30.1.2 第1课时 切线的性质与判定&第2课时 切线长定理-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

30.1.2 圆的切线 ©第1课时 切线的性质与判定 :知识要点分类练 ①基础在线>知识要点分 (1)求证：AB为⊙O的切线； … (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长. 知识点1切线的性质 1.(湛江月考)如图，PA切⊙O于点A,PO交 ⊙O于点B,若PA=12,OP=13,则⊙O的半 径是 () A.4 B.2 C.5 D.10 B 第1题图 第2题图 2.（中考·安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与 ⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知 ∠P=50°，则∠PAB的大小为 2 能力在线》 方法规律综合练 ● 知识点2切线的判定 6.(遵义期末)如图，已知AB是⊙O的直径，PB 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接 是⊙O的切线，连接PA交⊙O于点C,连接 AC,BC,延长BC至点T,连接AT.在不添加 BC.若AB=6,PB=8,则BC的长是() 任何辅助线的情况下，添加一个条件： A.3.6 B.4.8 C.5 D.7.2 ,使得直线AT是⊙O 的切线， 第6题图 第7题图 7.(中考·福建)如图，PA与⊙O相切于点A, 第3题图 第4题图 PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交 4.如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的 ⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 ⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于点F,则 () 直线EF与⊙O的位置关系是 A.30° B.45° C.60° D.759 5.(中考·山东)如图，在△OAB中，点A在⊙O 8.(中考·青岛)如图，四边形ABCD是⊙O的 上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D,AC 内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC,直线EA 是∠BAD的平分线. 与⊙O相切于点A.若∠BCD=128°，则 113探究在线九年级数学（上） ∠DAE的度数为 () 11.(中考·济南)如图，AB是⊙O的直径，C为 A.52 B.54 C.64° D.74 ⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC,且 D M ∠OBP=90°，连接PC. (1)求证：PC与⊙O相切； (2)若AO=3,OP=5,求AC的长. y 第8题图 第9题图 9,(武汉月考)如图，PM,PN分别与⊙O相切于 A,B两点，C为⊙O上异于A,B的一点，连接 AC,BC.若∠P=56°，则∠ACB的大小是 10.(中考·湖北)如图，⊙O是△ABC的外接 圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为 E,交AC于点D,交⊙O于点F.过点F作 ⊙O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙O的半径 D 3拓展在线> 培代拔尖提升练 …● 12.如图，等边三角形ABC的边 长为6，⊙C的半径为√6，P 为AB边上一动点，过点P作 ⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 () A.√/21B.2√6 C.3√3 D.√/30 第三十章114 ©第2课时 切线长定理 ①基础在线 知识要点分类练 5.(中考·西宁)如图，四边形ABCD是⊙O的外 切四边形，AB=9,CD=15,则四边形ABCD的 知识点切线长定理 周长为 1.(门头沟期未)如图，PA,PB与⊙O分别相切 6.停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装置， 于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那么PA的 小明据此抽象出如图②所示的图形.停车楔 长度是 () △ABC为直角三角形，边AC与轮胎⊙O相切 A.2 B.3 C.3 D.2√3 于点D,轮胎⊙O与地面相切于点E,连接 OD,OE,∠ABC=30° (1)∠DOE的度数为 (2)若CE=20cm,求轮胎的直径. B B 第1题图 第2题图 2.(中考·黑龙江)如图，PA,PB是⊙O的切线， B D A,B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P= 7777777777777777777777777T C 图① 图② 3.(盐城期中)如图，在以点O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB,AC分别与小圆相切于点 D,E,则AB与AC相等吗？为什么？ D ③拓展在线》培优报尖提升练 …0 2 能力在线少方法规律综合练 7.(中考·广州)已知⊙O的半径为6，⊙0所在 4.(荆门月考)如图，PA,PB,CD是⊙O的切线， 平面内有一动点P,过点P可以引⊙O的两条 A,B,E是切点，CD分别交PA,PB于C,D 切线PA,PB,切点分别为A,B.点P与圆心 两点，若∠COD=55°，则∠APB的度数为() A.45° O的距离为d,则d的取值范围是 B.50° C.60° D.70° 若过点O作OC∥PA交直线PB于点C(点C A 不与点B重合)，线段OC与⊙O交于点D.设 0 PA=x,CD=y,则y关于x的函数解析式为 D B 第4题图 第5题图 115探究在线九年级数学（上）7.如图所示，连接AB, .∠ACB=90°， 1=号=5cm,∴7=2 AB为圆的直径.∴.AB=6dm 7 AC=BC,.由勾股定理，得 1 AC=3√2dm. .滤纸可紧贴漏斗内壁 ÷sw=90xX82-(dm. 360 2 (2)由(1)可知，圆锥滤纸底面积为x-2空xcm,侧面 能力在线 8.B9.D10.511.42x12.3W3-π 积为1-空xcm, 13.(1)120° ∴滤纸围成的圆锥形的全面积为空x+空-华x(cm)。 (2)如图，连接CD,过点B作BH⊥ CD于点H, 微专题13与圆有关的不规则图形的面积的求法 半径为1的等圆⊙A和⊙B, 1.B2.A3.9π-184.D5.4 .'BC=BD=1. 6.号 7.A8.29.C ,BH⊥CD,CH=DH, 由(1)可知，∠CBD=120°，∴∠BDC=∠BCD=30° 阶段测评5(29.2~29.3) BH-合BC=合，CH-√BC-BF-复.：CD= 1.A2.B3.C4.C5.C6.A7.50 8.39.510.0x 11.9012.2√213.75° 4 2CH-3.CD. 4 14.△AOC是等边三角形，.∠AOC=60° ∴.∠B0C=180°-∠A0C=120°. :S扇形BCD 120π×12=元 360 3 D是BC的中点，∴BD=CD. 3③ 1 .S号形CAD=S期形CD一S△BCD= 4 ∠B0D=∠C0D-=之∠B0C=60 33 小S明指=2S3形cD=名x ∠AOC=∠COD..AC=CD 2 15.(1)证明：，AB为直径，∴.∠ACB=90° 拓展在线 .∠ACM+∠BCM=90° 14.D ,∠BAC=∠BCD,∴∠ACM+∠BAC=9O°， 第2课时圆锥的侧面积和全面积 在△ACM中，∠AMC=180°-（∠ACM+∠BAC)= 基础在线 90°，.AB⊥CD 1.B2.78π3.B4.8m (2)5 5.(1)圆锥的侧面积是120xX6 16.(1)证明：如图，连接AP 360 =12π(cm2) ,AB是半圆O的直径， (2)扇形的孤长是120×6 180 4π(cm), ∴.∠APB=90° .AP⊥BC ,∴.圆锥的底面圆的半径是2cm,底面圆的面积是4πcm2, PC=PB,∴AB=AC. 则围成的圆锥的全面积是12π十4π=16π(cm2). (2)如图，连接OP,,∠ABC=30°， 6.(1)20375π ∴.∠PAB=90°-∠ABC=60°..∠POB=120° (2)由(1)知，侧面积为375πcm2, :O是AB的中点，AB=8, 设所需扇形卡纸的圆心角的度数为n°，依题意，得 ∴0A=AP=号AB=4.PB=V8-4=45. 360×x×252=375元，解得n=216. 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216° .SAPOB=- Saa=专×2APPB=4. 7.4π或π 能力在线 ∴S卷=5Ee-5am=120X华-4/万=1 360 π-43 8.(3√13π+18x-2)m29.4 17.(1)连接OA,由题意，得 A 10.(1)9 AD-=号AB=30米， (2),圆锥高h=4m,半径r=3m, 0D=(r-18)米， 根据勾股定理，得母线长l=√？+h=√32+4平=5(m), 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 .侧面积S=πrl=π×3×5=15π(m2). =302+(r-18)2,解得r=34, 底面积S2=πr2=πX32=9x(m2). ∴.圆弧所在圆的半径r的长为34米. S=S1十S2=15x+9π=24x(m), (2)如图所示，连接OA',由题意，得OP⊥A'B, 答：至少需要24πm2的涤纶布. .A'B'=2A'E. 拓展在线 :PE=4米，∴.OE=OP-PE=34-4=30(米). 11.(1)能.理由如下： .A'E=√OA-OE=16(米). 设圆锥形滤纸的底面周长为C,半径为r,母线为， .A'B=2A'E=32米. 由题意，得漏斗底面半径R=子cm,母线长L=7cm,滤 32>30,.不需要采取紧急措施. 纸直径d=10cm. 单元综合复习（五）圆 5 :号rd=C=2r,∴r=号cm 热门考点突破 1.A2.B3.B4.B 一探究在线·九 5.26.不穿过7.B8.1409.120 (3)由上图可知，当0<r<4.8或6<r<8时，⊙C与Rt 10.(1)证明：延长DE交⊙0于点G,如图 △ABC的三条边只有两个公共点. 所示. 拓展在线 AB为⊙O的直径，DE⊥AB, 15.(1)当⊙P与直线x=2相切时，得|x-2|=3,即x-2= .DE=GE,BD=BG. 土3， :D是BC的中点， .x=5或x=-1. ∴.CD=BD=BG..BC=DG ∴点P的坐标为(5，)或(-1，)， .'BC=DG=2DE. (2)由(1)知BC=2DE=6, (2)当⊙P与直线x=2相交时，x的取值范围为 -1<x5; AB是直径，.∠ACB=90° 在Rt△ABC中，AB=10,BC=6, 当⊙P与直线x=2相离时，x的取值范围为x< -1或x>5. 由勾股定理，得AC=√AB一BC=8. 30.1.2圆的切线 AC的长为8. 第1课时切线的性质与判定 11.C12.40π 基础在线 13.(1)如图，连接BD, 1.C2.203.∠TAC=∠B(答案不唯一)4.相切 ,C为OD中点，AB⊥OD, 5.(1)证明：：AD⊥OB,∠DAC+∠ACD=90°. ∴.OB=BD. 'OA=OC,∠OAC=∠OCA. 又OB=OD,.OB=OD=BD :AC是∠BAD的平分线， △OBD是等边三角形. ∴.∠DAC=∠BAC. .∠BOD=60°，即∠BOC=60° .∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°. (2)由题意，BC-=号AB=25, 即AB⊥OA,由题意知，OA为半径， .AB为⊙O的切线. 设OB=r,则0C= (2).∠AOB=45°，又AB⊥OA, 在Rt△BOC中，由勾股定理求得r=4.∴.OC=2. ∴△OAB等腰直角三角形. ∴Ss=Sam-Sm-60XC4-合×25x2= ⊙0的半径为2，∴OA=2=OC..OB=√2OA=2√2. 360 ..CB=0B-OC=22-2. g-25. 能力在线 6.B7.C8.C9.62°或1189 14.15π15.√/4Iπ 10.(1)证明：DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, 核心素养提升 .AB∥GF 16受 '.∠BAC=∠G=45°. ∴.∠FDG=90°-45°=45°， 第三十章直线与圆的位置关系 即△DFG是等腰直角三角形.∴FD=FG 30.1直线与圆 (2),DF⊥AB, 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 基础在线 AE=BE=分AB=6, 1.C2.相交3.D4.45.A6.A7.B .∠BAC=45°， 8.过点C作CD⊥AB,垂足为D .∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE 在Rt△ABC中，AB=4,BC=2, 是等腰直角三角形.∴.EA=ED=6. ∴.AC=23. 由(1)得FD=FG=10, ∴.EF=DF-DE=10-6=4. 又：SaAC=合AB.CD-号BC·AC, 如图所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x十4 :.CD-BC-AC-. =OA,在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE. AB (1)r=1.5cm时，相离. 红+=十.解得=号 (2)r=√3cm时，相切. 0A=z+4=号+4只@0的半径为号 (3)r=2cm时，相交. 11.(1)证明：如图，连接OC,OC= 9.相切或相交10.2cm或8cm OA, 能力在线 .∠OAC=∠OCA. 11.C12.相交13.r=√2或r>2 OP∥AC, 14.(1)当r=4.8时，⊙C与AB所在直线 ∴.∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP. 相切. .∠COP=∠BOP. (2)由(1)知，当r=4.8时，⊙C与AB .OC=OB,OP=OP, 所在直线相切，即此时⊙C与斜边AB ∴.△COP≌△BOP(SAS) 只有一个公共点； .∠OCP=∠OBP=90°.∴.OC⊥PC. 如图，可知当6<≤≤8时，⊙C与斜边AB只有一个公共 ,OC为半径，.PC与⊙O相切. 点； (2)如图，连接BC交OP于点D, 综上，⊙C与斜边AB只有一个公共点时，r=4.8或6<r ≤8. △COP≌△BOP,∴.PC=PB,OB=OC. .OP垂直平分BC. 年级数学（上）一 27 .AO=BO=3,OP=5,∠OBP=90°， ,⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径， ∴.BP=√/OP2-OB2=√52-32=4. ..d=20D=2AF. :SAam=2OB·BP=合OP,BD, ∴.d=AB+AC-BC. 拓展在线 :.BD-OB BP-3X4-12.:.BC=2BD-24 6.B OP 5 51 微专题14证明切线的常用方法 AB是⊙O的直径， 1.连接DO,CD. .AB=2OA=6,∠ACB=90° AC切⊙O于点C,.AC⊥CO. Ac-VaB-BC-√6-()-8 BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，∴.∠ADC=90. 拓展在线 E为AC的中点， 12.A ,ED=EC,.∠ECD=∠EDC 第2课时切线长定理 .OC=OD,.∠OCD=∠ODC 基础在线 .∠EDO=∠ECO=90°，.DE与⊙O相切 1.A2.70° 2.ME=1,AM=2,AE=√5， 3.AB与AC相等， .∴.ME+AE=AP, 如图，连接OD,OE, ∴.△AME是直角三角形，且∠AEM=90. :AB,AC是小圆的两条切线，切点分别 又：MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM=90°， 为D,E, 即OB⊥BC. ∴.OD⊥AB,OE⊥AC,AD=AE. 又，OB是⊙O的半径，.BC是⊙O的切线 ∴.AB=2AD,AC=2AE. 3.(1)证明：如图，连接OC,OE, ..AB=AC. ,CD是⊙O的切线， 能力在线 .∠OEC=90°， 4.D5.48 在△OEC和△OBC中， 6.(1)60° (OE=OB, (2)如图，连接OC.由题意，知CD EC=BC, CE,OD⊥CD,OE⊥CE, OC-OC, .OC是∠EOD的平分线 .△OEC≌△OBC(SSS),∴.∠OBC=∠OEC=90°， ∠00E=合∠D0E=30. 即BC⊥OB,.BC是⊙O的切线. .CE=20 cm,.'.OC=2CE=40 cm. (2)连接0D,易证∠D0C=2∠A0B=90 ∴.0E=√/402-202=20√3(cm). AD=8,AB=12, .轮胎的直径为403cm. ∴.DE=8,AO=BO=6,∴.OD=10. 拓展在线 设BC=EC=x, 7.d>6y=x-12z+36 在Rt△OBC中，OC=62+x2, 2x 在Rt△ODC中，OC=(x+8)2-102, 30.2三角形的内切圆 9 基础在线 62+x2=(x+8)2-102,解得x=2 1.D2.117 BC=号 3.(1)△ABC的内切圆⊙O如图所示 (2)如图，连接OD,OE 4.连接OD,OE,BE,OD与BE交于点H. 由题意知，OD⊥AB,OE⊥BC, .AB是⊙O的直径， .∠ODB=∠OEB=90° ∴∠AEB=90. ∠B=40°，.∠D0E=140°. ED=DB,∴.∠EOD=∠BOD. 又OE=OB,.OD⊥BE ∠EFD=2∠DOE=70, ,AC⊥CD,∴.四边形ECDH是矩形， 能力在线 .OD⊥CD,.CD是⊙O的切线 4.B 5.(1)如图，即为所作。 5.(1)由题意，AB⊥OD,BC⊥OE,CA⊥OF (2)AC与⊙O相切.理由如下： ∴.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°， 过点O作OD⊥AC于点D. :∠D0E=120°，∠E0F=150°， ,CO平分∠ACB,∠ABC=90°， ∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∴OB=OD,即d=r,∴.AC与⊙O相切. ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30° 30.3正多边形与圆 .∠A=180°-∠B-∠C=90°. 基础在线 ∴.∠A,∠B,∠C的度数分别为90°，60°，30° 1.B2.C3.B4.72°5.12 (2)证明：由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CF=CE, 6.(1)由题意知，∠OFG=60°+90°=150°， ∴.BD+CF=BE+CE=BC. ∠0Gp=180°，150-15. AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC, 2 ..2AF=AB+AC-BC. ,∠ODA=∠OFA=∠A=90°， （2)S=6×9=39R,Sa=, 4 ∴.四边形ADOF是矩形..OD=AF. 28 一探究在线·九 小S正六边形：S正方形=3 15.连接OC,则0C=OA, 2 ∠CAB=60°， 7.如图所示 ∴△AOC是等边三角形. .∠COD=60°. ∴∠B=号∠00D=30 CD与⊙O相切于点C,交BA的延长线于点D, .CD IOC..∠OCD=90° .∠D=90°-∠C0D=30° ∠B=∠D..CD=CB. 能力在线 16.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 8.C9.D10.75°11.6或30 ..AB=CD,..AB=DC. 12.(1)七 (2)如图所示，即为所求 :BM=CM,∴.BM=CM. ..BM-AB=CM-CD. .AM=DM..M为AD的中点. (2)⊙O的半径为√2. 17.(1)证明：连接OD,如图所示. OE=OD,∴∠OED=∠ODE. 13.(1)证明：：六边形ABCDEF是正六边形， :DE∥OA, ∴.BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF .∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD. =∠EFA=∠FAB=∠ABC ∠AOC=∠AOD. 又CH=FG, 在△AOD和△AOC中， △BCH≌△EFG(SAS)..BH=EG AO-=AO, .CD=AF,CH=FG, ∠AOD=∠AOC, ∴.CD-CH=AF-FG,即DH=AG. LOD=OC, ∴.△DEH≌△ABG(SAS).∴.EH=BG. ∴.△AOD≌△AOC(SAS)..∠ADO=∠ACO. ∴四边形BGEH是平行四边形. ,AC与⊙O相切于点C, (2)如图，连接OB,OA,OF, ∴.∠ADO=∠ACO=90°. ,点O是正六边形ABCDEF的中心， 又OD是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线. ∴.OB=OA=OF,∠AOB=∠AOF= (2)CE=6,.OE=OD=OC=3. 号×360°=602 在Rt△ODB中，BD=4,OD=3, ∴.△OAB和△OAF都是等边三角形 .B0=√BD2+OD=5. ..OB=OA=OF-AB-AF-4, .BC=BO+OC=8. .∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，SANOB=SANOF :⊙O与AB和AC都相切，.AD=AC 在Rt△ACB中，AC+BC=AB, 5AB-45. 即AC+82=(AC+4)2,解得AC=6. 六S形0=120X4Xx=16m AC的长为6. 360 3 单元综合复习（六） 直线与圆的位置关系 ∴.阴影部分的面积为S形oF一S△AOB一S△AOF= 16元 热门考点突破 3 1.C2.D3.(9,0) 45-45=1g-8v5. 4.连接OD, :⊙O与边BC相切于点D, 拓展在线 ∴.OD⊥BC,即∠ODC=90°. 14.2√2 △ABC为直角三角形， 微专题15隐圆问题 .∠ODC=∠B=90°. 1.1+222.43.2√64.2√5-2 .OD∥AB.∠1=∠3. 5.(1)4(2)67-2 0D=OA.∠1=∠2. 2 .∠3=∠2..AD平分∠BAC 6.2+2√3 5.(1)证明：连接OD 阶段测评6(30.1~30.3) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 1.B2.A3.B4.B5.C6.D 直径， 7.28.259.√310.10 .∠ACB=90°，OA=OD. .∠OAD=∠ODA. 11.219° 12,2或-2或013号 DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=90° 14.如图，四边形ABCD即为所求作. :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD. ∴∠EAD=∠ADO.∴.OD∥AE. ∴.∠ODE=180°-∠AED=90°. OD为⊙O的半径，.DE是⊙O的切线. (2)设OD交BC于点F, 年级数学（上）一