2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式应用、分式不等式解法、恒成立问题及三个“二次”转化，课堂导入先回顾上节课解法步骤，通过思考问题激活旧知，再以摩托车生产创收等实际情境例题衔接，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以刹车距离、矩形花坛面积等实际情境例题引导学生用数学眼光抽象问题，通过规范解题步骤（如例2列不等式、判根、结合图像求解）培养数学思维，总结方法（如解决实际问题四步）强化数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可获得系统教学资源提升效率。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式应用 第2课时 第二章 一元二次函数、方程与不等式 1 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程． 了解一元二次不等式的现实意义. 2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 2 知识回顾 思考：一元二次不等式解法回顾，回忆上节课如何解决一元二次不等式 3 知识回顾 将原不等式化成＞0）的形式 计算的值 ＞0 =0 ＜0 方程=0有两个不相等的实数根,解得) 方程=0有两个相等的实数根,解得 方程=0没有实数根 原不等式的解集为{|＜,或｝ 原不等式的解集为{|≠｝ 原不等式的解集为R 解一元二次不等式的过程 4 例题讲解 任务1：一元二次不等式的应用 例1 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车.根据题意，得 移项整理，得 对于方程 方程有两个实数根 5 例题讲解 任务1：一元二次不等式的应用 例1 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 画出二次函数 的图像（图2.3-6）， 结合图像得不等式 的解集为 从而原不等式的解集为 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆是这家工厂能够获得60000元以上的收益. 6 总结概括 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 7 例题讲解 例2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）与汽车刹车前的车速v（单位：km/h）之间有如下关系： 在一次交通事故中测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1km/h）？ 分析：刹车距离的实际生活中的意义，是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.解题关键是刹车距离大于39.5m 解 根据题意，得 移项整理，得 对于方程 方程有两个实数根 画出二次函数 的图像， 结合图像得不等式的解集为 从而原不等式的解集为 因为车速 所以这辆汽车刹车前的 车速至少为80km/h. 8 总结概括 总结：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系． (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题． (3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解． 9 例题讲解 例3 某小区有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB=3m，AD=2m.要使矩形AMPN的面积大于32m²，则DN的长应在什么范围内？ 解：设DN的长为x (x＞0)m，则AN=(x+2)m. ∵=，∴AM=， ∴=AN∙AM=. 得：3x²−20x+12>0，解得：0<x<或x>6. 即DN的长取值的取值范围是(0,)∪(6,+∞). 10 总结概括 总结：解不等式应用题的步骤: 解决一元二次不等式应用题的关键在于一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再概括题目中的不等关系列不等式. 11 例题讲解 任务2：简单分式不等式的解法 例3 解下列不等式： 解 ： (1)≥0⇔(3x−4)(−x+1)≥0⇔≤x≤1， 而−x+1≠0，即x≠1. ∴原不等式的解集为{x|≤x<1}. (2)∵≤1， ∴−1≤0， 即≤0⇔(−2x+1)(3x−2)≤0⇔x≤或 x≥. 而3x−2≠0，即x≠.∴原不等式的解集为{x|x≤或 x>}. 12 总结概括  总结：简单方式不等式的解法： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 点睛：分式不等式与整式不等式的解法： 若出现±m≥(≤)0的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零. 13 例题讲解 任务4：不等式恒成立问题 例4 (1)若对∀x∈R不等式4x+a−4<x²+ax恒成立，求实数a的取值范围. (2)若x²≥6x+a−9在R上恒成立,求a的取值范围. 解：(1)原不等式可化为x²+(a−4)x+4−a>0， ∴∆=(a−4)²−4(4−a)=a²−4a<0， ∴0<a<4. ∴实数m的取值范围为{a|0<a<4}. (2)原不等式可化为x²−6x+9=(x−3)²≥a恒成立， ∴a≤0. ∴实数a的取值范围为{a|a≤0}. （在R上恒成立问题） 14 总结概括 总结：元二次不等式的解集为R（或恒成立）的条件 在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要分清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的取值范围,谁就是主元,求谁的取值范围,谁就是参数. 15 例题讲解 任务4：不等式恒成立问题 例5 解：（方法一） （方法二） （在给定范围内的恒成立问题） 16 例题讲解 任务5：三个“二次”之间的转化关系 例6 解： 变式：若不等式＜0的解集是{|-7＜＜-1}，求的值. 解：由题意可知-7和-1为方程＝0的两个根. ∴-7×(-1)＝ ，故a＝3. 17 练一练 1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格? 解：设这批台灯的销售价定为元，则[30-（-15）×2]·＞400， 即＜0,解得10＜＜20， 又∵≥15，∴15≤＜20 故应将这批台灯的销售价格制定在15元~20元之间，包括15元但不包括20元，才能使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售价格. 18 练一练 2.解下列不等式：（1）≥0； （2）＞1 解：≥0, 解得-＜≤1， ∴原不等式的解集为 {|-} 解：∵＞1⇔＞0⇔＜0 ∴()()＜0 解得 ∴原不等式的解集为{|} 19 练一练 3.对于一切实数 ＜0 恒成立，求实数的取值范围. 解：若=0，显然-1＜0，满足题意； 若 ≠0 要使对于一切实数，不等式＜0 恒成立，只需 解得-4＜ ∴实数的取值范围为{|-4＜} 20 练一练 4. 的值恒大于0，求x的取值范围. 解： 21 练一练 5.已知不等式 的解集是 求不等式的 解集. 解： 由不等式 的解集是 可知 且方程 的两根分别为2和3， 由一元二次方程根与系数的关系得： 代入不等式 得： 所以不等式的解集为： 化简整理得： 方程 的两个根为 22 【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？ （1）不等式解决实际问题的一般步骤； （2）简单方式不等式的解法； （3）一元二次不等式的解集为R（或恒成立）的条件 23 加油ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 24 $