第8讲 等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦实数大小比较、等式与不等式性质核心知识点，构建从实数大小关系判定到等式性质，再到不等式8条性质推导与应用，最终衔接高考综合题型的递进学习支架。 资料以逻辑推理为核心，通过梯度题型（中等、提高、高考改编、创新）训练数学运算能力，结合易错辨析深化数学抽象，课中助力教师分层教学，课后帮助学生精准掌握性质应用与范围求解，有效查漏补缺。

新课标高中数学暑假预习讲义 第8讲 等式性质与不等式性质暑假预习讲义【解析】 【内容导航】 1. 实数大小比较的基本依据 2. 等式的基本性质及推论 3. 不等式的基本性质、性质推导与易错辨析 4. 利用不等式性质比较大小、证明不等式、求范围 5. 梯度题型精练与高考真题变式训练 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 掌握实数大小比较的充要条件，熟练运用作差法、作商法比较实数大小。 2. 熟记等式的5条基本性质，理解等式变形的等价性。 3. 掌握不等式的8条基本性质，理解每条性质的推导过程与适用条件，规避性质误用陷阱。 4. 能够利用不等式性质进行简单的不等式证明、代数式取值范围求解。 二、能力目标 1. 提升代数变形与逻辑推理能力，能严谨推导不等式性质。 2. 培养分类讨论思维，解决含参数的不等式大小比较问题。 3. 提升题型迁移能力，熟练应对高考中不等式性质的基础应用与综合题型。 三、素养目标 1. 数学抽象：抽象出等式、不等式的通用变形规律。 2. 逻辑推理：通过严谨推导证明不等式性质，培养严谨的数理思维。 3. 数学运算：精准完成代数式作差、作商变形，规范运算步骤。 4. 数据分析：结合实数范围，合理判断代数式取值范围。 【学习重点】 1. 实数大小比较的基本方法（作差法、作商法）。 2. 不等式的基本性质的理解与正向应用。 3. 利用不等式性质比较大小、证明简单不等式。 【学习难点】 1. 不等式性质的逆向应用与易错性质辨析（尤其是乘法、乘方、开方性质的条件限制）。 2. 多个不等式叠加变形时的范围精准求解，避免范围放大错误。 3. 含参数不等式的大小比较与分类讨论。 【知识框架】 实数大小关系判定 → 等式基本性质 → 不等式基本性质（可加、可乘、传递、乘方、开方） → 性质应用（比大小、证不等式、求范围） → 高考综合应用 【学习过程】 知识点1. 实数大小比较的基本依据 对任意两个实数 ，有如下充要关系： 1. 2. 3. 核心方法：作差法（通用）、作商法（仅适用于正实数）。 知识点2. 等式的基本性质 性质1（对称性）：若 ，则。 性质2（传递性）：若 ，则 。 性质3（可加性）：若 ，则 。 性质4（可乘性）：若 ，则 。 性质5（可除性）：若 ，则 。 知识点3. 不等式的基本性质及推导 性质1. 对称性： 推导：由 得 ，即 。 性质2. 传递性：若 ，则 推导：，两式相加得 ，故 。 性质3. 可加性：若 ，则 推导：，故 。 推论：若 ，则 （同向不等式可加）。 性质4. 可乘性：若 ，则 ；若 ，则 （乘负变号）。 推导：，， 时乘积为正， 时乘积为负。 推论：若 ，则 （同向正不等式可乘）。 性质5. 乘方性：若 ，则 。 性质6. 开方性：若 ，则 。 性质7. 倒数性：若 ，则 。 【例题讲解】 一、中等难度例题 例1. 用作差法比较 与 的大小。 解：作差得 配方： 因为 ，所以 故 。 例2. 已知 ，，求证：。 证明：由 ，根据不等式性质得， 又 ，由同向不等式可加性：， 即 ，得证。 例3. 已知 ，，求 的取值范围。 解：由 ，得 ， 两式相加：， 即 。 二、提高题型例题 例4. 已知 ，且 ，比较 与 的大小。 解：作差： 因式分解： 因为 ，故 ，又 ，故 ， 因此差值 ，即 。 例5. 已知 ，比较 与 的大小。 解：展开作差： 故 。 例6. 若 ，判断下列式子正误： ①； ② ； ③。 解：①正确，负数越小平方越大； ②正确， 时 ； ③正确，，不等式 两边除以 变号，得 。 例7. 已知 ，，求 的取值范围。 解：设 ，解得 ， 结合范围求得 。 例8 .证明：若 ，则 。 证明：作差通分可得差值大于0，命题得证（糖水不等式）。 三、近三年高考真题改编 例9.（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以，选项A正确； 注意到，当，，满足条件，选项B错误； 假设，因为，所以，则， 与矛盾，假设不成立，所以， 因为，所以，选项C正确； 因为， 注意到当，，时，，即，选项D错误. 例10. 若 ，且 ，，比较 与 的大小。 解析：由， 得 所以 四、创新题型 例11.（创新定义题型） 定义：若 ，则称 优于 。 已知 为正实数，若 优于 ，且 优于 ，证明 优于 。 证明：由定义 ， 相加得 ，故 优于 。 【方法分析】 1. 比大小核心方法：作差法（万能通用）、作商法（正实数专用）、单调性法（指数、对数、幂函数）。 2. 范围求解技巧：待定系数法拆分代数式，避免多次变形放大取值范围。 3. 证明题思路：作差变形、配方、因式分解，结合实数正负判断符号。 4. 易错规避：不等式乘除负数必须变号，同向不等式只能相加不能相减，正不等式可乘、负不等式不可随意乘方。 【变式练习】（含答案解析） 提高题型变式 变式1：比较 与 的大小。（答案：） 高考题型变式 变式2（高考真题改编）：（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A． 若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确． 故选：AD． 【本节知识总结】 本节核心围绕实数大小关系、等式与不等式性质展开，重点掌握不等式8大性质的条件与结论，熟练运用作差、作商法比大小，掌握代数式取值范围的精准求解方法，是后续基本不等式、一元二次不等式求解的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习讲义 第8讲 等式性质与不等式性质暑假预习讲义 【内容导航】 1. 实数大小比较的基本依据 2. 等式的基本性质及推论 3. 不等式的基本性质、性质推导与易错辨析 4. 利用不等式性质比较大小、证明不等式、求范围 5. 梯度题型精练与高考真题变式训练 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 掌握实数大小比较的充要条件，熟练运用作差法、作商法比较实数大小。 2. 熟记等式的5条基本性质，理解等式变形的等价性。 3. 掌握不等式的8条基本性质，理解每条性质的推导过程与适用条件，规避性质误用陷阱。 4. 能够利用不等式性质进行简单的不等式证明、代数式取值范围求解。 二、能力目标 1. 提升代数变形与逻辑推理能力，能严谨推导不等式性质。 2. 培养分类讨论思维，解决含参数的不等式大小比较问题。 3. 提升题型迁移能力，熟练应对高考中不等式性质的基础应用与综合题型。 三、素养目标 1. 数学抽象：抽象出等式、不等式的通用变形规律。 2. 逻辑推理：通过严谨推导证明不等式性质，培养严谨的数理思维。 3. 数学运算：精准完成代数式作差、作商变形，规范运算步骤。 4. 数据分析：结合实数范围，合理判断代数式取值范围。 【学习重点】 1. 实数大小比较的基本方法（作差法、作商法）。 2. 不等式的基本性质的理解与正向应用。 3. 利用不等式性质比较大小、证明简单不等式。 【学习难点】 1. 不等式性质的逆向应用与易错性质辨析（尤其是乘法、乘方、开方性质的条件限制）。 2. 多个不等式叠加变形时的范围精准求解，避免范围放大错误。 3. 含参数不等式的大小比较与分类讨论。 【知识框架】 实数大小关系判定 → 等式基本性质 → 不等式基本性质（可加、可乘、传递、乘方、开方） → 性质应用（比大小、证不等式、求范围） → 高考综合应用 【学习过程】 知识点1. 实数大小比较的基本依据 对任意两个实数 ，有如下充要关系： 1. 2. 3. 核心方法：作差法（通用）、作商法（仅适用于正实数）。 知识点2. 等式的基本性质 性质1（对称性）：若 ，则。 性质2（传递性）：若 ，则 。 性质3（可加性）：若 ，则 。 性质4（可乘性）：若 ，则 。 性质5（可除性）：若 ，则 。 知识点3. 不等式的基本性质及推导 性质1. 对称性： 推导：由 得 ，即 。 性质2. 传递性：若 ，则 推导：，两式相加得 ，故 。 性质3. 可加性：若 ，则 推导：，故 。 推论：若 ，则 （同向不等式可加）。 性质4. 可乘性：若 ，则 ；若 ，则 （乘负变号）。 推导：，， 时乘积为正， 时乘积为负。 推论：若 ，则 （同向正不等式可乘）。 性质5. 乘方性：若 ，则 。 性质6. 开方性：若 ，则 。 性质7. 倒数性：若 ，则 。 【例题讲解】 一、中等难度例题 例1. 用作差法比较 与 的大小。 例2. 已知 ，，求证：。 例3. 已知 ，，求 的取值范围。 二、提高题型例题 例4. 已知 ，且 ，比较 与 的大小。 例5. 已知 ，比较 与 的大小。 例6. 若 ，判断下列式子正误： ①； ② ； ③。 例7. 已知 ，，求 的取值范围。 例8 .证明：若 ，则 。 三、近三年高考真题改编 例9.（多选）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例10. 若 ，且 ，，比较 与 的大小。 四、创新题型 例11.（创新定义题型） 定义：若 ，则称 优于 . 已知 为正实数，若 优于 ，且 优于 ，证明 优于 . 【方法分析】 1. 比大小核心方法：作差法（万能通用）、作商法（正实数专用）、单调性法（指数、对数、幂函数）。 2. 范围求解技巧：待定系数法拆分代数式，避免多次变形放大取值范围。 3. 证明题思路：作差变形、配方、因式分解，结合实数正负判断符号。 4. 易错规避：不等式乘除负数必须变号，同向不等式只能相加不能相减，正不等式可乘、负不等式不可随意乘方。 【变式练习】 提高题型变式 变式1：比较 与 的大小。 高考题型变式 变式2（高考真题改编）：（多选）已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A． 若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【本节知识总结】 本节核心围绕实数大小关系、等式与不等式性质展开，重点掌握不等式8大性质的条件与结论，熟练运用作差、作商法比大小，掌握代数式取值范围的精准求解方法，是后续基本不等式、一元二次不等式求解的基础。 学科网（北京）股份有限公司 $