二 运算定律 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年四年级上册数学提优训练（北京版·新教材）

运算定律 教村思考题深化 例（教材P32)高斯是一位伟大的数 +(50+51) 学家。他10岁那年，老师出了一道 =101+101+101+.+101 数学题： =101X50 1+2+3+4+…+97+98+99+ =5050 100=? 方法二：1十2+3+4十…+97十98十 同学们开始认真地计算起来，只有 99+100 高斯没有动笔。他思考了一会儿后写 =(1+99)+(2+98)+(3+97)+.+ 出了答案：5050。老师和同学们都十分 (49+51)+100+50 惊奇！ =100+100+100++100+100+50 你知道高斯是怎样想的吗？ =100×49+100+50 思路分行 =5050 通过观察发现，这个算式是由 方法点拨 1开始的自然数相加到100组成 在计算时想要算得快、算得对， 的，我们可以将1和100,2和99， 还要掌握一定的运算技巧，运用转 3和98…48和53,49和52,50和 化的方法去解决问题。 51,依次配对，这样每对的和都是 今巩固深化 101,一共有50对，只需计算出50 1.3+7+11+15+…+55+59 乘101的积即可；也可以将1和99， 2和98,3和97…48和52,49和 51,依次配对，这样每对的和都是 100,一共有49对，先求出49乘100 2.489+487+483+485+485+484+ 的积，再加上没有配对的100和50 486+488 就是这道题的答案。 解答：方法一：1+2+3+4+…+97+ 98+99+100 =(1+100)+(2+99)+(3+98)+… 3 实验班 提优训练 滩题解题帮手 例①简便计算。 例2已知C=5678×8765,D=5677× 36×29+17×36+64×46 8766,比较C和D的大小。 思路分析 思路分析 由于算式36×29与17×36都 根据题目特点，将因数进行拆 含有因数36，因此36×29+17× 分后可以利用乘法对加法的分配律 36可以表示为36×(29十17)= 简算，将5678拆分成(5677+1)，将 36×46,又由于算式36×46与64× 8766拆分成(8765十1)，这样就保 46都含有因数46，且两个不同的因数 证了两个算式都有相同的部分，从 36与64的和为100，可将算式写成两 而比出大小。 个数的和与一个数相乘的形式。 解答：C=5678×8765=(5677+1)× 解答：36×29+17×36+64×46 8765=5677×8765+8765 =36×(29+17)+64×46 D=5677×8766=5677×(8765+1)= =36×46+64×46 5677×8765+5677 =46×(36+64) 因为8765>5677，所以C>D。 =46×100 方法点拨 =4600 对于一些因数比较复杂的乘法 方法点拨 计算，可以充分运用乘法对加法的 对算式进行简便运算时，通常 分配律和乘法结合律，通过拆分和 的做法有：凑整法、整体代换法等。 凑整解答问题。 这样既能提高计算效率，节省计算 时间，又能促进思维发展。 李巩固深化 2.已知K=123456×654321,L= 巩固深化 123455×654322,M=123457× 1.简便计算：67×200+254×33+54×67。 654320,比较K、L、M的大小。 例3马小虎在计算(36+☐×8)× 方法点拨 解决此类题，可先将错就错，利 3时，漏掉了小括号，这时的计算结果是 用错误的得数，根据四则运算各部 156。正确的结果应该是多少？ 分之间的关系，运用倒推法求出算 思路分折 根据题意，马小虎将原题的运 式中的未知量，再求出正确的结果。 算错写成36十☐×8×3，结果 巩固深化 是156。 3.毛毛在计算(450÷3一□)×5时，漏 36+☐×8×3=156 掉了小括号，得到的结果是50。正 ☐×8×3=156-36=120 确的结果应该是多少？ ☐×8=120÷3=40 ☐=40÷8=5 将☐=5代入原来的算式中，按正 确的运算顺序算出正确的结果。 解答：(156-36)÷3÷8=5 (36+5×8)×3=228 答：正确的结果应该是228。 附加题兴趣班 学霸或有兴趣挑战者进入，其余可绕过 名师讲坛 思路分析 可利用举例验证的方法来判断 例笑笑学习了乘法对加法的分配律 笑笑的猜想是否正确。假设a=12, 后，遇到了像a÷(b十c)这样的算式。 b=2,c=4,先分别算出等号左边算 于是，她有了一个猜想： 式12÷(2+4)、等号右边算式12÷ a÷(b+c)=a÷b+a÷c(b和c都大 2十12÷4的结果，再比较两个算式 于0)。 的结果是否相等，从而得出结论。 你认为笑笑的猜想是正确的吗？ 解答：错误 我认为笑笑的猜想是( )的。（填 假设a=12,b=2,c=4。 “正确”或“错误”) 左边：a÷(b十c)=12:(2十4)=2 我的理由是： 右边：a÷b+a÷c=12÷2+12÷4=9 2<9,笑笑的猜想不成立。 5 实验班 提优训练 方法点拨 思路分析 选择简单的非零自然数，代入 选项A:求线段总长，列加法算 a、b、c,分别计算等号的左边和右 式：5+3+2，不是连乘，不符合。 边的算式结果，比较大小，若结果不 选项B:求大长方形面积，列式是 相等，则猜想不成立。 (5十3)×2，是乘加混合，不符合。 久学霸播治 选项C:求大长方形面积，算式是 5×(3+2),是乘加混合，不符合。 1.淘气想：乘法有交换律，那么除法也 选项D:求草莓的总数量，左边是 一定有类似的运算定律。他的观点 “5行×3列×2组”可列式：(5×3) 正确吗？ X2;右边是“5行×2列X3组” (5×2×3),总数不变，仅改变了计 算顺序，符合乘法结合律。 例2下面的图，能表示(5×3)×2=5× 解答：D (2×3)的是( )。 方法点拨 5 cm 3 cm 2 cm 乘法结合律的定义是三个数相 线段的长度是多少？ 乘，先把前两个数相乘，再与第三个 A 数相乘；或者先把后两个数相乘，再 5cm 3 cm 2 cm 与第一个数相乘，积不变。 大长方形的面积是多少？ 久学霸霜6 B 5cm 2.下面不能说明5×3+4×3=(5+4) 3 cm ×3成立的是( )。 2 cm 5×3 4×3 大长方形的面积是多少？ 0 15 27 C A B ●如 3 ×54 12 15 一共有多少颗草莓？ 162 D D参考答案 大数的认识 二运算定律 [难题解题帮手] [教材思考题深化幻 1.167亿352亿 3+7+11+15+.+ 【解析】把大数改写成以“亿”作单位 55+59 的数，去掉末尾的8个0，加上 =(3+59)+(7+55)+(11+51)+ “亿”字。 …+(27+35)+31 2.44万100万 =62×7+31 【解析】把大数改写成以“万”作单位 =434+31 的数，去掉末尾的4个0，加上 =465 “万”字。 【解析】观察算式发现，后一个加数 3.9-6=33×1000000=3000000 比前一个加数多4，且3+59=62,7+ 7-1=66×100=600 55=62,…,一共有7组这样的数，外 3000000+600=3000600 加一个31，根据加法交换律和结合 现在的数比原来小了3000600。 律，即可简便计算。 【解析】可以先分别计算各个数位上 2. 489+487+483+485+485+484+ 相差的数，然后再将结果相加。 486+488 [附加题兴趣班] =490×8-(1+3+7+5+5+6+4+2) (1)625 【解析】计算1亿粒大米够吃多 =3920-33 少天，用1亿粒大米的质量除以班级每天 =3887 吃的质量，即2500÷4=625（天）。 【解析】这几个加数都接近490，都比 (2)践行光盘行动，珍惜粮食，不浪费。 490小，先都看成490，小多少就在后 (合理即可) 面减去多少。 25 实验班 提优训练 [难题解题帮手] K>L。 1. 67×200+254×33+54×67 【解析】根据题目特点，将因数进行 =67X200+54×67+254×33 拆分后可以利用乘法对加法的分配 =67×(200+54)+254×33 律简算。此题需分别进行比较，先比 =67×254+254×33 较K和L的大小，再比较K和M的 =(67+33)×254 大小，从而比出三个字母的大小。 =100×254 3.(450÷3-50)÷5=20 =25400 (450÷3-20)×5=650 【解析】可以先后两次使用乘法对加 【解析】先按照错误的结果和错误的 法的分配律计算，使计算简便。 算式进行计算，得到口表示的数，再 2.先比较K和L: 按照正确的运算顺序计算即可。 K=123456×654321=(123455+1)× [附加题兴趣班] 654321=123455X654321+654321 1.不正确。 L=123455×654322=123455× 【解析】乘法交换律：交换两个因数 (654321+1)=123455×654321+ 的位置，积不变。因为乘法是“求几 123455 个相同加数和的简便运算”，交换两 654321>123455,K>L。 再比较K和M: 个因数的位置不影响计算结果。除 K=123456×654321=123456× 法计算中，被除数和除数的意义完全 (654320+1)=123456×654320+ 不同，交换位置后，平均分的份数和 123456 每份的数量都变了，结果也会改变。 M=123457×654320=(123456+1)× 该运算定律不成立。 654320=123456×654320+654320 2.D【解析】选项A中，圆点图分为 654320>123456,M>K。因此M 两部分，右边5列3行(5×3)，左边 26 4列3行(4×3)，合起来是9列3行， =∠3=55°。 (5+4)×3),符合。 2.∠2=180°-∠1=180°-130°=50° 选项B中，线段图左边一段表示5× ∠3=180°-90°-∠2=180°-90°- 3,右边一段表示4×3，总长等于 50°=40° (5+4)×3,符合。 【解析】从图中可知，∠1+∠2= 选项C中，大长方形由两个小长方形 180°，∠2+∠3+90°=180°，根据各 组成，宽都是3，长分别是5和4，总面 角之间的关系，可求出∠2的度数，再 积是5×3+4×3=(5+4)×3，符合。 求出∠3的度数。 3.15【解析】将整个图形从中间分成 选项D中，用乘法竖式计算3×54，和 两个完全一样的图形，左侧图形中有 5×3+4×3无关，不能说明乘法对加 3十2+1=6（个）三角形，右侧与左侧 法的分配律成立。 一样，所以三角形的数量是6×2= 三角的度量 12(个)；以最下面整条线段为底的三 [教材思考题深化幻 角形共有3个，所以一共有12十3= (180°-30)÷2=75° 15(个)三角形。 【解析】2个∠1和∠2组成一个平角， [附加题兴趣班] 因此180°一∠2=2∠1，由此解答。 【解析】选项A中，“3厘米”是以 「难题解题帮手] “1厘米”为度量单位，属于长度度量活 1.∠1=90°-∠2=90°-35°=55° 动；选项B中，“24平方厘米”是以“1平 ∠3=90°-∠2=90°-35°=55° 方厘米”为度量单位，由24个1平方厘 ∠1=∠3 米组成，属于面积度量活动；选项C中， 【解析】∠1+∠2=90°，∠3+∠2= “30”是以“10”为度量单位，由3个10° 90°，因为∠1和∠2、∠2和∠3组成 组成，属于角度度量活动；选项D是对线 角的度数相等，且∠2=35°，所以∠1 段数量的统计，未使用任何度量单位进 27