29.2.2 圆心角 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“圆心角”核心知识点，通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学抽象、推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆心角与弧、弦关系，简单计算与辨析|结合生活情境（定滑轮问题），通过单选、填空夯实概念，如正五边形相似判定| |提升层|圆心角性质综合应用，证明与计算|通过全等证明（如△AOC≌△BOC）、等弧转化（如弧BC=弧CD）培养推理意识| |综合层|动态问题、折叠变换与最值，跨知识整合|融合轴对称（将军饮马模型）、勾股定理（折叠求AC长），发展创新意识与空间观念|

29.2.2 圆心角 一、单选题 1．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（　　） A． B． C． D． 2．下列两个图形，一定是相似图形的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个矩形 C．两个正五边形 D．两个长度相同的圆弧 3．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（　　） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA 5． 如图， AB 是⊙O的直径， AB=8， 点M在⊙O上，∠MAB=20°， 点N是弧MB 的中点，点P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 6．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，则∠AOE=　 　 °. 7．如图， AB为⊙O的直径， 点C、D 是BE的三等分点， ∠AOE=60°， 则∠BOD 的度数为　 　. 8．如图，在中，请添上一个条件：　 　，使得． 9．如图，是的弦，于点H，点P是所对的优弧上一点，若，，则　 　． 10．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则　 　． 11．如图，在⊙O中，AB 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D，连接 CD . 如果AD=6 ， DB=2 ， 则AC 的长为　 　. 12．如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，且0°<∠ABC<45°，将沿弦BC折叠交AB于点D，E是的中点，连结CE恰好经过圆心O，若AB=2，则AD的长为　 　。 三、复合题 13．已知：如图，A、B、C、D 是 上的点，，. （1） 证明：； （2） 求 BD 的长. 14．已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 15． 如图1， 在⊙O中， AB为直径， P为AO上的点， 过点P作AB 的垂线交⊙O于C， D两点，E为 上的点，且 连结CE交AB 于点 F， 连结 AC， 记. （1）请用含α的代数式表示.∠ACD。 （2） 若 AF=2BF， 求 tanα 的值。 （3） 如图2， 连结AE交CD 于点G， 若⊙O的半径为5， CP·CG=27， 求AC的长。 16．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB 上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点 C作 的平分线交⊙O于点D，过点 D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E. （1）如图1，连结AD，求证： （2）若⊙O的半径为5，求 CA·CE的最大值. （3）如图2，连结AE，设 ①求y关于x的函数表达式. ②若 求y的值. 四、解答题 17．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC． （1）求∠AOB的度数 （2）求∠EOD的度数 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 2．【答案】C 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；图形的相似 3．【答案】C 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 4．【答案】D 【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：在 ⊙O中，， ，故A选项正确； 在△AOC与△BOC中， ， ， ， D、E分别是半径OA，OB的中点， ， 在△ACD与△BCE中， ， ， ，，故B、C选项正确； ∵CA和CO不一定相等， ∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立. 故答案为：D. 【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D. 5．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定） 【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK. 则∠MAB=∠KAB=20°， ∵OA=OM=OK， ∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°， ∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°， ∴∠MON=∠NOB=20°， ∴∠KON=60°， ∵ON=OK， ∴△NKO是等边三角形， ∴NK=ON=4， ∵M，K关于AB对称， ∴PM=PK， ∴PN+PM=PN+PK≥NK=4， ∴PM+PN的最小值为4， ∴△PMN的周长的最小值=PM+PN+MN=4+1=5， 故选：B. 【分析】如图，作点M关于AB的对称点K，连接AK，OK，PK，OM，ON，NK.证明△ONK是等边三角形，再利用两点之间线段最短即可解决问题. 6．【答案】75 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：∵ ，∠COD=35°， ∴∠BOC=∠DOE=∠COD=35°， ∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=75°， 故答案为：75°. 【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠BOC=∠DOE=∠COD=35°，可得∠BOE的度数，由邻补角性质可得∠AOE的度数。 7．【答案】80° 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；邻补角 【解析】【解答】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 【分析】由平角的定义求出的度数，再根据弧、弦、圆心角的关系得到解答即可． 8．【答案】 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：添加， 则． 故答案为：． 【分析】根据弧，弦之间的关系即可求出答案. 9．【答案】 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形 10．【答案】 【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图， 过点分别作，垂足分别是， ∴， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】过点分别作，垂足分别是，即可得与相等，与相等，与相等，与相等，再根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得相等，再根据角平分线的判定定理得相等，相等，进一步推理即可得的度数. 11．【答案】 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：连接CO、CB，作CE⊥AB于点E， ∵和所对圆周角为∠CAB ∴= ∴BC=DC ∵CE⊥BD ∴DE=BE=BD=1 ∴AB=AD+BD=6+2=8 ∴OB=OC=AB=4 ∴OE=OB-BE=4-1=3 ∴AE=AD+DE=6+1=7 ∴CE= ∴AC= 故答案为： . 【分析】和所对圆周角为∠CAB得CD=CB，由等腰三角形的性质知DE=BE=1，由勾股定理得CE的长，由此可得AC的长. 12．【答案】 【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】 解：连接CD， AC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∵点E是 的中点， ∴设 的度数为α， 则 的度数为2α， ∠DCE=∠BCE=α， ∵CE恰好经过圆心O， AB=2， ∴OB=OC=OA=1， ∴∠ABC=∠BCE=α， 的度数为α， 的度数为α， 的度数为3α 由折叠的性质得： 的度数为3α， 的度数为180°， ∴α+3α=180°， 解得： α=22.5°， ∴∠ABC=∠BCE=∠DCE=22.5， ∴∠DCB=∠DCE=∠BCE=45°， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC=67.5°， 又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC=67.5°， ∴AC=CD， ∵CH⊥AB， ∴AH=DH， 在 中， 是等腰直角三角形，即(CH=OH，由勾股定理得： H， 故答案为：. 【分析】连接CD， AC，过点C作 于点H，设弧DE的度数为α，根据折叠的性质及圆周角定理可求出 则 则 是等腰直角三角形，即CH=OH，再由勾股定理得 进而得 据此可得AD的长. 13．【答案】（1）证明：， ， 即， ∴. （2）解：，， . 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】(1)由∠1=∠2各∠DOB=∠COA，即得； (2)由BD=AC即得结果. 14．【答案】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）证明：解：∵，， ． 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】（1）由角的构成及等量加等量和相等推出∠BOD=∠COA，由同圆中相等得圆心角所对弧相等可得结论； （2）由等弧所对弦相等可得答案. （1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 15．【答案】（1）解：∵AB⊥CD， AB为直径 ∴ 又∵ ∴ ∴∠DCE=∠ACD=α （2）解：由 (1) 可得， AP=FP 设AP=FP=2a， BF=2a 则AB=6a， 连结OC， 得OC=OA=3a， OP=a 在Rt△OPC中， 而∠ADC=∠DCE=α 所以 （3）解： ∵由 (1) 得 ∴∠DCA=∠DCE=∠AEC， AE=CD ∴CG=EG， AG=GD 又∵ 设OP=x， 则.AP-FP=5-x ∴ =50-10x ∵∠ACG=∠E， ∠CAG=∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴-(2·CP-CG)·2·CP ∴ 即 解得： 当x-2时， 同理，当 时 【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)由垂径定理知，又得，由此可得∠ACD的度数； (2)由(1)知AP=PF，求出OC和OP的长，由勾股定理得CP的长，由此可得正切值； (3)由(1)得CG=GE，AG=DG，设OP=x结合△CAG∽△EAC可得，求出x的值，即可得AC的长. 16．【答案】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠E， ∵∠ADC=∠ABC， ∴∠ADC=∠E （2）解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠DCE， 又∵∠ADC=∠E， ∴△ADC∽△DEC， 即 又∵⊙O的半径为5， 即CA·CE的最大值为100 （3）解：①如图，连结AD， ∵△ADC∽ 过点D作 DF⊥CE于点 F，不妨设 EF=a， ∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°， 又 ② 即x：y=9：4， 将 代入 得 解得 当x=2时： 当 时 或 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】(1)根据AB//DE，可得∠ABC=∠E，又由同圆中同弧所对圆周角相等即可求解； (2)先找出△ADC∽△DEC，即可得到CD2=CA·CE，再根据圆的半径为5可知最大为CD=5，即CA·CE=100； (3)①由(2)的相似可得，再过点D作DF⊥CE，设EF=a，则CF=DF=ax，，代入y即可求解. ②根据，得到，即x：y=9：4，代入y的表达式即可求出结果. 17．【答案】（1）20°；（2）60°． 【知识点】圆心角、弧、弦的关系 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $