27.1 反比例函数的概念-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

根据题意，设P(m,-）, (2)当ax2+bx+c≤0时，x的解集是一2≤x≤4. 11.设垂直于墙的一边长xm, -=m-2m-3. (1)由x(40-2.x)=150,解得x1=5,x2=15, 当x=5时，40-2x=30>25(不符合题意，舍去). 解得m=2计10 2 0,m=2(不合题意，舍去)， 当x=15时，40-2x=10<25(符合题意). 2 ,.三边长分别为10m,15m,15m. 故存在点P,使四边形POPC为菱形，且点P的坐标为 (2)设矩形围栏的面积为S. 则有S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200. 当x=10时.S有最大值； 5.(1)y=x2-2x-3 当x=10时，40一2x=20<25(符合题意). (2)当y=x2一2x一3=0时，解得x1=3, .三边长分别为20m,10m,10m x2=-1, 12.(1)2 .B(3,0) :C(0,-3),易得直线BC的解析式为y (2)证明：4=(-m)P-4X号×(m-1)=m2-2m+2- =x-3. (m-1)2+1, 作PF⊥x轴于点F,如图，设P(m,m2 (m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0..△>0. 2m-3),则OF=m,PF=-m2+2m+3,∴.BF=3-m. .该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点 :△CDE与△PBE的面积相等， (3)p>1或p<-1. ,SACDE十S四边形ODEB=S△PBE十S四边形ODEB, 13.(1),OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m, 即SABOC=S四边形ODPB=S△PFB十S四边形ODPF, 顶点B的坐标为(4,4). D(0,-1),.0D=1. 设桥大拱部分抛物线的函数解析式为y=α(x一4)2+4， 2×3×3=2×(-m+2m+3)3-m)+2×(-m 把00,0)代入解析式，得0=a×0-4)2+4,解得a=一4， 1 +2m+3+1)m. 解得m=子或m=0(舍去)，P(子，-9）》： 桥大拱部分抛物线的函数解析式为)=一子(。一4P十4 (0≤x≤8) (3)存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不妨令点 (2)不会 M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如答图①，可知 单元综合复习（二）二次函数 ∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°，不符 热门考点突破 合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M在 点H的下方，如答图②.由(2)知，直线BC的解析式为y 1,32.3.A4.D =x-3,连接MH,GN,由题意，易得△MGN是等腰直角 5.(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)十(x-a)(x- 三角形，∠HGN=45°，.GN⊥y轴，MH⊥x轴.设点M b)十x(x-b)可化为y=x(x-0)十(x-0)(x-3)十x(x 的坐标为(m,m2-2m一3)，其中0<m<3,则点H的坐标 -3)=3x2-6x, 为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N的坐标为 一6=1. 「二m士5，二)，将点N的坐标代入范物线解 ·此函数图象的对称轴为2=一品=一2X 2 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+ 析式y=x2-2x-3,解得m=1,m2=6(舍去)，此时，MH x(x-b)可化为y=x(x-a)十(x-a)(x-2a)十x(x- =2,正方形的边长为v√2.③若点M,N在直线BC的上方， 2a)=3x2-6ax+2a2, 不妨设点M在点H的上方，如答图③.设点M(m,m2一 抛物线对称轴为工=一品=一2X号-a, -6a 2m一3)，其中m<0或m>3,根据正方形性质，得点N的 坐标为（仁士严，心”），将点N的坐标代入抛 .3>0,.抛物线开口向上. 2 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，.a≥1. 物线的解析式y=x2-2x一3，同理，可得m=1(舍去)， ,在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴.a≤3. m2=6,此时，MH=18,正方形的边长为9√2. .1≤a≤3. 6.y=-(x-1)2+3(答案不唯一)7.y=x2-6.x十10 综上所述，正方形的边长为√2或9√2 8.A9.x≤-3或x≥010.①②⑤11.B 12.9m162m213.900 14.(1)由点(2,3.2)，(4,4.2)，易得y关于x的函数解析式 为y=-0.05x2+0.8x+1.8. (2)由表格易得球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒) 的关系式为x=10t. 答图① 答图② 对于y=-0.05x2+0.8.x+1.8,a=-0.05<0, 阶段测评3(26.3~26.4) 0.8 六当x=2x二0.05=8时， 1.C2.B3.D4.D5.4 ymx=-0.05×82+0.8×8+1.8=5. 6.x≤-1或x≥47.0或4+23或4-2√3 此时10t=8,解得t=0.8, 8.1509.1或5 ∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米. 10.(1)由对称轴x=1及A(4,0),易知与x轴的另一个交点 (3)p≤0.36 为(-2,0)， 核心素养提升 所以一元二次方程ax2十bx十c=0的两个根为x=4,x2 =-2. 16.-号 22 一探究在线·九 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 (2②)y=是是反比例函数，比例系数是8， 基础在线 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.B2.23-号x≠04.C5.C6.T-8 3 Q 20 基础在线 7.y=60 1.图略 4 -203 ”z=3时=6， 2.B3.C4C5.C6.1(答案不唯-)7.号 8.(1)设y= 8.(1)由反比例函数图象的性质可知，另一支曲线一定位于 6=夸解得=18， 第四象限 :反比例函数图象在第二、第四象限， 小函数解析式为y=8 ∴.比例系数a十6<0.即a<-6. x (2),k=a十6<0，.在反比例函数图象的每一个分支上， (8当x-9时y-坚-吕-2 y随x的增大而增大 x 点A,B在同一分支上，且x1>x2,·y1>y2. 9.1 9.A10.y>4或y<0 能力在线 能力在线 10.C11.0 11.D12.C 12.运动会上100m赛跑时，所用时间t(s)与跑步的平均速 13.(1):含45°角的三角尺OAC的直角顶点C的坐标为(2， 度(m/s)之间的关系，其函数解析式为t=100(答案不 2》,反比例函数)-兰（(x>0)的图象经过点C 唯一) .k=2×2=4. 13.(1)-x+5一次 “反比例函数的解析式为y一 4 2y-9 反比例 (2)C(2,2),∴.C0=22+22=8. (3)S=-x2+10x二次 :含45°角的三角尺OAC为等腰直角三角形，∠AC0= 14.设y=1x,=三(k1≠0，k2≠0)， 90°， 又“y=十心y=x+经 ∴.AC=C0,A0=√CO+AC=4. 如图，连接OD,△OAB旋转到 〔k1十k2=4, △OEF的位置， 把x,y的值代入，得 3+-5， .0E=OA=4. :点D的对应点G在y= 4的图 11L21 1y=8x+82 象上， 解得 k2=8 ∴y6=1.即EG=1. 由旋转可得AD=EG=1, 当=4时-号×4+裂4贸 .D(-1,4) 拓展在线 15.(1)由题意，得3m-2≠0,2+n=1,解得m≠号m=-1, 14.(1)由题意，得1-2m>0,解得m<2 即当m≠号m=一1时，该西数是一次函数 (2)①：四边形ABOD是平行四边形， ∴.AD∥BO且AD=BO. (2)由题意，得3m-2≠0,2+n=1,m+号=0，解得m= .A(0,3),B(-2,0),O(0,0), 点D的坐标是(2,3). 2n=-1, :1-2m=3,即1-2m=6. 2 即当m=2n=一1时，该函数是正比例函数。 ÷该反比例函数的解析式为y一 (3)由题意，得3m-2≠0,2十n=-1,m十号=0，解得m ②(3,2)或(-2，-3)或(-3，-2)4 3 第2课时反比例函数图象和性质的应用 =2n=-3, 基础在线 即当m=号，A=-3时，该函数是反比例函数。 1.B 拓展在线 2.(1)y关于x的函数解析式为y=-10 x 16.(1)连接BE (2)”在反比例函数y=-10中，k=-10<0, ,四边形ABCD是矩形， ,∴.∠ABC=90° ∴这个函数的图象在第二、第四象限；在每个象限内，y随 BF⊥AE, x的增大而增大 1 SAE=AEBF=AB·BC (3)将x=一之x=一6分别代入y=-9中， x 可得y=20,y=100, 即2y=×2x4,∴y=(4<<25). ÷点A(-名，20)在这个函数的图象上，点B(-品-) 年级数学（上）一第二十七章 ©27.1 反比 基础在线 、知识要点分类练 知识点1反比例函数的概念 1.(枣庄月考)下列y关于x的函数中，是反比例 函数的是 () Ay=含 .1 B.y-2x 1 C.y-2+x D.y=飞 2.(郑州月考)已知函数y=xm-3是反比例函数， 则m= 3.(日照月考)反比例函数y=一 中，其比例系数6 是 ,自变量x的取值范围是 知识点2在实际问题中建立反比例函数模型 4.若等腰三角形的面积为10，底边长为x,底边上 的高为y,则y关于x的函数解析式为 () A.y=10 x B.y=5 c-9 D.y=若 5.(濮阳月考)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫， 已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产 x只(x取正整数)玩具熊猫的总成本为5000元， 则y与x之间满足的关系式为 () A.y=5000 B.y=5000 3x C.y=5000 3 D.y=500x 6.若一个水池内蓄水40m3,设放完满池水的时 间为Th,每小时放水量为Qm3,则T与Q之 间的函数关系式是 ；当Q=2m3 时，T= h. 反比例函数 例函数的概念 知识点3确定反比例函数的解析式 7.已知y是x的反比例函数，请你根据下表中的 信息，写出y关于x的函数解析式： 并在表中空格处填上适当的数， x -3 6 20 … y 15 10 8.(教材P65例题变式)已知y是x的反比例函 数，并且当x=3时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=9时，求y的值. 易错点忽视反比例函数中k≠0的条件而出错 9.已知函数y=(m十1)xm-是反比例函数，则m 的值为 ②能力在线》方法规律综合练 10.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反 比例函数的是 () A.小明完成100m赛跑时，时间t(s)与跑步 的平均速度o(m/s)之间的关系 B.菱形的面积为48cm,它的两条对角线的 长y(cm)与x(cm)的关系 C.一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的 质量m与所盛液体的体积V之间的关系 D.压力为600N时，压强p与受力面积S之 间的关系 第二十七章56 11.已知点A(5,m)与点B(一5，n)均在反比例函 数y=的图象上，则m十n的值是 12.【开放设问】请你写出一个能用反比例函数关 系描述的实例，并写出其函数解析式： 13.如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为 am,y m. xm (1)若绳长为10m,则y与x的关系式为y= ,y是x的 函数； (2)若矩形的面积是10m,则y与x的关系 式为 ,y是x的 函数； (3)若矩形的周长为20m,矩形的面积为 Sm,则S与x的关系式为 S是x的 函数。 14.(易错题)已知：y=y十y2,y1与x成正比例， y2与x成反比例，并且x=1时，y=4;x=3 时，y=5.求x=4时，y的值， 57探究在线九年级数学（上） 15.已知函数y=(3m-2)x2+"+(m+2): (1)当m,n为何值时，该函数是一次函数？ (2)当m,n为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当m,n为何值时，该函数是反比例函数？ 3拓展在线沙路优拔尖提升练。 16.如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动 点（不与点C,D重合），BF⊥AE于点F,AB =2,BC=4,设AE=x,BF=y. (1)求y与x之间的关系式，并直接写出x的 取值范围； (2)这个函数是反比例函数吗？如果是，写出 它的比例系数.