第15讲 直线、射线、线段 暑假预习讲义（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第15讲直线、射线、线段 目录 知识点1 直线、射线、线段定义与核心特征 2 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 2 知识点3 三者联系与区别 3 知识点4 点与直线的位置关系 4 知识点5 直线基本事实（核心公理） 4 知识点6 直线相交与交点规律 4 知识点7 线段计数基础规律 4 题型1 直线、射线、线段的联系与区别 4 题型2 画直线、射线、线段 5 题型3 点与线的位置关系 6 题型4 直线、线段、射线的数量问题 8 题型5 直线相交的交点个数问题 9 题型6 线段的应用 10 题型7 两点确定一条直线 11 1. 知识目标：掌握直线、射线、线段的定义、特征、表示方法，理清三者的联系与区别；熟记点与直线的位置关系、两点确定一条直线的基本事实，掌握直线相交、线段计数等基础几何规律。 2. 能力目标：能规范绘制三类几何图形，精准区分三者差异；熟练解决图形数量统计、交点个数计算、线段实际应用等题型，会运用直线基本事实解决生活与几何基础问题。 3. 素养目标：建立几何图形抽象思维，规范几何语言表达，培养数形辨析、规律总结、几何建模的基础能力，夯实初中几何入门根基。 知识点1 直线、射线、线段定义与核心特征 1. 线段：直线上两个点和两点之间的部分，有2个端点，不可延伸，长度可测量，是有限图形。 2. 射线：直线上一个点和它一旁的部分，有1个端点，仅向一端无限延伸，长度不可测量，是无限图形。 3. 直线：没有端点，向两端无限延伸，长度不可测量，是无限图形。 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 1. 线段：线段AB（BA通用）、线段a，无顺序要求，可互换。 基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 要点诠释： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2. 射线：射线OA（端点字母必须在前，不可写射线AO）、射线l，端点固定，方向唯一。 3. 直线：直线AB（BA通用）、直线l，无端点无方向，字母可互换。 核心禁忌：射线表示端点前置，三类图形命名必须带专属前缀（线段/射线/直线）。 知识点3 三者联系与区别 1. 联系：线段、射线都是直线的一部分；线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线。 2. 区别：端点数量、延伸性、可度量性是三者核心区分点，也是选择题高频考点。 知识点4 点与直线的位置关系 仅有两种位置关系：1. 点在直线上（直线经过该点）；2. 点在直线外（直线不经过该点）。 知识点5 直线基本事实（核心公理） 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线。可解释钉木条、站队、拉线等所有生活直线应用场景。 知识点6 直线相交与交点规律 1. 两条直线相交：有且只有一个公共点，这个点叫做交点； 2. n条直线两两相交，最多交点个数公式：。 知识点7 线段计数基础规律 一条直线上有n个端点，线段总条数公式：，可快速批量计数。 题型1 直线、射线、线段的联系与区别 解题技巧（三要素判定法）：1. 看端点：2个端点为线段、1个端点为射线、0个端点为直线；2. 看延伸：不延伸为线段、单向延伸为射线、双向延伸为直线；3. 看度量：可测量只有线段，射线、直线均不可测量；4. 易错辨析：射线长度无法比较，直线不比长短，只有线段能比大小、量长度。 秒杀口诀：线段有界可度量，射线单向无限长，直线无界双向延。 【典例1】．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【变式1】．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【变式2】．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【变式3】．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 题型2 画直线、射线、线段 解题技巧（规范作图四规则）：1. 画线段：两端画实心端点，线条平直，长度固定；2. 画射线：一端实心端点，另一端无端点、自然延伸，不封口；3. 画直线：两端无端点，线条双向无限延伸；4. 命名规范：作图后标注字母，射线严格区分端点与方向，杜绝反向命名。 易错提醒：射线必须保留延伸趋势，禁止画成线段；直线不能添加端点。 【典例2】．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【变式2】．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【变式3】．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 题型3 点与线的位置关系 解题技巧（二分法判定）：1. 看图判定：点落在直线线条上→点在直线上；点脱离直线线条→点在直线外；2. 文字判定：直线经过点→点在直线上；直线不经过点→点在直线外；3. 规范表述：答题必须使用几何标准术语，杜绝口语化描述；4. 综合题型：多个点、多条直线逐一匹配位置，不遗漏、不混淆。 【典例3】．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【变式2】．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【变式3】．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线，； (2)画射线； (3)取一点，使点既在线段上又在线段上． 题型4 直线、线段、射线的数量问题 解题技巧（分类计数法）：1. 直线计数：两点确定一条直线，不重复、不遗漏，全局统计；2. 线段计数：优先套用公式，无公式时按单段、两段组合、多段组合分层数；3. 射线计数：每个端点双向直线含2条射线，单向端点含1条射线，按端点逐个统计；4. 核心原则：计数不重不漏，射线重点看端点和方向。 高频易错：同端点、不同方向是不同射线，极易漏数。 【典例4】．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【变式1】．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 【变式3】．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 题型5 直线相交的交点个数问题 解题技巧（公式+分类讨论）：1. 最多交点：n条直线两两相交、无三线共点，套用公式；2. 最少交点：所有直线交于同一点，最少交点为1；3. 中间情况：存在多条直线共点时，逐一减去重合交点；4. 规律记忆：2条最多1个、3条最多3个、4条最多6个交点。 【典例5】．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【变式1】．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【变式2】．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【变式3】．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 题型6 线段的应用 解题技巧（建模转化法）：1. 生活建模：道路、木棍、绳子、间距均抽象为线段；2. 长度计算：利用线段和、差、等分关系求解实际长度；3. 计数应用：站点、握手、线段型计数，直接套用线段计数公式；4. 最值基础：两点之间线段最短，解决最短路径、最短距离基础题型。 解题核心：所有有限长度的直线型实物，均可抽象为线段解题。 【典例6】．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【变式1】．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【变式2】．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【变式3】．2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备________种不同的车票． 题型7 两点确定一条直线 解题技巧（公理套用秒杀法）：1. 原理熟记：两点有且只有一条直线；2. 场景匹配：钉木条固定、排队对齐、拉线砌墙、瞄准定位，全部用此公理解释；3. 反向判断：过一点可画无数条直线，过两点只能画一条直线；4. 几何应用：通过两点唯一确定直线，用于作图、定点、直线唯一性证明。 答题模板：依据两点确定一条直线，故可固定/确定直线位置。 【典例7】．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【变式1】．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【变式2】．“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是___________________ 【变式3】．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 1．下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 3．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 6．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 7．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 8．小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 10．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 11．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 12．一条铁路上有10个站，需要制作________种火车票． 13．如图所示，有条直线，条射线，条线段，则__________． 14．在做教室卫生时，小毛同学发现座位排列不齐．他思考片刻后，先将第一排和最后一排的座位固定，然后沿着这两点连成的直线，将其他座位依次对齐．这个方法巧妙地运用了一个数学原理，这个数学原理是________． 15．如图，已知，在角的边上标有四点，在角的边上标有、四点，线段中（整数），把不相交的两线段称为一组“友谊线段”，如线段与线段是一组“友谊线段”，则线段组中一共有“友谊线段”__________组． 16．如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 17．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 18．观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 19．如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 20．（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 21．学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要施划不同项目的比赛场地．施划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小、不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后举行的田径运动会规划比赛场地．如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形的弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是________； (2)请你用含，，的代数式表示出最内侧跑道的周长； (3)当，时，求最内侧跑道的周长．（） 22．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内n条直线相交，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有___________个交点；平面内有4条直线，则最多有___________个交点；若平面内有n条直线，则最多有___________个交点． (2)拓展：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为___________． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长地延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲直线、射线、线段 目录 知识点1 直线、射线、线段定义与核心特征 2 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 2 知识点3 三者联系与区别 3 知识点4 点与直线的位置关系 4 知识点5 直线基本事实（核心公理） 4 知识点6 直线相交与交点规律 4 知识点7 线段计数基础规律 4 题型1 直线、射线、线段的联系与区别 4 题型2 画直线、射线、线段 7 题型3 点与线的位置关系 10 题型4 直线、线段、射线的数量问题 12 题型5 直线相交的交点个数问题 15 题型6 线段的应用 19 题型7 两点确定一条直线 21 1. 知识目标：掌握直线、射线、线段的定义、特征、表示方法，理清三者的联系与区别；熟记点与直线的位置关系、两点确定一条直线的基本事实，掌握直线相交、线段计数等基础几何规律。 2. 能力目标：能规范绘制三类几何图形，精准区分三者差异；熟练解决图形数量统计、交点个数计算、线段实际应用等题型，会运用直线基本事实解决生活与几何基础问题。 3. 素养目标：建立几何图形抽象思维，规范几何语言表达，培养数形辨析、规律总结、几何建模的基础能力，夯实初中几何入门根基。 知识点1 直线、射线、线段定义与核心特征 1. 线段：直线上两个点和两点之间的部分，有2个端点，不可延伸，长度可测量，是有限图形。 2. 射线：直线上一个点和它一旁的部分，有1个端点，仅向一端无限延伸，长度不可测量，是无限图形。 3. 直线：没有端点，向两端无限延伸，长度不可测量，是无限图形。 知识点2 三种图形规范表示方法（必考易错） 1. 线段：线段AB（BA通用）、线段a，无顺序要求，可互换。 基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 要点诠释： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 2. 射线：射线OA（端点字母必须在前，不可写射线AO）、射线l，端点固定，方向唯一。 3. 直线：直线AB（BA通用）、直线l，无端点无方向，字母可互换。 核心禁忌：射线表示端点前置，三类图形命名必须带专属前缀（线段/射线/直线）。 知识点3 三者联系与区别 1. 联系：线段、射线都是直线的一部分；线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线。 2. 区别：端点数量、延伸性、可度量性是三者核心区分点，也是选择题高频考点。 知识点4 点与直线的位置关系 仅有两种位置关系：1. 点在直线上（直线经过该点）；2. 点在直线外（直线不经过该点）。 知识点5 直线基本事实（核心公理） 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线。可解释钉木条、站队、拉线等所有生活直线应用场景。 知识点6 直线相交与交点规律 1. 两条直线相交：有且只有一个公共点，这个点叫做交点； 2. n条直线两两相交，最多交点个数公式：。 知识点7 线段计数基础规律 一条直线上有n个端点，线段总条数公式：，可快速批量计数。 题型1 直线、射线、线段的联系与区别 解题技巧（三要素判定法）：1. 看端点：2个端点为线段、1个端点为射线、0个端点为直线；2. 看延伸：不延伸为线段、单向延伸为射线、双向延伸为直线；3. 看度量：可测量只有线段，射线、直线均不可测量；4. 易错辨析：射线长度无法比较，直线不比长短，只有线段能比大小、量长度。 秒杀口诀：线段有界可度量，射线单向无限长，直线无界双向延。 【典例1】．下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 【变式1】．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【变式2】．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了直线、射线和线段的定义，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线、射线和线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：①直线是无限长的，无法延长，故错误； ②射线是无限长的，无法延长，故错误； ③线段可以延长到点M，故正确； ④直线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑤射线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑥线段可以画出长的线段，故正确； ⑦射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故错误； 故答案为：③⑥． 【变式3】．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 题型2 画直线、射线、线段 解题技巧（规范作图四规则）：1. 画线段：两端画实心端点，线条平直，长度固定；2. 画射线：一端实心端点，另一端无端点、自然延伸，不封口；3. 画直线：两端无端点，线条双向无限延伸；4. 命名规范：作图后标注字母，射线严格区分端点与方向，杜绝反向命名。 易错提醒：射线必须保留延伸趋势，禁止画成线段；直线不能添加端点。 【典例2】．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 【变式1】．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 【变式2】．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 【变式3】．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 题型3 点与线的位置关系 解题技巧（二分法判定）：1. 看图判定：点落在直线线条上→点在直线上；点脱离直线线条→点在直线外；2. 文字判定：直线经过点→点在直线上；直线不经过点→点在直线外；3. 规范表述：答题必须使用几何标准术语，杜绝口语化描述；4. 综合题型：多个点、多条直线逐一匹配位置，不遗漏、不混淆。 【典例3】．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 【变式1】．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． 【变式2】．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 【变式3】．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线，； (2)画射线； (3)取一点，使点既在线段上又在线段上． 【答案】(1) 所求直线，如图所示； (2) 所求射线如图所示； (3) 所求点如图所示． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图．分别根据直线、射线、线段的定义作出图形即可． （1）根据直线的定义画图即可； （2）以B为端点画射线即可； （3）作线段与线段相交，交点即为点M． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型4 直线、线段、射线的数量问题 解题技巧（分类计数法）：1. 直线计数：两点确定一条直线，不重复、不遗漏，全局统计；2. 线段计数：优先套用公式，无公式时按单段、两段组合、多段组合分层数；3. 射线计数：每个端点双向直线含2条射线，单向端点含1条射线，按端点逐个统计；4. 核心原则：计数不重不漏，射线重点看端点和方向。 高频易错：同端点、不同方向是不同射线，极易漏数。 【典例4】．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 【变式1】．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． 【变式2】．定义：具有方向的线段叫做有向线段，以为起点、为终点的有向线段记作．我们将长度相等且方向相同的线段记作同一条有向线段．例如，在正方形中，有向线段与是同一条有向线段，而有向线段与不是同一条有向线段．连接正方形任意两顶点的有向线段共有条．如图，在的网格中，连接任意两格点的有向线段共有______条． 【答案】 34 【分析】根据题目定义，长度相等且方向相同的有向线段视为同一条，即统计网格中所有可能的不同有向线段的条数．分类讨论，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为 1， 分类讨论， ①横着算：从左往右长度为1的线段1条，从右往左长度为1的线段1条，共2条； 从左往右长度为2的线段1条，从右往左长度为2的线段1条，共2条； 从左往右长度为3的线段1条，从右往左长度为3的线段1条，共2条； ②竖着算：从上往下长度为1的线段1条，从下往上长度为1的线段1条，共2条； 从上往下长度为2的线段1条，从下往上长度为2的线段1条，共2条； ③斜着算： 的网格，正方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为1和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和2的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 的网格，边长为2和3的长方形的两条对角线，方向相同和相反各两条，共4条； 综上所述，共条． 【变式3】．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】(1)； (2)； (3)枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 题型5 直线相交的交点个数问题 解题技巧（公式+分类讨论）：1. 最多交点：n条直线两两相交、无三线共点，套用公式；2. 最少交点：所有直线交于同一点，最少交点为1；3. 中间情况：存在多条直线共点时，逐一减去重合交点；4. 规律记忆：2条最多1个、3条最多3个、4条最多6个交点。 【典例5】．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【答案】B 【分析】本题考查直线相交的交点规律问题，找出n条直线两两相交最多交点数的规律即可解题． 【详解】解：由题意可得， ∵2条直线相交交点数为， 3条直线两两相交最多交点数为， 4条直线两两相交最多交点数为， 5条直线两两相交最多交点数为， ∴可得n条直线两两相交最多交点数的规律为， 当时，代入得． 【变式1】．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 【变式2】．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及直线的交点问题，能根据题意发现最多交点个数的变化规律是解题的关键． 根据题意，依次求出图形中最多的交点个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：， …， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，． 即10条直线相交，最多的交点个数为45个． 故答案为：45． 【变式3】．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 题型6 线段的应用 解题技巧（建模转化法）：1. 生活建模：道路、木棍、绳子、间距均抽象为线段；2. 长度计算：利用线段和、差、等分关系求解实际长度；3. 计数应用：站点、握手、线段型计数，直接套用线段计数公式；4. 最值基础：两点之间线段最短，解决最短路径、最短距离基础题型。 解题核心：所有有限长度的直线型实物，均可抽象为线段解题。 【典例6】．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 【变式2】．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 【变式3】．2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备________种不同的车票． 【答案】20 【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”． 题型7 两点确定一条直线 解题技巧（公理套用秒杀法）：1. 原理熟记：两点有且只有一条直线；2. 场景匹配：钉木条固定、排队对齐、拉线砌墙、瞄准定位，全部用此公理解释；3. 反向判断：过一点可画无数条直线，过两点只能画一条直线；4. 几何应用：通过两点唯一确定直线，用于作图、定点、直线唯一性证明。 答题模板：依据两点确定一条直线，故可固定/确定直线位置。 【典例7】．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 【变式1】．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 【变式2】．“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是___________________ 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质．经过两点有且只有一条直线．根据直线的性质，可得答案． 【详解】解：“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”用数学知识解释其道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3】．在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据直线的性质可知： ①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③打靶瞄准，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 故体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，共3个， 故答案为：3． 1．下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：、∵直线两端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画直线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵射线一端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画射线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵线段有固定端点，可延长， ∴延长线段到点是正确的作图叙述，符合题意； 、∵，，三点不一定在同一条直线上，只有三点共线时才能画出一条直线， ∴过，，三点画一条直线的表述错误，不符合题意． 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意． 3．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 4．如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线、射线、线段的定义，解题关键是正确掌握三者的概念． 直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；而线段不延伸，根据定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，应为“如图所示，点在射线上”，描述不相符，不符合题意； 选项，应为“如图所示，射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； 选项，描述相符，符合题意； 选项，射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：． 6．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 7．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定总站点数，中途2个停靠站加甲，乙两地共4个站点，由于高铁票往返方向不同是不同的车票，且所有路程都不相等，先计算单向的不同车票数量，再乘2得到总票数． 【详解】解：∵甲，乙两地加中途2个停靠站，总站点数为 个， 又∵所有站之间路程都不相等，且往返方向不同，车票不同. ∴单向的不同车票种类为 种. ∴总的不同高铁票种类为 种． 8．小谦同学在与妹妹下五子棋时出现了如图所示的画面（部分），棋盘上有黑白两色棋子若干，善于思考的他想找出颜色相同的三颗棋子在同一条直线上的所有直线，请你根据图示，判断满足这种条件的直线共有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线的数量问题，画出符合题意的直线即可求解． 【详解】解：画出直线如图， 共有条直线， 故选：D． 9．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 10．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【详解】解：由题意得，其中的数学原理是两点确定一条直线． 11．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 12．一条铁路上有10个站，需要制作________种火车票． 【答案】 90 【分析】从甲站到乙站与从乙站到甲站是两种不同的火车票，结合总站点数计算总票数即可； 【详解】解：由题意得，共有个站点，每个站点需要开往其余个站点的不同火车票， 因此总票数为：. 13．如图所示，有条直线，条射线，条线段，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查直线、射线、线段、代数式求值，根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，进而代值可求解． 【详解】解：由图可知，有1条直线，6条射线，6条线段， ∴，，， ∴， 故答案为：1． 14．在做教室卫生时，小毛同学发现座位排列不齐．他思考片刻后，先将第一排和最后一排的座位固定，然后沿着这两点连成的直线，将其他座位依次对齐．这个方法巧妙地运用了一个数学原理，这个数学原理是________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，小毛同学固定第一排和最后一排座位，相当于确定两个点，然后沿这两点连成的直线对齐其他座位，这运用了“两点确定一条直线”的几何原理． 【详解】解：在初中几何中，公理“两点确定一条直线”指出：通过两个不同的点，有且只有一条直线．小毛同学固定第一排和最后一排座位（两个点），并沿其连线对齐其他座位，直接应用了这一原理． 故答案为：两点确定一条直线． 15．如图，已知，在角的边上标有四点，在角的边上标有、四点，线段中（整数），把不相交的两线段称为一组“友谊线段”，如线段与线段是一组“友谊线段”，则线段组中一共有“友谊线段”__________组． 【答案】36 【分析】本题考查了线段数量问题；根据题意，在两边各取两点，四点构成一个四边形，其对边恰有一对“友谊线段”，分别计算出从，上各取两点的方法数，即可求解． 【详解】解：在两边各取两点，四点恰有一对“友谊线段”， 从上任取两点，有种方法， 从上任取两点，有种方法， 线段组中一共有“友谊线段”共（组）． 故答案为：36． 16．如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求． (2) 如图所示，线段即为所求． (3) 如图所示，射线和点即为所求． (4) 如图所示，线段和即为所求． 【分析】本题主要考查线段、射线和直线： （1）线段向两个方向无限延伸得到直线，直线没有端点； （2）线段有两个端点； （3）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点； （4）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 17．如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： (1)画直线、线段、连接线段并反向延长； (2)图中以为端点的线段共有________条． 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】本题考查直线、线段的定义及线段的计数．关键是根据直线、线段的基本特征，利用无刻度直尺作出指定图形；通过列举所有以为端点的线段，统计数量得到结果． （1）依据直线向两方无限延伸、线段有两个端点的性质，分别画出直线、线段，再连接并完成反向延长操作； （2）逐一找出所有以为端点的线段，再统计线段的总条数． 【详解】（1）略 （2）解：以为端点的线段有、、，共3条； 故答案为：． 18．观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)三条直线相交，最多有3个交点 (2)四条直线相交，最多有6个交点 (3)n条直线相交，最多有个交点 【分析】本题考查的是直线两两相交的交点数量的探究． （1）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （2）结合图形，根据直线两两相交且交点不重合时最多分析求解，即可解题； （3）先分别找出两条直线，三条直线，四条直线的最多交点数量规律，再总结归纳得出n条直线相交，最多有交点个数的规律，即可解题． 【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点； （2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点； （3）解：两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 依次类推， 写出n条直线相交，最多有个交点． 19．如图，已知线段． (1)【探究新知】 ①在上取1个点，图中共有__________条线段； ②在上取2个点，图中共有__________条线段； ③在上取3个点，图中共有__________条线段； (2)【归纳结论】 在上取个点，共有条线段，试写出与的关系式：__________； (3)【实际应用】 鲁南高铁与京沪高铁、济青高铁、青盐铁路共同构成山东省内的高铁环线，其中最先开通的日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站依次是：日照西→厉家寨→莒南北→临沂北→费县北蒙山→泗水南→曲阜东，那么要为这趟列车制作的车票一共有__________种． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段的应用，有理数的运算及应用，图形类规律等知识点，找到规律是解决此题的关键， （1）根据要求作图依次查出线段的数量即可得解； （2）由（1）的线段数量与线段上取点个数，观察即可找到规律； （3）将站点看作取点个数，根据（2）的规律结合车票有往返之分解答即可． 【详解】（1）解：①如图， 在上取1个点，图中有共条线段， ②如图， 在上取2个点，图中有共条线段， ③如图， 在上取3个点，图中有共条线段， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，可发现在上取个点，线段总数共有条线段， ∴， 故答案为：； （3）解：∵日照至曲阜段在运行途中需停靠的8个车站， ∴可以将日照和曲阜看作一条线段上的两个端点，在这条线段上取了6个点， ∴由（2）结论知，线段总数为， ∵车票有往返之分， ∴为这趟列车制作的车票一共有种， 故答案为：． 20．（1）规律探究：平面内有个点且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？已知平面内有2个点时，可以画1条直线；平面内有3个点时，可画3条直线；平面内有4个点时，可画______________条直线；平面内有5个点时，可画_________条直线；……，则平面内有个点时，可画_______________条直线． （2）知识迁移：元旦晚会上，某班有位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握____________次手，若共握了55次手，则有____________人参加了此次握手活动． （3）问题解决：2025年“江西足球城市联赛”（简称赣超）将11支球队分成南区和北区两个小组，小组内实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛）．比赛规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知九江队分在北区小组（共5支球队），在小组赛中总共负了1场，最终获得15分． ①本届赣超北区小组赛共有_________场比赛，九江队进行了_________场小组赛． ②求九江队在北区小组赛中获胜的场数． 【答案】（1）6，10，；（2），11；（3）①20，8；②九江队小组赛胜了4场． 【分析】本题考查了点的数量与直线数的关系，握手和踢球的问题，解题的关键是找出点的数量与直线数的规律． （1）通过画图，探究可知规律； （2）握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的，解方程，可得答案； （3）①把每支球队看作一个点，先求出单循环赛制的场数，再求出双循环赛制的场数；②列出方程，解答即可． 【详解】解：（1）通过规律探究可知： 平面上有4个点时，一共可画直线的条数为（条）， 平面上有5个点时，一共可画直线的条数为（条）， ， 平面上有n个点时，一共可画直线的条数为； （2）两两握手的规律与点的数量与直线数的规律是一样的， n位同学两两握手（每两人只握一次手），一共要握次手， ，解得：或（舍去）， 所以若共握了55次手，则有11人参加了此次握手活动； （3）①北区有5支球队，实行双循环赛制（每两支球队之间进行主、客场两场比赛），把每支球队看作一个点，由（1）中规律可知：单循环赛制有（场）比赛，因为是双循环赛制，所以共有20场比赛；九江队要和北区除自己之外的4支球队比赛，每两支球队之间进行主、客场两场比赛，所以九江队进行的小组赛场数为（场）比赛； ②设九江队在北区小组赛中获胜的场数为x场， 依题意可得：， 解得， 所以九江队在北区小组赛中获胜了4场． 21．学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所．不同学校的运动场设置不一定相同，举行运动会前，需要施划不同项目的比赛场地．施划这些运动场地，除了要考虑体育场的大小、不同运动项目的特点，还要用到数学知识．下面，我们用数学的眼光观察学校体育场，并为学校日后举行的田径运动会规划比赛场地．如图为操场跑道示意图，最内侧跑道由两段相等的直道和两段半径相同的半圆形的弯道组成，其中直道的长度为，半圆形弯道的半径的长度为． (1)施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是________； (2)请你用含，，的代数式表示出最内侧跑道的周长； (3)当，时，求最内侧跑道的周长．（） 【答案】(1)两点确定一条直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式和基本的几何图形： （1）根据 “经过两点能且只能作一条直线”，即可求得答案； （2）最内侧跑道的周长直道的长度半径为OE的圆的周长； （3）代入求值即可． 【详解】（1）施工团队在规划操场的直跑道时，为保证跑道笔直，他们在跑道的起点和终点分别竖立了一根高高的标杆作为参照．这样操作的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线 （2）最内侧跑道的周长． （3）将，代入，得 最内侧跑道的周长． 22．探究平面内条直线相交的交点个数问题． (1)研究：平面内n条直线相交，当这n条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这n条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有___________个交点；平面内有4条直线，则最多有___________个交点；若平面内有n条直线，则最多有___________个交点． (2)拓展：若平面内的n条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为___________． (3)应用：地面上有7条公路（假设公路是笔直的，并且可以足够长地延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有24名交警，要求每个岔口至少站一名交警，那么最多有多少个岔口有不止一个交警？． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了直线与直线间交点规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键． （1）根据题意结合图形即可解答； （2）利用题中方法代入数据计算即可； （3）把7条公路看作是7条直线，先求出7条直线两两相交时的交点的个数，再根据交警数量先每个岔口各分1名交警，再将多余的交警分散分配即可． 【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即； 平面内有4条直线，则最多有个交点，即； ； 若平面内有条直线，则最多有个交点，即. （2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时， 其交点的个数最多为（个）， 其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数. （3）解：把7条公路看作是7条直线，则7条公路两两相交时交点的个数为：， ， 因此最多有3个岔口有不止一个交警． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $