1.1.1 集合及其表示方法（教学设计）数学人教B版2019必修第一册

1.1.1 集合及其表示方法 教学设计 1.教学内容 本节聚焦《人教B版2019高中数学必修第一册》第一章集合与常用逻辑用语中1.1.1集合及其表示方法，主要学习集合的概念与特性、区间及其表示方法、常用数集以及集合的列举法和描述法. 2.内容解析 集合是数学中对研究对象进行分类的重要工具，重点在于理解元素与集合的关系、空集与有限/无限集的概念，以及熟练掌握区间表示与常用数集记号；难点在于灵活运用列举法、描述法与区间形式，更好地表达或解决实际问题. 1.教学目标 1、了解集合的含义与特性，掌握集合的区间及其表示，体会元素与集合的关系。（重点） 2、掌握常用数集及集合的列举法、描述法，并能用其解决相关问题。（难点） 2.目标解析 通过具体分类情境与典型例题，让学生感受集合的确定性、互异性和无序性，理解空集、有限集、无限集等概念；在列举和描述的双重表述训练中，熟悉区间表示不等式解集的方法，培养抽象概括能力和灵活运用意识. 学生已有对数轴及简单不等式的认知，但对集合的抽象表征理解不足，需从直观的分类实例入手，引导他们将已有知识与新概念相结合，通过对数集与区间的熟悉操作，逐步提升对集合思想的理解与应用水平. 【创设情景，引入新课】 教师活动： 1.出示生活中“分类”的实例（如图书分类、作文体裁分类、整数的分类等）， 提问学生： “你能说出数学中其他分类的实例吗？试着分析为什么要进行分类。” 2.引导学生思考：在数学中，如何用一种更科学、系统的语言来描述“分类”？ 学生活动： 1.小组讨论并交流生活中、数学中常见的分类现象。 2.结合课本导言思考：分类背后的逻辑规则有哪些？ 【设计意图】 通过展示生活和数学中的分类实例，引导学生体会“集合”思想的背景与应用价值，激发学习兴趣，明确学习目标：了解集合概念的重要性，为后续学习“集合及其表示方法”做好知识铺垫。 探究点1：集合的含义与特点 【问题引入】 在数学中 ，我们经常用 “集合 ”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的 、不同的对象汇集在一起 ，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 【新知生成】 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为“元素”，常用小写拉丁字母 表示。 2.集合：把一些元素组成的总体叫作集合（简称为“集”），常用大写字母 表示。 3.元素与集合的关系： 若 是集合 的元素，记作 ； 若 不是集合 的元素，记作 。 4.空集：不含任何元素的集合，记作 。如方程 无解，其解构成的集合即为空集。 5.集合中元素的三个特性： ① 确定性：集合的元素必须是确定的； ② 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的； ③ 无序性：集合中的元素可以任意排列。 6.集合相等：只要构成两个集合的元素相同，即可判定这两个集合相等。 7.集合的分类： 含有有限个元素的集合称为有限集； 含有无限个元素的集合称为无限集； 空集包含 个元素，也属于有限集。 教师活动： 1.用书中“例1、例2、例3”进行演示： 例1：若 是由所有小于10的自然数组成的集合，则 ，。 例2：若 是由方程 的所有解组成的集合，则 , , 。 例3：若 是平面上与定点 的距离等于定长 的点组成的集合，则圆心为 且半径为 的圆上的任意一点 都满足 。 例4（多选题）：下列各组对象能组成集合的是( )。 A. 2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目 B. 高中数学的所有难题 C. 被3除余2的所有整数 D. 函数 图象上所有的点 【解析】选项A、C、D中元素的界限清晰，满足“确定性”。而B选项中的“难题”含义不明确，因此不能构成集合。 2.根据例题，引导学生说出集合中元素的确切含义与判断某个元素是否属于集合的关键。 学生活动： 1.观察例题，体会集合中元素判定的要点。 2.质疑、思考：若题中“0.5”是否“在自然数集合中”，应如何判断？ 【设计意图】 通过具体示例，让学生初步掌握集合、元素、空集及元素与集合的关系等基本概念，并强调“元素的三个特性”，为进一步应用这些概念解决问题奠定基础。 探究点2：常用数集及其符号 【问题引入】 我们常在数学中遇到“自然数、有理数、实数”等，这些数都可以看做是某些特定集合。【新知导出】 1.自然数集：全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集。 2.正整数集：全体正整数组成的集合，记作N*或N+。 3.整数集：。 4.有理数集：全体有理数组成的集合，记作。 5.实数集：全体实数组成的集合，记作。 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N+ Z 例5：下列五个关系中，正确的个数为( ). ① ∈R ；② ∉Q ；③ π∈Q ；④ |−3|∉N ；⑤∈Z . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析] 由于 ∈R ， ∈Z ， 是无理数，故①②⑤正确，因为 π 是无理数， |−3|=3 是自然数，所以③④错误.故选C. 师生互动： 1. 教师再次强调“判断一个元素是否属于某数集，要结合定义或关键性质。” 2. 学生练习：口答若干类似判断，培养快速判定数集归属的能力。 【设计意图】 借助常用数集的归纳和题目，帮助学生将对“集合”的认识拓展到广泛的数域范畴，进一步掌握必要的数学符号和基本的分类思路。 探究点3：集合的表示方法——列举法与描述法 问题引入： 列举法与描述法是表示集合的两种主要方法。如何根据具体情况选择合适的方法？ 1.列举法 定义：把集合中所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，元素之间用逗号隔开。 特点：适用于元素有限且数量不多的集合。 例： 问题1：地球上四大洋组成的集合如何表示？ 解：。 问题2：方程 =0 的所有根组成的集合如何表示？ 解：。 思考：以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？ （1）满足 x＞3的所有实数组成的集合A； （2）所有有理数组成的集合Q. 【解析】（1）不等式 x＞3的解集是有无数个元素，所以不能用列举法表示.所以可以把集合A表示为 A={x丨x是大于3的实数}或A={x丨x＞3} （2）Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，所以可以把Q表示为 Q={x丨x是两个整数的商}或A={x丨x=，m∈Z，n∈Z，n≠0}. 2.描述法 定义：用集合中元素所具有的共同特征性质来表示集合。 步骤： 1 写明元素所取的集合范围； ② 用竖线“”表示“满足某种性质”； ③ 写出元素共同的特征性质。 注意：描述法表示集合时的3 个关注点：(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母. 例6： (1) 所有平行四边形组成的集合：； (2)所有能被3整除的整数组成的集合：； (3)所有被3除余1的自然数：。 【归纳】集合｛x｜p（x）｝中所有在另一个集合I中的元素组成的集合 ，可以表示为｛x∈I｜p（x）｝. 【小试牛刀】 1、方程 =0 的所有解组成的集合 ； 2、平面直角坐标系中第一象限内所有点组成的集合 。 【解析】1、 ； 2、}。 教师活动： 引导学生思考： 1.当集合元素数量适中可直接列举时，可用列举法；若元素数量无限，或难以一一列出时，则多用描述法。 2.对“描述法”中的条件或特征，要明确变量范围及主谓一致性。 学生活动： 1.分组讨论并归纳列举法、描述法的使用情境。 2.自主完成课本中“列举法”与“描述法”的对比表格。 【设计意图】 通过“列举法”与“描述法”的对比，引导学生在不同情境中作出恰当的选择，也让学生学会用符号清晰地表达集合，发展数学语言的运用能力。 探究点4：区间及其表示 【问题引入】 实际解不等式时，常将解的集合表达为区间，如 可写作。 【新知导出】 1.若 ，则 简写为 ，并称为“闭区间”； 为开区间 ； 为半开半闭区间 ； 为半开半闭区间 。 2.若用 表示“正无穷大”， 表示“负无穷大”，则： R（实数集）可表示为 ； 表示为 等。 3. 区间的数轴表示：用实心点表示端点取到，用空心点表示端点不取到。 上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度．区间可以用数轴形象地表示． 【小试牛刀】 用区间表示不等式 的所有解组成的集合 。 【解析】 ， 故 。 师生互动： 1.教师在数轴上标示各种区间，要求学生说出左端点、右端点的不同取法。 2.学生动手画出区间示意图，并标注相应形式。 【设计意图】 通过区间概念与数轴直观表现，使学生熟悉区间类型及符号，能将不等式解集正确转化为区间，培养数形结合的思维能力。 1、（1）∈（2）∉（3）∉（4）∈（5）∉（6）∈ 2、（1）是无限集；（2）（3）是有限集 3、（1）{指南针，火药，造纸术，印刷术} （2）{3,5,7,11,13} （3）{，} 4、（1）{x丨x＜1500且x=2n，n∈N+}；（2）{x丨x是矩形} 5、（1）［-1，3］ （2）（0，1］ （3）［2，5） （4）（0，2） （5）（-∞，3） （6）［2，+∞） 1.本节课我们从“分类工作”出发，抽象出“集合”的思想； 2.梳理了集合的含义、元素与集合的关系、常用数集以及集合的三大特性； 3.学习了表示集合的主要方法——列举法与描述法，并将集合与不等式解集结合，理解了区间及其表示方法。 【设计意图】 通过系统复习与归纳，本节课帮助学生形成“分类—集合—数集—区间”一条清晰的知识脉络，同时也为今后学习更复杂的集合运算与逻辑打下坚实基础。 ( 1 / 10 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$