4.2 认识一次函数（六大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数概念建构与应用，通过六类题型系统覆盖定义辨析、参数求解、实际建模等核心考法，注重从具体到抽象的认知逻辑，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例函数的定义|3题|以实际情境辨析变量关系，考查定义本质|正比例函数定义→一次函数概念基础| |识别一次函数|3题|函数表达式辨析与分类，强化形式特征|一次函数形式识别→概念深化| |求参数|3题|根据定义确定系数取值，突出限定条件|定义条件→参数计算→概念严谨性| |求自变量或函数值|3题|点与函数关系判断及求值，连接代数与几何|函数值计算→图像意义理解| |列解析式并求值|3题|实际问题建模与数据验证，体现应用价值|实际情境→数学建模→模型应用| |程序流程图与代数式|3题|结合流程图分析函数关系，融合跨情境表达|程序逻辑→函数关系→数学语言转化|

4.2 认识一次函数 题型一 正比例函数的定义 1．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 2．正比例函数经过点，则______________． 3．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 题型二 识别一次函数 4．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 6．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 题型三 根据一次函数的定义求参数 7．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知：是关于的一次函数，则________． 9．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 题型四 求一次函数自变量或函数值 10．下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 11．一次函数的图象经过，则的值是___________． 12．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 题型五 列一次函数解析式并求值 13．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 14．函数的图象，经过点，则______． 15．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 题型六 程序流程图与代数式求值 16．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 17．根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 认识一次函数 题型一 正比例函数的定义 1．下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（    ） A．铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C．圆的面积随半径的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 2．正比例函数经过点，则______________． 【答案】 【分析】正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入解析式，即可计算得到的值． 【详解】解：因为正比例函数经过点， 所以把，代入，得 ， 系数化为得． 3．已知y与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，将把，代入求出即可； （2）把点代入即可求解． 【详解】（1）解：∵y与成正比例函数关系， ∴设， 把，代入得，， 解得， ∴； （2）解：把代入，得 解得． 题型二 识别一次函数 4．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：A、中自变量的次数为，不是一次函数； B、是一次函数； C、是多项式，不是一次函数； D、的自变量在分母上，不是一次函数． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 6．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【详解】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 题型三 根据一次函数的定义求参数 7．若函数是一次函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 8．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 9．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 题型四 求一次函数自变量或函数值 10．下面哪个点在函数的图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项点的横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】∵ 函数解析式为，依次代入验证各选项： A、当时，，∴A错误； B、当时，，∴B错误； C、当时，，∴C错误； D、当时，，与点的纵坐标相等，∴D正确． 11．一次函数的图象经过，则的值是___________． 【答案】 【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解的值． 【详解】解：将代入，得：，解得：． 12．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数及一次函数． （1）根据题意用待定系数法设，代入即可； （2）将点代入即可得出的值； （3）将的临界值4与分别代入，即可得到的临界值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，， ，解得， ， 与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，与之间的函数解析式为， 把点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知，当时，， 当时，， 解得， 当的取值范围为时，的取值范围为． 题型五 列一次函数解析式并求值 13．子轩在用描点法画某个一次函数的图象时列得如下表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（    ） x … 0 1 … y … 14 11 8 5 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质可求出x的值每增加1，y的值就增加k，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴x的值每增加1，y的值就增加k， 由表格可知，当时，x的值每增加1，y的值就减少3， 而时的函数值相对于时的函数值减少2， ∴点不在该一次函数的图象上， 故这组错误的数据是． 故选：A． 14．函数的图象，经过点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 题型六 程序流程图与代数式求值 16．按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（     ） A．y不是x的函数 B．y是x的函数，且是正比例函数 C．y是x的函数，且是一次函数 D．当时， 【答案】C 【分析】先根据按键操作列出关系式，依据函数定义可知是的函数，该式符合的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将代入计算得，即可解答． 【详解】根据操作流程：输入，乘以，再减得到， ∴， A．对于任意一个，都有唯一确定的与之对应，所以是的函数，故本选项错误，不符合题意． B．正比例函数形式为（无常数项），而存在常数项，不是正比例函数，故本选项错误，不符合题意． C．符合一次函数标准形式，因此是的一次函数，故本选项正确，符合题意． D．将代入解析式：    ，故本选项错误，不符合题意． 17．根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 【答案】1 【详解】解：输入，且， 应选择进行计算， ． 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $