1.1.1 集合及其表示方法 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念、元素三特性、表示方法及区间知识，通过生活实例（如班级学生、方程根等）导入，引导学生从初中集合雏形过渡到高中系统认知，搭建知识学习支架。 特色在于以数学眼光观察现实情境，用数学思维辨析元素特性（如“个子高”的确定性讨论），通过数学语言规范表示（如对比{y|y=x²}与{(x,y)|y=x²}）。实例丰富，如重根问题强化互异性，助力学生发展抽象能力与逻辑思维，为教师提供清晰教学流程和分层练习，提升教学效率。

数学 1.1.1 集合及其表示方法 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 人教B版 高一 一、课标要求 1. 了解集合的含义，理解集合中元素的三个特性，能够运用集合的语言描述物体。 2. 掌握元素与集合的“属于”关系，能正确使用符号“∈”和“∉”表示元素与集合的关系。 3. 掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法，能根据具体问题选择适当的方法表示集合。 4. 理解区间的概念，掌握用区间表示数集的方法，并能用数轴表示区间。 二、教材分析 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第一章1.1节。集合论是现代数学的重要基础，集合语言是现代数学的基本语言。本节课是高中数学的起始课，主要介绍集合的概念、表示方法及元素与集合的关系。通过本节课的学习，学生将初步学会使用集合语言表述数学对象，为后续学习函数、不等式、概率等知识奠定基础。教材先通过生活中的实例引出集合的概念，然后详细讲解集合中元素的特性，接着介绍列举法和描述法，最后引入区间的概念。内容安排由浅入深，符合学生的认知规律。 三、学情分析 高一学生在初中阶段已经接触过一些集合的雏形，如圆的定义、不等式的解集等，对集合有一定的感性认识，但缺乏系统的理论认知。学生的抽象思维能力正处于发展阶段，对于集合中元素的“确定性”、“互异性”和“无序性”这三个特性，特别是“互异性”，容易在实际应用中忽视。此外，描述法中的代表元素和特征性质的表述是难点，学生容易混淆代表元素是x还是y或其他对象。在教学过程中，应通过大量实例和练习，帮助学生加深理解，突破难点。 四、单元教学重点 1. 集合与元素的概念及元素的三特性。 2. 元素与集合关系的符号表示。 3. 集合的表示方法：列举法与描述法。 4. 区间的概念及其表示。 五、课时学习评价 1. 能否准确说出集合的定义及元素的三个特性，并能举例说明。 2. 能否正确使用“∈”和“∉”符号表示元素与集合的关系。 3. 能否根据集合的特点，恰当选择列举法或描述法表示集合。 4. 能否正确将数集转化为区间表示，并能画出对应的数轴。 5. 能否区分集合与元素，如{a}与a的区别。 六、教学过程 科 目 数学 年 级 高一 课 型 新授课 课 题 集合及其表示方法 课 时 1 主备教师 教师 环节一：创设情境，引入新课（约5分钟） 教师活动：教师展示一组图片和描述：（1）某校高一（1）班全体学生；（2）方程{x²−1=0}的所有实数根；（3）所有的正方形。教师提问：“上述三组对象有什么共同特点？你能给它们起一个共同的名字吗？” 学生活动：学生观察、思考、讨论。预设学生回答：它们都是由一些确定的对象组成的整体；它们可以统称为集合。 教师追问：“那么，什么叫做集合呢？组成集合的每个对象又叫什么？” 学生回答预设：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起组成一个集合，组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 设计意图：通过学生熟悉的实例，引导学生从感性认识上升到理性认识，自然引出集合与元素的概念。 环节二：探究新知，理解概念（约15分钟） 1. 集合中元素的特性 教师活动：教师提出问题：“考察下列对象是否能构成一个集合？（1）个子高的同学；（2）小于10的正整数；（3）方程{x²+1=0}的实数根。”引导学生分析并总结集合中元素的特性。 学生活动：学生分组讨论。预设回答：（1）不能，因为“个子高”没有明确标准；（2）能，是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；（3）能，但不包含任何元素。 教师总结：集合中的元素具有三个特性。 （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。如“个子高的同学”标准不明确，不能构成集合。 （2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的。如果出现重复元素，只能算作一个。例如，方程{(x−1)²=0}的根组成的集合是{1}，而不是{1,1}。 （3）无序性：集合中的元素是没有顺序的。例如，{1,2,3}与{3,2,1}是同一个集合。 2. 元素与集合的关系 教师活动：教师讲解符号表示：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。 课堂练习1：用符号“∈”或“∉”填空。 （1）3 ____ N；（2）0 ____ N+；（3） ____ Q；（4）−1 ____ Z。 学生活动：学生独立完成，然后口答。 教师点评并给出答案：（1）3 ∈ N；（2）0 ∉ N+；（3） ∉ Q（注：这里指的是元素不属于有理数集，或者理解为集合与Q的关系，题目若指元素，则是不是数，此处应理解为元素 ∉ Q。修正题目为： ____ Q）；（4）−1 ∈ Z。 答案：（1）∈；（2）∉；（3）∉；（4）∈。 3. 集合的分类 教师活动：介绍有限集、无限集和空集的概念。 （1）有限集：含有有限个元素的集合。 （2）无限集：含有无限个元素的集合。 （3）空集：不含任何元素的集合，记作∅。空集是有限集。 环节三：集合的表示方法（约15分钟） 1. 列举法 教师活动：教师举例：小于5的自然数组成的集合，可以表示为{0,1,2,3,4}。定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。 教师提问：“用列举法表示方程{2x−4=0}的解集。” 学生回答：{2}。 教师强调：要注意元素的无序性和互异性。例如，方程{(x−1)(x−2)=0}的解集是{1,2}，不能写成{1,2,2}或{2,1}（虽然{2,1}正确，但习惯上按一定顺序书写）。对于元素较多的集合，可以使用省略号，如自然数集N可表示为{0,1,2,3,…}。 课堂练习2：用列举法表示下列集合。 （1）大于2且小于5的整数；（2）方程{x²−9=0}的解。 学生活动：学生板演。 答案：（1）{3,4}；（2）{3,−3}。 2. 描述法 教师活动：教师提出问题：“如何表示不等式{2x−3>5}的解集？”指出无法用列举法表示，引出描述法。 定义：如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}，这种方法称为特征性质描述法，简称为描述法。 教师讲解：竖线左边是集合的代表元素，右边是元素满足的性质。例如，不等式{2x−3>5}的解集可表示为{x|x>4}。 注意：在描述法中，要写清楚代表元素。例如，{y|y=x²}表示函数值构成的集合，而{(x,y)|y=x²}表示抛物线上的点构成的集合。 课堂练习3：用描述法表示下列集合。 （1）正偶数集；（2）被3整除的整数。 学生活动：学生练习，教师巡视指导。 答案：（1）{x|x=2k, k∈N+}；（2）{x|x=3k, k∈Z}。 3. 常用数集及其记法 教师活动：展示常用数集符号： （1）非负整数集（自然数集）：N（注意0∈N）； （2）正整数集：N+或N*； （3）整数集：Z； （4）有理数集：Q； （5）实数集：R。 环节四：区间的概念（约8分钟） 教师活动：教师讲解区间的定义。设a,b是两个实数，且a<b。 （1）满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2）满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； （3）满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)和(a,b]。 （4）实数集R可以用区间表示为(−∞,+∞)。“∞”读作“无穷大”。 教师强调：区间是集合的一种表示形式，端点a,b叫做区间的端点。在数轴上表示区间时，包含端点用实心点，不包含端点用空心点。 课堂练习4：将下列集合用区间表示，并在数轴上表示出来。 （1）{x|−2≤x<3}；（2）{x|x≥1}。 学生活动：学生画图练习。 答案：（1）[−2,3)；（2）[1,+∞)。 环节五：巩固练习（约5分钟） 1. 下列对象中，能构成集合的是（ ） A. 某班个子高的学生 B. 著名的数学家 C. 很小的数 D. 方程{x²+1=0}的实数根 学生活动：思考并回答。 答案：D。 2. 已知集合A={x|{−k<x<k}, k∈N+}，若2∈A且3∉A，则k的值为（ ） 学生活动：分析求解。 解析：由2∈A得−k<2<k，即k>2。由3∉A得3≤−k或3≥k。因为k>0，所以3≤−k不成立，故3≥k。综合得2<k≤3。因为k∈N+，所以k=3。 答案：3。 3. 用适当的方法表示下列集合： （1）方程{x²−2x+1=0}的解集；（2）正奇数集。 答案：（1）{1}（列举法或描述法均可）；（2）{x|x=2k−1, k∈N+}（描述法）。 七、课堂小结 1. 集合与元素的概念：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起组成一个集合，组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 2. 元素的三特性：确定性、互异性、无序性。 3. 元素与集合的关系：属于(∈)和不属于(∉)。 4. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间法。 5. 常用数集的符号：N, N+, Z, Q, R。 八、板书设计 1.1.1 集合及其表示方法 一、集合的概念 1. 定义：... 2. 特性：确定性、互异性、无序性 二、表示方法 1. 列举法：{1,2,3} 2. 描述法：{x|p(x)} 3. 区间：[a,b], (a,b), [a,b), (a,b] 三、常用数集 N, N+, Z, Q, R 九、教学反思 本节课作为高中数学的起始课，概念较多且较为抽象。在教学过程中，通过生活实例引入，降低了学生理解的难度。对于元素的“互异性”，学生在练习中容易忽略，通过反例教学（如方程重根问题）强化了这一印象。描述法中代表元素的书写是易错点，后续教学中应加强对比练习，如{y|y=x²}与{(x,y)|y=x²}的区别。区间表示与数轴的结合较为直观，学生掌握较好。整体来看，课堂节奏紧凑，学生参与度较高，达到了预期的教学目标。 学科网（北京）股份有限公司 $