1.5.1 全称量词与存在量词-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

数学必修第一册 (2)当x是能被4整除的自然数，则x是偶数， 当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数， 故当x是能被4整除的自然数→x是偶数； (3)若p十q是偶数，则p,9都是奇数或都是偶数， 当p,g都是奇数时，p3,g都是奇数，则b3一q3是偶数， 当p,q都是偶数时，p3,q都是偶数，则p3一q3是偶数， 所以p十g是偶数，则p3一g3是偶数， 若p3一g3是偶数，则p3,3都是奇数或p3,g3都是偶数 当b3,93都是奇数时，，q都是奇数，则力十q是偶数， 当b3,q都是偶数时，力，q都是偶数，则p十q是偶数， 所以p3一g是偶数，则p十q是偶数， 所以力十g是偶数台p3一q是偶数： (4)若甲是上海人，则甲是中国人， 若甲是中国人，则甲不一定是上海人， 所以甲是上海人→甲是中国人； (5)若|a十|b=|a十b,当a=b=0时，等式成立， 则|a|+|b=|a+b1,ab>0不一定成立， 若ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0, 则|a|+lbl=|a+b1, 所以|a十b=|a十b←-ab>0. 故答案为：(1)→；(2)→；(3)台：(4)→；(5)←-. 、2 13.答案：a=-3b=- 解析：由AnB={合}，可知2∈A,2∈B,于是 [2×(号）广-a×2+6=0, b×(3）+(a+2)x号+b=0. 1 a=- 3 解得 b=2 3 此时A={-号号}B={2 符合A∩B= 故AnB=(合}药充委条件是a= 2 1 、2 故答案为：a=一3，b=一3 14.解：证明：①充分性： 因为g<0,所以方程x2+x十q=0的△=b2-4g>0, 故方程x2十px十g=0有两个不相等的实数根， 设方程的两根为x1,x2, 因为·2=q<0,所以方程x2+px十q=0有两个异号实 数根. ②必要性： 因为方程x2十x十g=0有两个异号实数根， 设两根为x1,x2,所以x1·x2<0. 因为x1·x2=q,所以q<0. 由①②，命题得证。 15.解：(1)由|x|=1可得x=士1，因为{1}{一1,1}，因此，p 是q的充分不必要条件； (2)两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直 线平行，因此，饣是q的充要条件； (3)若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离 相等， 反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的 角平分线或该角的补角的平分线上，故力是？的充分不必要 条件； (4)若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为√2 √2、2的直角三角形和三边边长分别为1、√5、2的直角三角 形，这两个三角形不全等， 另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的 斜边相等 因此，力是q的必要不充分条件 16.解：证明：（必要性）由a>0,b>0,c>0,显然有a十b十c>0, ab+bc+ca>0,abc>0. (充分性)用反证法：假设a>0,b>0,c>0不成立，则a,b,c 中至少有一个不大于0. 由a,b,c的对称性，不妨设a0 由abc>0得bc<0,从而由ab+bc+ca>0, 得ab+ca>-bc>0,即a(b+c)>0 故b十c<0,于是a十b十c<0.这与a十b十c>0矛盾，于是假 设不成立， 因此，a>0,b>0,c>0. 17.解：1)当a=-2时，集合A={x-2<x≤2}， B={x-1x≤3}， ·CRB={xx>3或x<-1. ∴.A∩(CRB)={x|-2<x<-1}. (2)若选择①AUB=B,则A二B, A=☑时，2a-1≥a+1,即a≥2； /2a-1a+1, A≠0时，{2a一1≥-1，解得0≤a<2, a十13， .实数a的取值范围是a≥0. 若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A军B,A ☑时，2a一1≥a十1，即a≥2； /2a-1a+1, A=☑时，{2a一1≥一1，解得a≤a<2 a+13, .实数a的取值范围是a≥0. 若选择③A∩B=☑，则A=⑦时，2a一1≥a+1,即a≥2； A≠时十或8-1解得a<-2。 ∴实数a的取值范围是a≥2或a<-2. 1,5.1全称量词与存在量词 基础过关 1,D“有些”“有一个”“至少有一个”均为存在量词，即ABC不 符合题意：“每一个”是全称量词，即D符合题意.故选D. 2.C由命题：Hx>0,x2>0,得p:3x0>0,x60,故 选：C 3.D对于0中，由2-x叶子-(-号)广20成立，所以伞题 112 ①为真命题：对于②中，由x3十1=0无法判定真假，所以②不 是命题，不特合题意：对于③中，例知当1=号时，此时2<， 所以命题n∈R,n2≥n为假命题：对于④中，由x3+1=0,解 得x=一1，所以命题④为真命题；故选：D. 4.Ax∈[1,2]，x2-3x-a≤0为真命题，.a≥(x2- 3xsze[12],×y=2-3x=(2-是）-是当x=1 或x=2时，ymx=-2,a≥-2，：(-2，十∞)=[-2， +∞)，.Vx∈[1,2]，x2-3x一a≤0为真命题的一个充分不 必要条件是a>一2，故选：A. 5.BCA和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量 词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题， B、C是全称量词命题.故选：BC. 6.CD对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词 命题，该命题为真命题，A不满足要求；对于B选项，命题“有 些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B 不满足要求；对于C选项，命题“]x∈R,3x十2>0”为存在量 词命题，取x=0,则3×0+2>0，该命题为真命题，C满足要 求；对于D选项，命题“至少有一个整数m,使得m<1”为存 在量词命题，取m=0,则02<1，该命题为真命题，D满足要 求.故选：CD. 7.BC对于A.是存在量词命题，但不存在实数x,使x2十2<0 成立，即为假命题，故A错误，对于B,是存在量词命题，例如 无理数√2，它的立方是2为有理数，故B正确，对于C,是存在 量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C正确，对于 D,是全称量词命题，故D错误，故选：BC. 8.答案：(-c0,3] 解析：对于任意x3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a, .a3. 故答案为：（一0,3]. 9.解：(1)若x2=2,解得x=士√2，因为士√2不是整数，故命题 “3x∈Z,x2=2”为假命题； (2)若x2=2,解得x=士√2，因为士√2∈R,故命题“3x∈R, x2=2”为真命题； (3)根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到 这条线段两个端，点的距离相等：故命题：“线段的垂直平分线 上的点到这条线段两个端，点的距离相等；”为真命题； 6 (4)平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行 时，两直线没有交，点，故命题“平面上任意两条直线必有交 点.”为假命题. 10.解：(1)对于命题p,令函数g(x)=x一2x一a,则函数g(x)= x2一2x一a在[1,2]上单调递增，因为命题p为真命题， 所以9即图解择-10 (2)依题意可得B=「一1,0]，因为B二A,A=[一1，m],所以 m≥0. 1.5.2全称量词命题和存在量词命题 的否定 知识梳理 知识点 (x)37(x)3(x)H(x) 基础过关 1.B全称量词命题的否定是存在量词命题，把“H”改为“]”， 把“≥”改成“<”.故选B 2.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p的 否定为3x∈(0，十0)，3x十1≥0.故选：D. 3.A由题意，命题“Hx>0,x2一x一1>0”是全称量词命题，根 据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“了x>0, x2-x-1≤0”.故选：A. 4.A原命题的否定是：3x0∈R,x0一|x0|<0,A正确，故 选：A. 5.C命题Vx≠0z十2>2E~的香定是：1x≠0，x+是< 2√2，故选：C 6.A命题“3x0≥0，e=x0十1”的否定是x≥0，e≠x+1. 故选：A. 7.D由题意，命题p:Hx∈[1,2]，x2一x>0,由全称命题的否 定为存在命题，可得：一p为3x∈[1,2]，x2一x≤0.故选：D. 8,ABD选项A,由a>1,能推出】<1，但是由】<1，不能推 出a>1,例如当a<0时，符合<1，但是不特合a>1,所以 “a>1"是“1<1”的充分不必要条件，故A正确；选项B,根据 命题的否定的定义可知：命题“若x<1,则x2<1”的否定是 “存在x<1,则x2≥1”，故B正确；选项C,根据不等式的性质 可知：由x≥2且y≥2能推出x2十y2≥4，充分性成立，故C 错误；选项D,因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠ 0,由ab≠0可得a≠0或b=0,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要 不充分条件，故D正确.故选：ABD. 9.CD对于A中，2是一个素数，其中2是偶数，所以A是假命 题；对于B中，对于方程x2+2x十3=0，其中△=22一4×3= 一8<0，所以不存在实数，使得x2十2x十3=0成立，所以B是 假命题；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得 命题“Hx∈R,x+|x|≥0”的否定是“3x∈R,x十x|<0” 所以C是真命题：对于D中，根据全称命题与存在性命题的关 系，可得命题“3x∈R,x十20”的否定是“x∈R,x十2> 0”,所以D是真命题.故选：CD. 10.AD对于A,x2≥0，x2+1≥1>0，所以A正确：对于B, 取4=-2,6=-1满足a<6<0,但不满足是<方，所以B 错误；对于C,对顶角一定相等，所以C错误；对于D,取x= 4,则x2一2x=8>4,所以D正确.故选：AD. 11.AD对于A选项，若ac2>bc2,则c2>0,由不等式的性质可 得a>b,即“ac2>bc2”→“a>b”,若a>b,取c=0,则ac2= bc2,即“ac2>bc2”牛“a>b”,故“ac2>bc2”是“a>b”的充分不 必要条件，A对：对于B选项，若xy>0,不妨取x=一1，y= 一1，则x十y<0,即“xy>0”中“x十y>0”,若x十y>0,取 x=一1，y=2,则xy<0,即“xy>0”牛“x+y>0”,所以， “xy>0”是“x十y>0”的既不充分也不必要条件，B错；对于 C选项，取x=√2为无理数，则x2=2为有理数，C错；对于D 选项，命题“3x∈R,x2十1=0”的否定是“Hx∈R,x2十1≠ 0”,D对.故选：AD 1 12.答案：a≥- 解析：因为命题p:Hx∈R,x2十x一a>0为假命题， 所以它的否定7p:3x∈R,x2十x一a≤0为真命题， 参考答案 所以△=12-4×(-a)≥0，解得a≥- 4 故答案为：≥-子 13.答案：Vx∈R,x2≤2 解析：，命题：3x∈R,x2>2, .命题p的否定为：Hx∈R,x2≤2 故答案为：Hx∈R,x2≤2. 14.答案：x∈R,x<1 解析：根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定 ∴.命题“3x∈R,x≥1或x>2”的等价条件为：“3x∈R,x≥1”， ∴.命题的否定是：Hx∈R,x<1. 故答案为：Hx∈R,x<1. 15.答案：Vx∈R,x2-x十1≥0 解析：命题“3x∈R,x2-x十1<0”的否定是“Hx∈R,x2 x+1≥0”. 故答案为：Hx∈R,x2一x+1≥0 16.答案：Vx≥0，x2-2x-3≠0 解析：命题3x≥0，x2-2x-3=0的否定是：1x≥0，x2 2x一3≠0 故答案为：Vx≥0，x2一2x-3≠0. 17.答案：Hx∈R,|x+√x<0. 解析：特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结 论进行否定即可，命题“]x∈R,|x十√E≥0”的否定是 “Hx∈R,|x|+√x<0”, 故答案为：Hx∈R,x十√x0」 18.答案：Hx∈R,x十60 解析：p:3xo∈R,xo十6>0，则p:Hx∈R,x十60， 故答案为：x∈R,x十6≤0. 19.解：(1)含有特称量词存在，命题为特称命题， 命题的否定是：对任意一个实数x,都有x2十2x十3>0，该命 题为真命题. (2)含有特称量词有些，命题为特称命题， 命题的否定是：所有的三角形都不是等边三角形；故命题为 假命题. (3)含有全称量词每一个，命题为全称命题， 命题的否定是：方程x2一8x一10=0的至少有一个根是奇 数，故命题为假命题， 20.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是 全称量词命题， 又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x∈R,使x2十x十1=0成立， 即“3x∈R,使x2+x十1=0”， 因为△=一3<0，所以方程x2十x十1=0无实数解， 此命题为假命题， (2)由于“3x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在 量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题， 又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x,都有x2十3x十5>0 成立 即“Hx∈R,有x2+3x+5>0” 因为△=一11<0，所以对Hx∈R,x2十3x十5>0总成立， 此命题是真命题. 2.1 等式性质与不等式性质 (第1课时) 知识梳理 知识点1 差与0的大小关系 知识点2 ab,c>d→a+c>b+da>b>0,c>d>0→ac>bd 基础过关 1.C设软件x片，磁盘y盒，x,y∈N,则60x十70y≤500，x≥ 3,y≥2.当x=3时，y=2,3,4满足条件；当x=4时，y=2,3 满足条件；当x=5时，y=2满足条件；当x=6时，y=2满足 条件：故共有7种方案.故选：C. 2.D因请木工每人需付工资800元，木工x人，则需付木工工 资800x元，因请瓦工每人需付工资700元，瓦工y人，则需付 瓦工工资700y元，于是得完成这项装修工程，共需付工资 (800x+700y)元，而工人工资预算为20000元，因此有：800x1.5.1全称量词与存在量词 答题栏 1.5.1全称量词与存在量词 1 2 4.“Hx∈[1,2]，x2-3x-a≤0”为真命题的一 3 □知识梳理 4 个充分不必要条件是 )5 知识点 全称量词与存在量词 6 A.a>-2 B.a<-2 7 量词名称 常见量词 符号表示 C.a D.a≥- 所有的、任意一个、一切、每 4 全称量词 个、任给 二、多项选择题 5.下列命题中，是全称量词命题的有() 存在一个、至少有一个、有 存在量词 3 些、有一个、对某些、有的 A.至少有一个x使x2+2x+1=0成立 B.对任意的x都有x2+2x十1=0成立 基础过关 C.对任意的x都有x2+2x+1=0不成立 一、单项选择题 D.存在x使x2+2x+1=0成立 1.下列命题是全称量词命题的是 6.下列命题中，既是存在量词命题又是真命题 A.有些平行四边形是菱形 的是 ) B.有一个实数x,使x2+2x十3=0 A.所有的正方形都是矩形 C.至少有一个x∈Z,满足x能被2和3 B.有些梯形是平行四边形 整除 C.]x∈R,3x+2>0 D.每一个平行四边形都是中心对称图形 D.至少有一个整数m,使得m2<1 2.设命题：Hx>0,x2>0,则p为( A.3xo≤0，x≤0 B.Vx≤0，x2>0 7.下列命题是存在量词命题且是真命题的是 C.3x>0,x≤0 D.Hx>0,x2≤0 () 3.下列四个命题： A.存在实数x,使x2+2<0 ①Vx∈R,-x+}≥0 ②x3+1=0 B存在一个无理数，它的立方是有理数 C.有一个实数的倒数是它本身 ③Hn∈R,n≥n④至少有一个实数x,使 得x3+1=0 D.每个四边形的内角和都是360° 其中真命题的序号是 三、填空题 A.①③ B.②③ 8.若命题“Hx∈(3，+o∞)，x>a”是真命题，则 C.②④ D.①④ a的取值范围是 13 数学必修第一册 四、解答题 10.已知集合A={x|-1≤x≤m};命题p: 9.判断下列命题的真假： 3------- ]x∈[1,2]，x2-2x-a=0. (1)3x∈Z,x2=2; (1)若命题p为真命题，求实数a的取值 (2)3x∈R,x2=2; 范围； (3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两 (2)若命题p中a的取值构成集合B,且 个端点的距离相等； B二A,求实数m的取值范围. (4)平面上任意两条直线必有交点. 14