30.3 正多边形与圆-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©30.3 正 1基础在线> “知识要点分类练 知识点1 与正多边形有关的计算 1.一个正多边形的中心角为40°，这个正多边形 的边数是 () A.10 B.9 C.8 D.7 2.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若正方形 ABCD的边长为4，则正方形的半径是() A.4 B.2 C.2√2 D.4√2 A M 第2题图 第3题图 3.(广州期末)如图，正六边形ABCDEF内接于 ⊙O,已知这个正六边形的边心距OM的长为 3,则⊙O的半径为 () A.3 B.2√3 C.3 D.6 4.(中考·宿迁)如图，正五边形ABCDE内接于 ⊙O,连接AC,则∠ACD的度数为 A A D 第4题图 第5题图 5.如图，AB,BC和AC分别为⊙O内接正方形、 正六边形和正n边形的一边，则n是 6.如图，⊙O的半径为R,六边形ABCDEF是圆 内接正六边形，四边形EFGH是正方形，连接 OF,OG. (1)求∠OGF的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比. 多边形与圆 知识点2画正多边形 7.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了 一种特殊的平面图形 一正八边形 如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作 ⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作 法，保留作图痕迹) 0 图① 图② 2能力在线沙方法规律综合族… 8.(台州期末)如图，正八边形ABCDEFGH内 接于⊙O,连接CG,HE相交于点Q,则 ∠GQH的度数为 () A.75° B.72 C.67.5°D.62.5 H D 第8题图 第9题图 第三十章118 9.(中考·山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇 宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家 的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个 正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的 半径是2，则图中阴影部分的面积是() A.π B.2π C.3π D.4元 10.(烟台期末)如图，正方形 G ABCD与等边三角形GEF 内接于⊙O,EF∥AB,则 ∠DOE的度数为 11.(广州期末)已知AB是⊙O的内接正十边形 的一条边，AC是⊙O的内接正十五边形的一 条边，那么以BC为边的正多边形的边数为 12.(中考·徐州)“连弧纹镜”为战国至两汉时期 备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连 续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰 图案.图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹 饰中有八个连续的弧连成一圈.图②为另一 件连弧纹镜（残件）的示意图. 图① 图② (1)若将图②中的连弧纹镜补全，则该铜镜应 为“ 连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图②中所 有残缺的弧，使其“破镜重圆”.（保留作图痕 迹，不写作法) 13.(中考·绵阳)如图，在中心为O的正六边形 ABCDEF中，点G,H分别在边AF,CD上， 且不同于正六边形的顶点，CH=FG. (1)证明：四边形BGEH为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心， 119探究在线九年级数学（上） OB为半径的扇形BOF与正六边形形成阴 影部分，求图中阴影部分的面积 B 3 拓展在线沙培优拔尖提升纸… ● 14.(杭州期末)我国古代主流钱币一般采用外圆 内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦 朝开始流通的方孔圆钱.如图，在方孔圆钱的 示意图中，圆心和正方形ABCD的中心重 合，分别延长AD,DC交⊙O于点E,F.若 ⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为1， 则EF= A.AO=BO=3,OP=5,∠OBP=90°， ,⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径， ∴.BP=√/OP2-OB2=√52-32=4. ..d=20D=2AF. :SAam=2OB·BP=合OP,BD, ∴.d=AB+AC-BC. 拓展在线 :.BD-OB BP-3X4-12.:.BC=2BD-24 6.B OP 5 51 微专题14证明切线的常用方法 AB是⊙O的直径， 1.连接DO,CD. .AB=2OA=6,∠ACB=90° AC切⊙O于点C,.AC⊥CO. Ac-VaB-BC-√6-()-8 BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，∴.∠ADC=90. 拓展在线 E为AC的中点， 12.A ,ED=EC,.∠ECD=∠EDC 第2课时切线长定理 .OC=OD,.∠OCD=∠ODC 基础在线 .∠EDO=∠ECO=90°，.DE与⊙O相切 1.A2.70° 2.ME=1,AM=2,AE=√5， 3.AB与AC相等， .∴.ME+AE=AP, 如图，连接OD,OE, ∴.△AME是直角三角形，且∠AEM=90. :AB,AC是小圆的两条切线，切点分别 又：MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM=90°， 为D,E, 即OB⊥BC. ∴.OD⊥AB,OE⊥AC,AD=AE. 又，OB是⊙O的半径，.BC是⊙O的切线 ∴.AB=2AD,AC=2AE. 3.(1)证明：如图，连接OC,OE, ..AB=AC. ,CD是⊙O的切线， 能力在线 .∠OEC=90°， 4.D5.48 在△OEC和△OBC中， 6.(1)60° (OE=OB, (2)如图，连接OC.由题意，知CD EC=BC, CE,OD⊥CD,OE⊥CE, OC-OC, .OC是∠EOD的平分线 .△OEC≌△OBC(SSS),∴.∠OBC=∠OEC=90°， ∠00E=合∠D0E=30. 即BC⊥OB,.BC是⊙O的切线. .CE=20 cm,.'.OC=2CE=40 cm. (2)连接0D,易证∠D0C=2∠A0B=90 ∴.0E=√/402-202=20√3(cm). AD=8,AB=12, .轮胎的直径为403cm. ∴.DE=8,AO=BO=6,∴.OD=10. 拓展在线 设BC=EC=x, 7.d>6y=x-12z+36 在Rt△OBC中，OC=62+x2, 2x 在Rt△ODC中，OC=(x+8)2-102, 30.2三角形的内切圆 9 基础在线 62+x2=(x+8)2-102,解得x=2 1.D2.117 BC=号 3.(1)△ABC的内切圆⊙O如图所示 (2)如图，连接OD,OE 4.连接OD,OE,BE,OD与BE交于点H. 由题意知，OD⊥AB,OE⊥BC, .AB是⊙O的直径， .∠ODB=∠OEB=90° ∴∠AEB=90. ∠B=40°，.∠D0E=140°. ED=DB,∴.∠EOD=∠BOD. 又OE=OB,.OD⊥BE ∠EFD=2∠DOE=70, ,AC⊥CD,∴.四边形ECDH是矩形， 能力在线 .OD⊥CD,.CD是⊙O的切线 4.B 5.(1)如图，即为所作。 5.(1)由题意，AB⊥OD,BC⊥OE,CA⊥OF (2)AC与⊙O相切.理由如下： ∴.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°， 过点O作OD⊥AC于点D. :∠D0E=120°，∠E0F=150°， ,CO平分∠ACB,∠ABC=90°， ∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∴OB=OD,即d=r,∴.AC与⊙O相切. ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30° 30.3正多边形与圆 .∠A=180°-∠B-∠C=90°. 基础在线 ∴.∠A,∠B,∠C的度数分别为90°，60°，30° 1.B2.C3.B4.72°5.12 (2)证明：由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CF=CE, 6.(1)由题意知，∠OFG=60°+90°=150°， ∴.BD+CF=BE+CE=BC. ∠0Gp=180°，150-15. AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC, 2 ..2AF=AB+AC-BC. ,∠ODA=∠OFA=∠A=90°， （2)S=6×9=39R,Sa=, 4 ∴.四边形ADOF是矩形..OD=AF. 28 一探究在线·九 小S正六边形：S正方形=3 15.连接OC,则0C=OA, 2 ∠CAB=60°， 7.如图所示 ∴△AOC是等边三角形. .∠COD=60°. ∴∠B=号∠00D=30 CD与⊙O相切于点C,交BA的延长线于点D, .CD IOC..∠OCD=90° .∠D=90°-∠C0D=30° ∠B=∠D..CD=CB. 能力在线 16.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 8.C9.D10.75°11.6或30 ..AB=CD,..AB=DC. 12.(1)七 (2)如图所示，即为所求 :BM=CM,∴.BM=CM. ..BM-AB=CM-CD. .AM=DM..M为AD的中点. (2)⊙O的半径为√2. 17.(1)证明：连接OD,如图所示. OE=OD,∴∠OED=∠ODE. 13.(1)证明：：六边形ABCDEF是正六边形， :DE∥OA, ∴.BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF .∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD. =∠EFA=∠FAB=∠ABC ∠AOC=∠AOD. 又CH=FG, 在△AOD和△AOC中， △BCH≌△EFG(SAS)..BH=EG AO-=AO, .CD=AF,CH=FG, ∠AOD=∠AOC, ∴.CD-CH=AF-FG,即DH=AG. LOD=OC, ∴.△DEH≌△ABG(SAS).∴.EH=BG. ∴.△AOD≌△AOC(SAS)..∠ADO=∠ACO. ∴四边形BGEH是平行四边形. ,AC与⊙O相切于点C, (2)如图，连接OB,OA,OF, ∴.∠ADO=∠ACO=90°. ,点O是正六边形ABCDEF的中心， 又OD是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线. ∴.OB=OA=OF,∠AOB=∠AOF= (2)CE=6,.OE=OD=OC=3. 号×360°=602 在Rt△ODB中，BD=4,OD=3, ∴.△OAB和△OAF都是等边三角形 .B0=√BD2+OD=5. ..OB=OA=OF-AB-AF-4, .BC=BO+OC=8. .∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，SANOB=SANOF :⊙O与AB和AC都相切，.AD=AC 在Rt△ACB中，AC+BC=AB, 5AB-45. 即AC+82=(AC+4)2,解得AC=6. 六S形0=120X4Xx=16m AC的长为6. 360 3 单元综合复习（六） 直线与圆的位置关系 ∴.阴影部分的面积为S形oF一S△AOB一S△AOF= 16元 热门考点突破 3 1.C2.D3.(9,0) 45-45=1g-8v5. 4.连接OD, :⊙O与边BC相切于点D, 拓展在线 ∴.OD⊥BC,即∠ODC=90°. 14.2√2 △ABC为直角三角形， 微专题15隐圆问题 .∠ODC=∠B=90°. 1.1+222.43.2√64.2√5-2 .OD∥AB.∠1=∠3. 5.(1)4(2)67-2 0D=OA.∠1=∠2. 2 .∠3=∠2..AD平分∠BAC 6.2+2√3 5.(1)证明：连接OD 阶段测评6(30.1~30.3) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 1.B2.A3.B4.B5.C6.D 直径， 7.28.259.√310.10 .∠ACB=90°，OA=OD. .∠OAD=∠ODA. 11.219° 12,2或-2或013号 DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=90° 14.如图，四边形ABCD即为所求作. :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD. ∴∠EAD=∠ADO.∴.OD∥AE. ∴.∠ODE=180°-∠AED=90°. OD为⊙O的半径，.DE是⊙O的切线. (2)设OD交BC于点F, 年级数学（上）一