1.1.3 集合的基本运算 第二课时 补集及综合应用（讲义）高一数学人教B版必修第一册.zip

本讲义聚焦高中数学集合基本运算中的补集及综合应用，以集合的基本概念、元素与集合关系、子集为基础，系统讲解全集定义、补集的文字符号图形语言及性质，构建从基础到综合运算的学习支架。 资料通过随学随练、分层题型（补集运算、参数求解等）及拓展新定义问题设计，结合韦恩图、数轴等直观图形培养直观想象，以解题贴士和戴德金分割案例提升数学抽象与逻辑推理，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算 第二课时 补集及综合应用 课标要点 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 学习重难点 重点： 掌握集合元素确定性、互异性、无序性； 分清“∈”“∉”；熟记常用数集； 会用列举法、描述法表示集合； 辨析0，∅，区分点集与数集。 难点： 运用元素互异性求参数需回代检验； 易混淆描述法的数集与点集； 易误用属于与包含符号， 含参数集合易漏讨论情况。 知识点一　全集 1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的　子集　，那么称这个给定的集合为全集. 2.记法：全集通常记作　U　. 提醒：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集. 随学随练 1．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 知识点二　补集 1.补集的概念 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由　U中不属于A　的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作　∁UA　，读作“　A在U　中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A} 图形语言 2.补集的性质 （1）A∪（∁UA）＝　U　； （2）A∩（∁UA）＝　∅　； （3）∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝　A　； （4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）； （5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）. 提醒：（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 随学随练 1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 拓展 集合运算中的新定义问题 我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A相对于全集S的补集为∁SA，即∁SA＝{x｜x∈S，且x∉A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x｜x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}. 【问题探究】 1.若S是高一（1）班全体同学组成的集合，A是高一（1）班全体女同学组成的集合，求S－A及∁SA. 2.在下列各图中用阴影表示集合A－B. 3.如果A－B＝∅，那么集合A与B之间具有怎样的关系？ 4.现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可用下列图中阴影部分表示的为（　　） 【迁移应用】 　由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，可能成立的是　①②④　（填序号）. ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素. 题型一 补集的简单运算 解题贴士：求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 【例1】（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式3】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 集合的综合运算 解题贴士：解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解； （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【例2】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高二下·天津南开·学业考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 与补集相关的参数值的求解 解题贴士：由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的定义求解； （2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解. 【例3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【变式2】（2026·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2022·河北·模拟预测）已知全集，集合.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 题型四 韦恩图的应用 【例4】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 【变式3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 所以阴影部分所表示的集合为 【变式4】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 题型五 新定义问题 【例5】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【变式2】（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 3．（24-25高二下·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 4．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 6．（22-23高三上·河北·阶段检测）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高一上·江西·期中）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 8．（22-23高一上·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 二、多选题 9．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知方程的解集为A，方程的解集为B，，则正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    15．（24-25高一上·山东泰安·阶段检测）设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 素养提升 16．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 17．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 19．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 20．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 迁移创新 21.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算 第二课时 补集及综合应用 课标要点 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情景中，了解空集的含义（数学抽象）. 学习重难点 重点： 掌握集合元素确定性、互异性、无序性； 分清“∈”“∉”；熟记常用数集； 会用列举法、描述法表示集合； 辨析0，∅，区分点集与数集。 难点： 运用元素互异性求参数需回代检验； 易混淆描述法的数集与点集； 易误用属于与包含符号， 含参数集合易漏讨论情况。 知识点一　全集 1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的　子集　，那么称这个给定的集合为全集. 2.记法：全集通常记作　U　. 提醒：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集. 随学随练 1．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知全集，则. 2．（25-26高三下·江西·阶段检测）若全集，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，且全集，所以集合. 知识点二　补集 1.补集的概念 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由　U中不属于A　的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作　∁UA　，读作“　A在U　中的补集” 符号语言 ∁UA＝{x｜x∈U，且x∉A} 图形语言 2.补集的性质 （1）A∪（∁UA）＝　U　； （2）A∩（∁UA）＝　∅　； （3）∁UU＝　∅　，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝　A　； （4）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）； （5）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）. 提醒：（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃”不出全集的范围；（2）补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. 随学随练 1．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式因式分解得，∴ 不等式解集为，又，∴ 全集.∵ 集合，∴ ，故选A. 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，则集合为. 3．（25-26高二下·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，则. 4．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知全集，集合，则________（用区间表示）. 【答案】 【解析】因为，，所以. 拓展 集合运算中的新定义问题 我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A相对于全集S的补集为∁SA，即∁SA＝{x｜x∈S，且x∉A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x｜x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}. 【问题探究】 1.若S是高一（1）班全体同学组成的集合，A是高一（1）班全体女同学组成的集合，求S－A及∁SA. 【提示】S－A＝{x｜x∈S，且x∉A}＝∁SA＝{高一（1）班全体男同学}. 2.在下列各图中用阴影表示集合A－B. 【提示】A中去掉B的部分，得到下列图. 3.如果A－B＝∅，那么集合A与B之间具有怎样的关系？ 【提示】A－B＝∅说明集合{x｜x∈A，且x∉B}中无元素，即A中的元素都在B中，所以A⊆B. 4.现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－（A－B）可用下列图中阴影部分表示的为（　　） 【提示】A　∵A－B＝{x｜x∈A，且x∉B}，即A－B是集合A中的元素去掉A∩B中的元素，记作集合D.如图所示.∴集合C－（A－B）就是C中的元素去掉集合C∩D中的元素.故选A. 【迁移应用】 　由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，可能成立的是　①②④　（填序号）. ①M没有最大元素，N有一个最小元素； ②M没有最大元素，N也没有最小元素； ③M有一个最大元素，N有一个最小元素； ④M有一个最大元素，N没有最小元素. 【答案】①②④ 【解析】若M＝{x∈Q｜x＜0}，N＝{x∈Q｜x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立； 若M＝{x∈Q｜x＜}，N＝{x∈Q｜x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立； 若M＝{x∈Q｜x≤0}，N＝{x∈Q｜x＞0}，则M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立； M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能成立，因为这样就会至少有一个有理数不存在于M和N两个集合中，与M和N的并集是有理数集矛盾，故③不可能成立. 题型一 补集的简单运算 解题贴士：求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 【例1】（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，所以. 【变式1】（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，则不属于的实数满足，即. 【变式2】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 集合 则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【解析】由题意得则共5个元素. 【变式3】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. 题型二 集合的综合运算 解题贴士：解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于维恩图来求解； （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 【例2】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，所以， 又，所以. 【变式1】（2026高二下·天津南开·学业考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知集合，，则， 又因为全集，所以，故B正确. 【变式2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 又集合，，所以，所以. 【变式3】（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，得，所以． 题型三 与补集相关的参数值的求解 解题贴士：由集合的补集求解参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集的定义求解； （2）如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解. 【例3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由全集，且，故，从而. 【变式1】（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解析】因为，，，所以，即. 【变式2】（2026·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由集合，， 因为，可得.故选：B. 【变式3】（2022·河北·模拟预测）已知全集，集合.若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】因为，又， 所以，即且，又，所以；故选：A 题型四 韦恩图的应用 【例4】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，，所以阴影部分表示的集合为 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以. 分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分.因此阴影部分表示集合. 【变式2】（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 【变式3】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 所以阴影部分所表示的集合为 【变式4】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 题型五 新定义问题 【例5】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 根据，所以. 【变式1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解析】由题意得：，所以. 【变式2】（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为.故选：D 【变式3】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2.故选：B 【变式4】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 由题意得.故选：C 基础通关 一、单选题 1．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得集合包含所有大于等于的实数，因此剩余实数范围为，即. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解析】因为，所以的真子集的个数为． 3．（24-25高二下·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 【答案】D 【解析】因为，所以，所以． 4．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【解析】全集，由，得，而，所以.故选：C 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解析】由，且， 可知，且，解得：，符合集合元素特性.故选：A 6．（22-23高三上·河北·阶段检测）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以,又因为 所以.故选: . 7．（20-21高一上·江西·期中）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 【答案】B 【解析】由题意，集合， ，所以阴影部分表示的集合为，有个元素.故选：B 8．（22-23高一上·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【解析】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意，综上， 故选：C 二、多选题 9．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，，，故A正确， 又，，，故B错误． ，，故C正确， ，，故D错误．故选：AC． 10．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由图可知，故A错误；B、C、D均正确，故选：BCD 11．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知方程的解集为A，方程的解集为B，，则正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意可知满足方程，和方程， 即得， 所以原方程为，， 易得， 所以，，，， 即AD正确，BC错误.故选：AD 三、填空题 12．（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】空：因为，所以， 若，则，所以， 空：若，，则，故的取值范围为. 13．（25-26高一上·河南新乡·期中）设全集，，则使成立的集合B至多有________个． 【答案】8 【解析】，根据，可知，即， 所以共有8种，所以集合B至多有8个． 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【解析】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，，或， ，或， 15．（24-25高一上·山东泰安·阶段检测）设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 【答案】 【解析】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 素养提升 16．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）设全集，集合，则的子集个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以的子集个数为. 17．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 18．（25-26高三上·福建漳州·期末）设全集，若集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，, 故由交集和补集的概念阴影部分表示的集合为.故选：B. 19．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【解析】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误．故选：BC． 20．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】或，又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 迁移创新 21.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知集合或. (1)当时，求： (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解】（1）由题知或， 所以； （2）由题知， 若对任意的恒成立，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，即实数的取值范围是 22．（25-26高一上·四川成都·期中）在集合问题中，韦恩图（Venn图）是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集，用圆或封闭曲线表示集合，重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)（i）假设有两个集合和，用韦恩图表示和两个部分； （ii）某班50人中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：，并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能，说明理由；如果不能，请用其他方法严格证明，并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【解】(1)（i）   （ii）   ， 两科都不喜欢的人数为5人 (2)      显然，根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论． 先证：， 任取，则，且， 由，得，或， 若，且，则，所以； 若，且，则，所以， 因此． 再证：， 任取，则，或， 若，则，且，所以，且，故； 若，则，且，所以，且，故， 因此． 综上，． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况（比如以上和的韦恩图只是展示了，，两两相交的情况），无法覆盖所有可能的集合关系（比如，，或，，两两不相交的情况等情况），直接观察不能用于严格证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $