负数，右边的数始终大于左边的数。 2. 可根据点的位置判断数的正负、大小、差值、商积的正负性。 3. 数轴翻折核心：翻折后两点到折点的距离相等，中点为翻折对称中心。 题型1 有理数的除法运算 解题思路：①优先判断符号，同号相除为正、异号相除为负；②整除题型直接做绝对值相除；③分数、小数、非整除题型，统一转化为乘倒数计算；④牢记0除以非0数得0，0不能做除数，杜绝无意义运算。 【典例1】．计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 【变式1】．计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3)3 (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法计算即可； （2）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法计算法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 有理数除法的应用 解题思路：①用正负数表示相反意义的实际量；②根据题意找准总变化量、单次变化量，利用“总量÷单量=次数/份数”列式；③先算符号再算数值，结合实际场景解释结果正负含义，标注单位作答。 【典例2】．安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【详解】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 【变式1】．如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 【变式2】．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)李阿姨节约19.2元 (2)相当于每盒单价42元 (3)使用满888元减168元优惠券购买最划算 【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可； （2）首先求出王阿姨只需要花费7盒的钱，然后计算出总价，再除以8即可求解； （3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 节约钱数为（元） 答：李阿姨节约19.2元． （2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒， ∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， ∴（元） ∴（元） 答：相当于每盒单价42元． （3）解：①方案一总价：（元） ②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， （元）； ③优惠券方案：（元）， ，可减168元． （元） ∵， ∴使用满888元减168元优惠券最划算． 答：使用满888元减168元优惠券购买最划算． 【变式3】．某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 【答案】(1)收工时检修队在A地东边，距A地10千米 (2)汽车共行驶52千米 (3)油价是每升元 【分析】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距A地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价． 【详解】（1）解：各段路程的和为 （千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在A地东边，距A地10千米． （2）解： （千米）， 答：汽车共行驶52千米． （3）解：总耗油量为（升）， 油价为（元/升）， 答：油价是每升元． 题型3 有理数乘除混合运算 解题思路：①统一转化：将所有除法全部改为乘倒数，式子变为纯乘法运算；②整体判号：数式子中负因数个数，偶数为正、奇数为负；③约分计算：优先交叉约分，简化绝对值运算；④严格从左往右运算，禁止随意跳步、乱改顺序。 【典例3】．（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3】．计算： 【答案】 39 【分析】先计算括号里面的，再根据混合运算的法则即可求解． 本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 题型4 有理数乘除中的简便运算 解题思路：①转化为先：全部化除为乘；②分组凑整：互为倒数、能约分、凑整数的数优先结合；③巧用运算律：乘法交换律、结合律分组，有加减嵌套用分配律；④移动数字必须连带前方符号，避免符号错位出错。 【典例4】．的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 【变式1】．运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 题型5 有理数四则混合运算 解题思路：①定顺序：先括号、再乘除、最后加减；②化统一：除法全部化乘法，小数、带分数统一化为假分数；③分组算：同号、凑整、约分优先简便运算；④分步合并：先算各项结果，最后合并加减，杜绝一步到位、跳步计算。 【典例5】．定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算， 根据新运算的定义，直接将和代入公式 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：B． 【变式1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 【变式2】．对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型6 有理数四则混合运算的实际应用 解题思路：①梳理题干连续变化数据，用正负表示增减、盈亏、升降；②根据实际逻辑列出完整四则混合算式；③优先简便运算化简式子，精准计算结果；④结合实际意义解读结果，正数为正向变化、负数为反向变化，0为无变化。 【典例6】．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 【变式1】．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【答案】 【分析】正方形赛道周长 4000米，则边长为 1000 米．甲从 B 出发，乙从 A出发，顺时针行驶，初始甲在乙前方 1000米．甲速度 100 米/秒，乙速度 88 米/秒，甲比乙快，当甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米时，相当于乙在甲前方 0到 1000米之间，此时若甲刚进入某条边且乙未离开该边，则两车在同一条边上．甲到达顶点的时间为 10 的倍数，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米，且， ∴要使时间最少，则甲刚到某个顶点时，此时乙在该顶点所在的边上，且此时甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶100米，且， ∴甲每过10秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是10的倍数， ∴至少经过170秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 【变式2】．盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)；； (2) 前五天这个盲盒的售价总计不足元 (3) 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【分析】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． 【详解】（1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 【变式3】．为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 题型7 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解题思路：①看图定正负：原点右侧为正、左侧为负；②看图定大小：右大左小，大数减小数为正，小数减大数为负；③积商判号：同号乘除为正，异号乘除为负；④结合绝对值、加减乘除规则，综合判断代数式最终正负。 【典例7】．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定的符号及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断； 【详解】解：由数轴可知， ， ，，，， 故选项A、B、C正确，D选项错误，该选项符合题意． 【变式1】．如图，数轴、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴、两点的位置得到，再逐项进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴，，，， 综上可知，选项C正确． 【变式2】．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 【变式3】．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 题型8 数轴上的翻折 解题思路：①找折点：确定数轴翻折中心（对称中点）；②用距离相等：翻折前后对应点到折点的距离完全相等；③列式计算：设未知数，根据距离相等列等式求解对应点数值；④多段翻折逐次分析，每次翻折重新确定新对称点，不混淆前后位置关系。 【典例8】．小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 【变式1】．数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 【变式2】．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【变式3】．如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 1．计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，再将两数的绝对值相除即可 ， ． 2．实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数轴的特征，正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，，， A.∵，故选项正确，不符合题意； B.∵， ∴，故选项正确，不符合题意； C.∵，∴，故选项错误，符合题意； D.∵，，，∴，，则，故选项正确，不符合题意． 3．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 4．某馄饨店每碗有10个馄饨．其中虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗．现计划推出“双拼”馄饨，其中含虾仁馄饨、鲜肉馄饨各5个，这种馄饨每碗合理定价为（    ） A．24元 B．22元 C．14元 D．12元 【答案】D 【分析】先分别计算单个虾仁馄饨和单个鲜肉馄饨的单价，再计算5个两种馄饨的总价，即可得到双拼馄饨的合理定价． 【详解】解：∵每碗馄饨共10个，虾仁馄饨14元/碗，鲜肉馄饨10元/碗， ∴单个虾仁馄饨价格为元，单个鲜肉馄饨价格为元， ∵双拼馄饨含两种馄饨各5个， ∴总定价为元． 5．根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，余数得4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．利用此密码算出2035年的世界地球日（4月22日）是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期天 【答案】D 【分析】按照题目给出的计算规则，先找到4月对应的密码数字，再加上日期求和，计算和除以7的余数，根据余数对应得到星期几即可. 【详解】解：∵ 密码从左到右12个数字依次对应1到12月，4月对应第4个数字，密码为033614625035， ∴ 4月对应的密码数字是6，计算和得 ， ∵ ，余数为0，根据规则余数0对应星期天， ∴ 2035年4月22日是星期天. 6．《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 7．下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系： 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 …… 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …… 下列叙述错误的是（    ） A．应缴电费随用电量的增加而增加； B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元； C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元 D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时 【答案】C 【分析】本题先通过表格数据得出用电量与应缴电费的变化规律，即每1千瓦时电费为0.55元，再逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵由表格数据可得：，，， ∴可得每1千瓦时电费为0.55元，用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元， 对选项逐一判断： A、应缴电费随用电量的增加而增加，该选项正确，不符合题干要求； B、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，该选项正确，不符合题干要求； C、若用电量为8千瓦·时，应缴电费为元元，该选项错误，符合题干要求； D、若所缴电费为3.3元，用电量为 千瓦·时，该选项正确，不符合题干要求． 故本题选C． 8．已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 9．如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用．把长方形草地中的“土”字形状的小路剪去，将剩余部分拼起来，可以得到一个新的长方形，新长方形的长为，宽为，最后利用长方形面积公式计算即可． 【详解】解： 10．结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 【答案】726 【分析】把八进制转换十进制计算即可； 【详解】解：根据题意，得这段时间内所擒获的猎物总数为： ． 11．对于有理数，，定义运算：，则______． 【答案】 【分析】根据，可以求得所求式子的值． 【详解】∵， ∴ ． 12．小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 13．如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 14．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 15．计算： 【答案】 【详解】 16．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 17．对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）根据定义先计算，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 18．某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东为正，向西为负，一天中的行驶记录如下（单位：）：，，，，，， (1)收工时，检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)若每千米耗油0.1升，则这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组在A地的东边，距离地 (2)5.6升 【分析】（1）求出各数的代数和，再利用正负数的意义解答即可； （2）先求出各数的绝对值的和，再根据每千米耗油0.1升，计算这一天的总耗油量． 【详解】（1）解：， 故检修小组在A地的东边，距离地； （2）解：， 耗油：（升）， 答：这一天共耗油5.6升． 19．淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【答案】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 20．王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $