3.1.1 函数及其表示方法教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数及其表示方法”核心知识，作为函数概念起始课，衔接初中变量观点，通过班级座位对应反例导入，引发认知冲突，为集合对应定义的“任意性”“唯一性”搭建学习支架。 此资料特色在于遵循“具体到抽象”认知规律，以生活实例（如出租车收费）培养数学眼光，通过实例辨析（y=x²与y²=x）发展数学思维，严格定义与符号解读提升数学语言表达，助力学生思维转变，为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

高一 3.1.1 函数及其表示方法 教学设计-2026-2027学年 人教B版 必修第一册 数学 一、教材分析 本节课是高中数学函数概念的起始课，起着承上启下的作用。学生在初中已经接触过函数的变量观点定义，本节将从集合与对应的角度重新审视函数，引入更加严谨、抽象的定义。这不仅是对初中知识的深化与提升，也是后续学习函数性质（如单调性、奇偶性）以及指数函数、对数函数等具体函数模型的认知基础。通过本节课的学习，学生将初步掌握用集合语言描述数学对象的方法，提升数学抽象与逻辑推理素养。 二、教学重难点 重点：理解函数的集合-对应定义，掌握函数的定义域、值域的求法，了解函数的三种表示方法及分段函数的概念。 难点：从变量观点到对应关系观点的思维转变，理解抽象符号f(x)的含义，以及“同一个函数”的判定依据。 三、教学过程 本节课遵循“从具体到抽象、从感性到理性”的认知规律，按照“创设情境—研究探讨—概念形成—概念深化—应用举例—归纳总结—课后作业”的流程展开教学。通过生活实例导入，引导学生自主探究函数的本质特征，进而构建函数的现代定义，并通过辨析与练习深化理解。 四、引言 教师活动：展示生活中的实例。某班级有4名学生，记为集合A={a，b，c，d}，该班级对应的座位号记为集合B={1，2，3，4，5}。假设a坐1号，b坐2号，c坐3号，d没有座位。提问：这种对应关系是函数吗？如果a同时坐了1号和2号呢？ 学生活动：回顾初中函数定义（变量观点），思考并讨论上述两个问题。预设回答：第一种情况不是函数，因为d没有对应的值；第二种情况也不是函数，因为a对应了两个值。 设计意图：通过反例引发认知冲突，直观感受“任意性”和“唯一性”在函数定义中的核心地位，为引出集合观点下的函数定义做铺垫。 五、研究探讨 教师活动：给出两个集合A与B及对应关系，让学生判断是否构成函数。 实例1：A=R，B=R，对应关系f：y=x²。对于A中任意x，在B中都有唯一y与之对应。 实例2：A=R，B=R，对应关系g：y²=x。对于x=4，y=2或y=-2，不唯一。 问题：这两个实例中，哪个能构成函数？为什么？ 学生活动：分组讨论，尝试用自然语言描述函数的特征。预设回答：实例1是函数，实例2不是。因为函数要求对于每一个x，只能有一个y。 教师总结：引导学生提炼出两个关键词——非空数集、任意性（A中每一个x）、唯一性（B中唯一y）。 六、概念形成 教师活动：板书函数的严格定义。一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)或y|ₓ₌ₐ。所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。 学生活动：朗读定义，圈画关键词（非空、每一个、唯一），并理解符号f(x)的含义：f代表对应法则，x代表自变量，f(x)代表在法则f下x对应的函数值。 设计意图：通过严谨的数学语言定义，将直观感知上升为理性认识，明确函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 七、概念深化 1. 求函数的定义域 教师活动：讲解求函数定义域的基本原则（使解析式有意义），并举例如下。 例1：求函数y=/{x−2}的定义域。 解析：要使函数有意义，需满足：①被开方数大于等于零，即x−1≥0，解得x≥1；②分母不等于零，即x−2≠0，解得x≠2。取交集得定义域为[1，2)∪(2，+∞)。 答案：[1，2)∪(2，+∞)。 2. 判断同一个函数 教师活动：提出问题，函数y=x与函数y=是同一个函数吗？ 学生活动：思考并回答。预设：定义域都是R，但是对应关系不同，或者说值域不同（前者值域为R，后者值域为[0，+∞)），所以不是同一个函数。 教师总结：判定两个函数是否为同一个函数，必须同时满足两点：①定义域相同；②对应关系相同（即对于定义域内任意同一个x，函数值都相等）。 八、应用举例 教师活动：展示分段函数及求解析式的例题。 例2：某市出租车收费标准如下：不超过3公里收费10元；超过3公里的部分，每公里收费2元。试写出车费y（元）与里程x（公里）（x>0）之间的函数解析式，并求出行驶5公里时的费用。 解析：这是一个分段函数。当0<x≤3时，y=10；当x>3时，y=10+2(x−3)=2x+4。故解析式为 y={ 10, 0<x≤3; 2x+4, x>3 }。当x=5时，y=2×5+4=14（元）。 答案：y={ 10, 0<x≤3; 2x+4, x>3 }，行驶5公里费用为14元。 例3：已知f(+1)=x+2，求f(x)的解析式。 解析：令t=+1，则=t−1（t≥1）。代入得 f(t)=(t−1)²+2(t−1)=t²−2t+1+2t−2=t²−1。故f(x)=x²−1。由于t≥1，所以f(x)的定义域为[1，+∞)。 答案：f(x)=x²−1，x∈[1，+∞)。 九、归纳总结 师生共同回顾本节课的主要内容： 1. 函数的定义：建立在两个非空数集之间的单值对应。 2. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。其中定义域和对应关系是核心，值域由前两者唯一确定。 3. 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。分段函数是解析法的一种特殊形式。 4. 求函数定义域和解析式的常用方法。 十、课后作业 1. 教材练习题第1、2题。 2. 已知函数f(x)的定义域为[−1，2]，求f(2x−1)的定义域。 答案：由−1≤2x−1≤2，解得0≤x≤1.5。故定义域为[0，1.5]。 3. 画出函数y=|x−1|的图象，并求出其值域。 答案：图象为V字形，顶点(1,0)。值域为[0，+∞)。 学科网（北京）股份有限公司 $