2.3二次函数与一元二次方程不等式第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，通过回顾一次函数与方程、不等式的联系导入，以24米栅栏围花圃面积问题为情境，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生建立实际问题到数学模型的转换。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过函数图象与方程根的关联发展数学思维，用“求根—画图—判号”步骤强化数学语言表达。如花圃问题中列不等式并结合现实范围，分类讨论判别式提升逻辑推理，帮助学生构建知识网络，教师可高效开展教学。

第二章 · 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时｜从花圃面积到图象判号 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 50—51 页 开场只读课题，让学生回忆初中时如何从一次函数图象理解方程与不等式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 学习目标 这节课要建立同一个二次式的三种视角 02 能从实际条件列出一元二次不等式，并写清现实范围。 能用方程的根确定二次函数零点。 能根据图象在x轴上方或下方读出不等式解集。 三个动作依次是建模、找零点、读符号。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 旧知回顾 初中方法能不能从一次推广到二次？ 03 一次方程 ax＋b＝0：找直线与x轴交点的横坐标。 一次不等式 ax＋b＞0：找直线位于x轴上方的横坐标范围。 追问：换成抛物线，交点和上下位置还能告诉我们什么？ 只调用初中一次函数与二次函数图象知识，不提前给出一般结论。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 教材问题 24米栅栏，怎样围出的花圃面积超过20平方米？ 04 如果一条边长是 x 米， 另一条边怎样表示？ 面积超过20平方米， 应列出怎样的不等关系？ 除了不等式， 还必须保留什么现实条件？ 先观察矩形边界，再逐问另一边、面积关系、现实取值范围。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50页。 - 花圃情境图：OpenAI ImageGen生成，2026-08-26。 [/Sources] 建立模型 先把24米周长翻译成两条边 05 一条边：x 米 另一条边：12−x 米 面积条件：x(12−x)＞20 整理：x²−12x＋20＜0，且 0＜x＜12 强调周长24米意味着两邻边之和12米；现实范围不能丢。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50页。 [/Sources] 概念形成 什么样的不等式叫一元二次不等式？ 06 只含一个未知数，未知数最高次数是2。 一般形式：ax²＋bx＋c＞0 或 ax²＋bx＋c＜0 其中 a，b，c 是常数，a≠0。 让学生指出花圃不等式中的a、b、c。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50页。 [/Sources] 建立联系 同一个二次式，连接函数、方程和不等式 07 函数：y＝x²−12x＋20 —— 看图象位置 方程：x²−12x＋20＝0 —— 找图象与x轴交点 不等式：x²−12x＋20＜0 —— 找图象在x轴下方的范围 三个对象共享同一个二次式，区别只在于研究任务。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 零点 方程的根，就是函数图象与x轴交点的横坐标 08 x²−12x＋20＝0 (x−2)(x−10)＝0 零点：x₁＝2，x₂＝10 交点：(2，0)，(10，0) 先解方程，再把两个根定位到图象交点。图表数据逐点由函数式计算。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] y＝x²−12x＋20 函数图象 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 9 0 -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 20 图象判号 零点把x轴分段，图象上下决定式子的正负 09 x＜2 或 x＞10：图象在x轴上方，y＞0。 2＜x＜10：图象在x轴下方，y＜0。 所以 x²−12x＋20＜0 的解集是 {x｜2＜x＜10}。 指图说符号，先说位置，再说y的正负，最后写不等式解集。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页。 [/Sources] 函数图象 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 9 0 -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 20 解决问题 回到花圃：数学解还要与现实范围取交集 10 不等式给出：2＜x＜10 现实条件：0＜x＜12 两者同时满足：2＜x＜10 解释为什么本题数学解已经包含在现实范围内，不能因此养成省略条件的习惯。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页。 [/Sources] 分类依据 一般情形先看判别式：图象与x轴有几个交点？ 11 Δ＞0：两个不相等实根 x₁＜x₂，图象两次穿过x轴。 Δ＝0：两个相等实根，图象与x轴相切。 Δ＜0：没有实根；当a＞0时，图象始终在x轴上方。 只讨论教材表2.3-1中的a＞0情形。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页表2.3-1。 [/Sources] 分类讨论 Δ＞0：正号在两侧，负号在两根之间 12 方程有两根 x₁＜x₂。 ax²＋bx＋c＞0：x＜x₁ 或 x＞x₂ ax²＋bx＋c＜0：x₁＜x＜x₂ 图象使用代表函数，结论回到一般字母。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页表2.3-1。 [/Sources] 函数图象 -3 -2 -1 0 1 2 3 6 0 -4 -6 -4 0 6 分类讨论 Δ＝0：除零点外函数值都为正 13 相等实根： −b x₁＝x₂＝ ── 2a ax²＋bx＋c＞0：除该根外的全体实数 ax²＋bx＋c＜0：无解，解集为∅ 强调严格大于0不包含相切点；严格小于0没有任何位置。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页表2.3-1。 [/Sources] 函数图象 -2 -1 0 1 2 3 4 9 4 1 0 1 4 9 分类讨论 Δ＜0且a＞0：整条抛物线都在x轴上方 14 方程没有实数根。 ax²＋bx＋c＞0：对所有实数成立，解集为R。 ax²＋bx＋c＜0：无解，解集为∅。 本页结论以a＞0为前提；a＜0尚不在本课讨论范围。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51页表2.3-1。 [/Sources] 函数图象 -3 -2 -1 0 1 2 3 10 5 2 1 2 5 10 当堂检测 出口题：不用完整求解，先判断图象位置 15 已知 y＝x²−6x＋8 的零点是2和4。 不等式 x²−6x＋8＜0 的解集是什么？ 抛物线开口向上，负号在两根之间：{x｜2＜x＜4}。 给学生60秒画草图并解释“负号为什么在中间”。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 课堂小结 今天真正学会的是一条转换链 16 实际条件 → 一元二次不等式（保留现实范围） 解对应方程 → 找二次函数零点 看图象上下 → 读出正负区间与解集 分类关键：a的符号与判别式Δ 让学生合书复述“建模—求根—画图—判号—回到实际”。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第50—51页。 [/Sources] 课后作业 课后作业：先会看图，再进入例题求解 17 必做：整理花圃问题的完整建模过程，标出现实范围。 巩固：根据表2.3-1，分别画出Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0的草图。 预习：教材第52页例1—3，尝试用“求根—画图—判号”说明答案。 本页无动画，全部作业直接显示。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》教材第51—52页。 [/Sources] $