1.4.2 充要条件(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

**基本信息** 以“定义辨析-多领域应用-逻辑证明”为主线，系统构建充要条件判断与论证体系，强化推理意识与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|5题|定义法（逆命题、充分/必要条件判断）|从逆命题引入，通过集合、函数等载体深化概念理解| |综合应用|7题|集合关系法（子集/真子集）、等价转化法|结合三角形全等、电路等跨领域情境，构建条件与结论的逻辑联系| |证明探究|3题|分类讨论法（充分性+必要性双向论证）|以方程根的问题为载体，形成“概念-判断-证明”完整思维链|

1.4.2　充要条件 （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（　　） A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2 C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2 2.“x＞0”是“＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（　　） A.m＝－2 B.m＝1 C.m＝－1 D.m＝0 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件 D.“a＜6”是“a＜8”的充分不必要条件 6.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 7.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　　　　. 8.写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子　　　　. 9.（13分）指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：a＝2，q：a2＝4； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 10.（15分）已知集合A＝{x｜2a－1＜x＜a＋1}，B＝{x｜0≤x≤1}. （1）若x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若x∈A的一个充分不必要条件是x∈B，求实数a的取值范围. 11.若“x≤－1或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.无法确定 12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 13.〔多选〕设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　） 14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出：A∪B＝R的一个充分不必要条件为　　　　；A∪B＝R的一个必要不充分条件为　　　　　. 15.（15分）求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 1.4.2　充要条件 1.B　2.A　3.B　4.A　5.BD 6.必要不充分　解析：由两三角形对应角相等⇒/△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 7.m＝±2　解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条件. 8.x2＝y2（答案不唯一）　解析：因为x＝－y⇒x2＝y2，所以x2＝y2是x＝－y的必要条件，但x2＝y2⇒/ x＝－y，所以x2＝y2不是x＝－y的充分条件，所以x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子是x2＝y2. 9.解：（1）a2＝4⇒a＝±2，所以p⇒q，q⇒/p，即p是q的充分不必要条件. （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件. （3）由三角形为等腰三角形等价定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件. （4）A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件. 10.解：（1）∵B＝{x｜0≤x≤1}，∴∁RB＝{x｜x＜0或x＞1}，又∵x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，∴A⫋∁RB且A≠⌀， ∴或 解得a≤－1或1≤a＜2. ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或1≤a＜2}. （2）∵x∈A的一个充分不必要条件是x∈B， ∴B⫋A，∴解得0＜a＜， ∴实数a的取值范围是{a｜0＜a＜}. 11.A　“x≤－1或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x≤－1或x≥1”，但由“x≤－1或x≥1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 12.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B、C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件. 13.BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件. 14.b≥－1（答案不唯一）　b≥－3（答案不唯一）　解析：集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R.故A∪B＝R的充要条件是b≥－2.所以A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 15.证明：（1）充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根x＝－； 当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0， 且x1x2＝＜0，方程有一正实数根和一负实数根. 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根. （2）必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意. ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 当a＝1时，方程的根为－1，符合题意； 当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2， 若方程只有一个负实数根，则x1x2＝＜0，即a＜0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $