6.9 格点多边形的面积（课件）-2026-2027学年五年级上册数学 人教版

该小学数学课件聚焦格点多边形面积计算，涵盖分割法、添补法及皮克定理。课堂以“兄弟分地”情境导入引发疑问，衔接已学多边形面积知识，通过分割、添补操作搭建基础支架，引导学生探究格点多边形面积，逐步引出皮克定理公式。 其亮点在于以现实问题驱动探究，借助方格纸操作培养几何直观与空间观念，通过皮克定理建立数学模型，验证过程发展推理意识。如“兄弟分地”问题从提出到用定理计算得出面积相等结论，体现数学眼光与思维。学生能提升面积计算能力和探究兴趣，教师可依托结构化资源实施高效教学。

人教版·数学·五年级·上册 第六单元 多边形的面积 第9课时 格点多边形的面积 情境导入 兄弟分地，哥哥说：“我的地一圈只有15棵树， 而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的地面积大！”弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的地面积大！” 到底谁的地面积大呢？ 哥哥 弟弟 活动探究 把线擦去只留交点 方格纸 格点图 格点多边形 以格点为顶点画多边形 格点 你知道格点多边形吗？ 顶点全部位于格点上的多边形，叫作格点多边形。 怎样计算格点多边形的面积？ 2×3÷2 想一想 可以采用分割法，把它分割成若干个基本图形，再分别计算面积，然后将各面积相加。 分割成2个三角形和2个梯形。假设相邻两个格点的距离为1。 ＋3×1÷2 ＋（2＋3）×1÷2＋ （2＋3）×3÷2 ＝14.5 6×4－ 还可以采用添补法，先计算外侧长方形的面积，再减去4个三角形的面积。 3×2÷2 －3×1÷2 －3×2÷2 ＝14.5 －4×1÷2 怎样计算格点多边形的面积？ 想一想 还有一种巧妙的方法可以计算格点多边形的面积。 a＝12 b＝7 S＝a＋b÷2－1 如果用a表示多边形内部的格点数，用b表示多边形边界上的格点数，那么格点多边形的面积S＝a＋b÷2－1。 ＝12＋7÷2－1 ＝14.5 试一试 a＝4 b＝6 S＝a＋b÷2－1 用这种方法计算出来的面积和你计算出来的一样吗？在方格纸上再画几个格点多边形，验证这个方法。 ＝4＋6÷2－1 ＝6 a＝4 b＝4 S＝a＋b÷2－1 ＝4＋4÷2－1 ＝5 试一试 a＝13 b＝10 S＝a＋b÷2－1 内部格点数 边界格点数 格点多边形面积 6 4 6 5 4 4 17 13 10 完成下表。 ＝13＋10÷2－1 ＝17 ① ② ③ ① ② ③ 用分割法： 3×1÷2＋（1＋2）×3÷2＝6 用添补法： 3×3－2×1÷2×4＝5 用分割法： （2＋6）×2÷2＋6×1＋6×1÷2＝17 试一试 验证。 经过上面的验证，用S＝a＋b÷2－1计算出来的面积和用分割法或添补法计算出来的一样。 这方法于1899年由奥地利数学家皮克证明，因此被称为皮克定理。 夯实基础 判断下列图形哪些是格点多边形？ 1 （1） （2） （3） （4） 看各多边形的顶点是否全部位于格点上。 图形（1）是格点多边形。 √ × × × 夯实基础 用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形（如图）。它们的面积分别是多少？（每相邻两个格点的距离都是1） 2 （ ） （ ） （ ） （ ） 4 10 6 3 夯实基础 3 a＝9 b＝20 S＝a＋b÷2－1 答：用线围成的小屋图形的面积是18。 下图中，用线围成的小屋图形的面积是多少？请用皮克定理解答。（每相邻两个格点的距离都是1） ＝9＋20÷2－1 ＝18 夯实基础 4 兄弟分地，谁的地面积大？ 哥哥：我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的地面积大！ 弟弟：我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的地面积大！ 哥哥 弟弟 a＝17 b＝15 S＝a＋b÷2－1 哥哥： ＝17＋15÷2－1 ＝23.5 夯实基础 4 哥哥 弟弟 a＝16 b＝17 S＝a＋b÷2－1 弟弟： 兄弟分地，谁的地面积大？ 哥哥：我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的地面积大！ 弟弟：我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的地面积大！ ＝16＋17÷2－1 ＝23.5 夯实基础 4 哥哥 弟弟 23.5＝23.5 兄弟分地，谁的地面积大？ 哥哥：我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17棵树，弟弟的地面积大！ 弟弟：我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，哥哥的地面积大！ 答：哥哥和弟弟的地面积一样大。 活动小结 计算格点多边形的面积可以分割成基本图 形分别计算后求和；也可以用添补法补成规则图 形再减去多余部分；还可以用皮克定理，通过数 内部格点和边界格点，利用公式S＝a＋b÷2－1 （a表示内部格点数，b表示边界格点数）来计算。 课外活动 试一试，用“皮克定理”求其他格点多边形的面积。 板书设计 格点多边形的面积 皮克定理： S＝a＋b÷2－1 分割法 添补法 格点多边形 $