第07讲 等式性质与不等式性质（3大知识点+7大题型）讲义-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第07讲 等式性质与不等式性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：不等式组表示不等关系 5 题型 2：作差法比较大小 6 题型 3：作商法比较大小 7 题型 4：不等式性质判断命题真假 8 题型 5：不等式性质证明不等式 10 题型 6：不等式性质比较大小 11 题型 7：求代数式的取值范围 13 04 过关测试 16 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型 1：不等式组表示不等关系 例1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小于且不小于，. 例2．（2026·高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 例3．（2026·高一·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 变式1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【解析】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 变式2．（2026·高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 题型 2：作差法比较大小 例4．（2026·高一·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【解析】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 例5．（2026·高一·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 【答案】 【解析】因为恒成立， 所以. 故答案为：. 例6．（2026·高一·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【解析】因为 ， 所以. 故答案为： 变式3．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【解析】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 变式4．（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为： 题型 3：作商法比较大小 例7．（2026·高一·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 【答案】 【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以； 同理，所以。 综上： 故答案为： 例8．（2026·高二·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【解析】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 例9．（2026·高一·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 变式5．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【解析】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 题型 4：不等式性质判断命题真假 例10．（2026·高二·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 例11．（2026·高一·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 例12．（2026·高一·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】因为，即，代入， 得，即，故③正确， 因为，即，代入， 得，即， ， 结合得， 则，且,故①正确②错误， ，故④错误. 变式6．（2026·高二·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 题型 5：不等式性质证明不等式 例13．已知均为正实数，且，求证：． 【解析】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 例14．（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【解析】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 例15．（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【解析】（1）不等式为或； 证明如下： ， 因为，故，故. （2）由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 题型 6：不等式性质比较大小 例16．（2026·高一·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【解析】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 例17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 例18．（2026·高一·上海·阶段检测）若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 【答案】（2） 【解析】对于（1），取，满足，而，则（1）不一定成立； 对于（2），因，由不等式性质得，（2）一定成立； 对于（3），取，满足，而，（3）不一定成立； 对于（4），取，满足，而，（4）不一定成立， 所以给定不等式一定成立的序号是（2）. 故答案为：（2） 变式7．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 【答案】②④ 【解析】因，，给出下列不等式： ①，，所以①正确； ②由，所以，因此②不正确； ③，，又，，所以③正确； ④由，，所以④不正确． 其中错误的不等式是②④． 故答案为：②④． 题型 7：求代数式的取值范围 例19．（2026·高一·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，解得. ，，相加得. 例20．（2026·高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，而，则. 例21．（2026·高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 变式8．（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 变式9．（2026·高一·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 变式10．（2026·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，即 故，解得， 故 由于，， 所以， 故，即 故选：D 变式11．（2026·高一·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，又，得， 所以的取值范围是 故选：C. 1．（2026·高一·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 2．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 3．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 4．（2026·高一·上海·期中）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，因为， 当且仅当时，等号成立，故，A中的不等式恒成立； 对于B选项，因为， 当且仅当，时，等号成立，故，B中的不等式恒成立； 对于C选项，因为， 当且仅当时，等号成立，C中的不等式恒成立； 对于D选项，当，时，， 当且仅当时，等号成立， 当，时，，D中的不等式不恒成立. 5．（2026·高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【解析】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 7．（2026·高一·四川雅安·期末）手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（     ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 【答案】C 【解析】根据题意，不妨设升级前该手机的屏幕面积为，整机面积为，， 则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中为升级后增加的面积， 由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大． 故选：C． 8．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 【答案】C 【解析】对于选项A：若取，则， 三个数都为正数，不是“两正一负或两负一正”，A错误； 对于选项B：同选项A的举例，不存在0，B错误； 对于选项C：因为 ， 因为平方非负，且，因此， 若全不为正数，则，与矛盾，因此三个数中至少有一个正数，C正确； 对于选项D：时三个数均为正数，没有负数，D错误； 9．（2026·高一·西藏拉萨·期末）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，所以，故B错误； 对于C，取，则此时，故C错误； 对于D，若，此时，故D错误． 故选：A． 10．已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 11．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 13．（多选题）（2026·高一·广西桂林·期中）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】BC 【解析】对于A，例如，满足，但是不满足，A不正确； 对于B，，因为，所以，即，B正确； 对于C，，因为，所以，，C正确； 对于D，因为，所以异号，即，若，则，D不正确. 14．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【解析】， ， 故. 故答案为：. 15．（2026·高一·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 【答案】 【解析】因为， ， 所以A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）为． 故答案为：. 16．（2026·高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 【答案】 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 17．（2026·高一·天津和平·阶段检测）若，有下列结论：①；②；③.其中正确的是______.（填序号） 【答案】①③ 【解析】若，则，所以，所以，①正确； 取，满足，但，所以②错误； 因为，所以，且，所以，③正确. 故答案为：①③ 18．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】设， 则，解得， 由可得，， 由可得， 则两式相加可得， 故答案为：. 19．（2026·高一·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 20．（2026·高一·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【解析】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 21．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【解析】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 22．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【解析】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 23．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解析】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 24．原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【解析】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上. 25．（2026·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【解析】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 等式性质与不等式性质 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、符号法则与比较大小 3 知识点二、不等式的性质 3 知识点三、比较两代数式大小的方法 4 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：不等式组表示不等关系 5 题型 2：作差法比较大小 6 题型 3：作商法比较大小 7 题型 4：不等式性质判断命题真假 8 题型 5：不等式性质证明不等式 10 题型 6：不等式性质比较大小 11 题型 7：求代数式的取值范围 13 04 过关测试 16 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型 1：不等式组表示不等关系 例1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 例3．（2026·高一·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 变式2．（2026·高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型 2：作差法比较大小 例4．（2026·高一·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 例5．（2026·高一·上海·期中）若，设 ，则的大小关系为____. 例6．（2026·高一·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 变式3．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 变式4．（2026·高一·北京·阶段检测）若，，则_____（用“”、 “”或“”填空）． 题型 3：作商法比较大小 例7．（2026·高一·上海·期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________ 例8．（2026·高二·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 例9．（2026·高一·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 变式5．已知，则与的大小关系为____________. 题型 4：不等式性质判断命题真假 例10．（2026·高二·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 例11．（2026·高一·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 例12．（2026·高一·湖北·期中）若满足，则下列结论正确的有（     ） ①    ②    ③    ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 变式6．（2026·高二·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型 5：不等式性质证明不等式 例13．已知均为正实数，且，求证：． 例14．（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 例15．（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 题型 6：不等式性质比较大小 例16．（2026·高一·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 例17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 例18．（2026·高一·上海·阶段检测）若非零实数满足，则（1），（2）对于任意实数,，（3），（4）对于任意实数, .上述不等式一定成立的序号是___________． 变式7．（2026·高一·天津南开·阶段检测）若，给出下列不等式： ①；②；③；④． 其中错误的不等式是__________（只填序号）． 题型 7：求代数式的取值范围 例19．（2026·高一·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 例20．（2026·高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例21．（2026·高三·全国·二轮复习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8．（2026·高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 变式9．（2026·高一·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高一·云南普洱·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高一·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·三模）已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·上海·期中）在下列关于实数、的四个不等式中，不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．（2026·高一·四川雅安·期末）手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（     ） A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 8．（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）已知x、y、z是实数，，，下列说法正确的是（   ） A．a、b、c三个数必为两正一负或两负一正 B．a、b、c三个数中，至少有一个数是0 C．a、b、c三个数中，至少有一个数是正数 D．a、b、c三个数中，至少有一个数是负数 9．（2026·高一·西藏拉萨·期末）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·山东潍坊·期中）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2026·高一·广西桂林·期中）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，则 14．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 15．（2026·高一·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 16．（2026·高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 17．（2026·高一·天津和平·阶段检测）若，有下列结论：①；②；③.其中正确的是______.（填序号） 18．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知，则的取值范围为___________． 19．（2026·高一·海南·阶段检测）（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 20．（2026·高一·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 21．已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 22．（2026·高一·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 23．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 24．原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 25．（2026·高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $