第24章 随机事件及其概率（铺路帮手）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

AB. (6分) (2)70 (8分) 11.解：(1)BC⊥AD,∴.△ABC为直角三角形.在Rt △ABC中，AC=√AB2-BC=7(米)，∴.AD=AC+CD=7+ 1.8=8.8(米).答：此时风筝离地面的垂直高度AD为 8.8米. (5分) (2)CE=AC+AE=7+8=15(米)，由题意可得：EF=AB= 25米，在Rt△EFC中，CF=√EF2-EC=20米，.BF= BC-CF=24-20=4(米)，答：BF的长度是4米.(9分) 锐角三角函数 1.C2.A3.B4.B5.C 6.C【解析】sin=2,ca Γ2，C0sB= 2,LA,∠B都是锐角， ∠A=45°，∠B=60°.∴.∠C=180°-（∠A+∠B)=75°.故 选C 7.D【解析】设BC=x,则AB=3x,由勾股定理得，AC= 22,amB=1C22=22.故选D BC x 8.D 9.B【解析】：EH/∥CD.△AEH∽△ACD.一AHAD EH CD 4,设EH=3a,AH=4a,HG=GF=3a,EF∥AD. ∠AFE=∠FAG.tan∠AFE=tan∠FAG=GF-,3a AG 3a+4a 3 故选B 【解题技巧】根据题意可知EF∥AD,由该平行线的性质 推出△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比 例和锐角三角函数的定义解答. 103 2 11.(3,1)12.6-2 4 3 3 13.解：(1)原式=2x2+3x24x1=1 24= 2 (4分) (2)原式=√3-1+2× 2+4=23+3. (8分) 14.解：根据图形有∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠 的性质，得∠EFC=∠D=90°，即∠AFE+∠BFC=90° (2分) 而在Rt△BFC中，有∠CBF=90°，∴.∠AFE=∠BCF,根 据折叠的性质，有CF=CD. (4分) 又.BC=8,CF=CD=10,.由勾股定理，得BF=6,则 BF 3 tan∠BCF= (6分) BC 4 故an∠AFE=tanLBCF=3 41 (8分) 15.解：：∠A=60°，∴.tanA=√3.把x=√3代入方程2x2- 3mx+3=0得2(V5)2-35m+3=0,解得m=√5.(4分) 原方程为2-35x+3=0,解得，=月，与= 2 (6分) 4co8B=3,即∠B=30.∠C=180°-∠A-∠B=90, 2 即△ABC是直角三角形. (8分) 16.解：(1)由题意可知：S△8c 2BC·AD=48,BC=16, AD=6,在△ABD中，AB=12,inB=AD-6-1 AB122 ∠B=30°. (5分) (2).·BC=16,BD=AB·cosB=6W3,∴.CD=16-6√3.在 Rt△ACD中，CD=16-6√3，AD=6,.tan LDAC= 663弩5 (10分) 6 追梦之旅铺路卷·九年 解直角三角形 1.C2.B3.A 4.C【解析】由题意得，在Rt△ADC中，DC=AD·tan45°= 2,在Rt△ABD中，BD=AD·tan60°=2√3，∴.CB=BD-DC =(2√3-2)米.故选C. 5.65tang 6.40.5【解析】：AB=AC,AD为BC边上的高，.BD= CD,:BC=36cm,.BD=18cm,∠ABC=66°，∴.在 Rt△ABD中，∴.AD=BD×tan∠ABC=18×tan66°≈18× 2.25=40.5cm. 7.解：由题可知EB⊥CD,ED=EC,∴.∠EBC=90°，由题意 得：EB=3.1-1.2=1.9(m). (3分) cE=80e,BC=0p=1.94m,1.94+1L34 3.88(m).答：两根拉绳的总长度至少为3.88m.(9分) 8.解：(1)过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H, AG=0n=n60·AB=7×16=8v5(米)5a 2DH·CB=2×8,3x8=325(平方米)，需要填士石 方体积为：323×120=38403(m3) (5分) (2)HC=√CD2-Df=√(163)2-(83)2-24(m), H孤=24+8=32(m).DE的坡度=D明V3 HE 4 (9分) 9.解：(1)根据题意可知AB=20km,∠BAD=37°，∴.BD=AB ·tan37°≈20x0.75=15(km). (3分) 15÷15=60(kmh),答：甲船的航行速度为60kmh; 60 (5分) (2)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,过点D作 DF⊥CE于点F,:∠CAE=45°，∠AEC=90°，.△AEC 是等腰直角三角形，∴AE=CE. (6分) 设AE=CE=akm,:LFEB=∠EBD=∠DFE=90°，.四 边形BEFD是矩形，∴.EF=DB=15km,DF=BE=(a-20) DF km,∴.CF=(a-15)km.在Rt△CDF中，tan∠DCF= a-20√5, a-15=33 a-15)=a-20,解得：a=45+5,3 2 (7分) ·DF=a-20=5+53 路 ,CD=2DF=5+53≈13.7(km). 答：乙船从C处航行到D处的距离约为13.7km.(9分) 手 第24章随机事件及其概率 案 1.A2.C3.C 4.B【解析】由题意可得，盒子中白色球有：60×(1-30%- 40%)=18(个).故选B. 5.C 6.D【解析】从统计图中可得该事件发生的可能性约在 35%左右，A的概率为 1 1 ≈16.67%，B的概率为2= 50%,C的概率为 4 6 ≈66.67%，D的概率为 3 33.33%.故选D. 7.C【解析】运用列表法表示如下，其中《论语》、《孟子》、 《大学》和《中庸》分别用A,B,C,D表示 B C A (A,B) (A,C)(A,D) B (B,A) (B,C)(B,D) C （C,A)(C,B) (C,D) D (D,A)(D,B)(D,C) 级·HS·数学 第28页 共有12种等可能结果，其中恰好是《论语》和《大学》的 有2种结果，.从中随机抽取2张书签恰好是《论语》和 《大学》的概率是2=1 26故选c. 293 10.解：() (3分) (2)画树状图如图： 开始 BCDACDABDABC (7分) 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中 有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果，∴.P(两张卡 片中有数学家华罗庚邮票图案)= 61 122 (9分) 1解(14 (3分) (2)画树状图如下： 开始 B D BCDACD ABDABC (6分) 由上可得，一共有12种等可能性，其中甲、乙两位同学 都没有选择“D.专家系统”直播间的可能性有6种，∴. (甲、乙两位同学都没有选择“D.专家系统”直播间)= 61 (9分) 122 第25章二次函数 认识二次函数、二次函数的图象和性质 1.B 2.D 【归纳总结】二次函数图象的平移，先将一般式转换成顶点 式，再利用平移规律“左加右减，上加下减”进行平移变换， 即可得到新的解析式」 3.C【解析】由题可得a-1>0,则a>1,故选C. 4.D5.A6.C 7.B【解析】由图可知，过M、P、Q和过N、P、Q的二次函数 开口向上，a>0,故排除A和C..·Ia|越大，开口越小，.当 a<0时，开口小的那个a更小，由图可知，过M,N,P三点的 二次函数的开口更小，.过M,N,P三，点的二次函数的a更 小.故选B. 路 h 8.B【解析10②函数的对称轴为x=1,>0,2a0,则6< 手 0,由图象知c<0,∴.abc>0,.函数和x轴的一个交点是(3， 0),.另外一个交点为(-1,0)，∴.当x=-1时，y=a-b+c= 案 h ,故①②错误；③函数的对称轴为x=1=2,即0=-2 故③正确：④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而a> 0,即5a>0,8a+c>0,故④正确.故选B. 9y 2(x-2)2 10.4【解析】由题意，得抛物线y=a(x-2)2+1(a>0)的顶，点 A坐标为(2,1).AB仍轴，，点B的横坐标为2，把x=2 代入y=- 4x2-2得，y=-3,B(2,-3),4B=4, 1 △AOB的面积为 2×4×2=4 11.8 12.解：(1)把A(-1,0)代入y=ax2-2ax-3(a≠0)得a+2a-3 =0,解得a=1,抛物线解析式为y=x2-2x-3. (2分) y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1， -4)； (4分) (2)点P(x,y)到y轴的距离不大于2，-2≤x≤2.x =-2时，y=5;x=2时，y=-3;x=1时，y有最小值-4. (6分) ∴.当-2≤x≤2时，-4≤y≤5，即n=-4,m=5,∴.m-n=9. (9分) 追梦之旅铺路卷·九年 13.解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三 (16a-46+c=0 点代入，得{c=4 8,6s 1 ,解得a=- 2,c=4,抛 (16a+4b+c=4 1 物线的解析式为：=8+2+4； (4分) (2)连结AC与对称轴交于点D,连结DB,抛物线的对称轴 为x=2.由题意知AB=4√2，B、C关于对称轴对称，.DB= DC,∴.AD+BD=AD+CD=AC.此时△ABD的周长取得最小 值，点D即为所求 (6分) 设直线AC解析式为y=x+n,将A、C两点代入得 1 、{”40,解得k2,直线AC的解析式为=2x+ （n=2 2.当x=2时，y=3,.当点D的坐标为(2,3)时，△ABD的 周长最小. (9分) 14.解：(1)令x=0,y=4,.B(0,4).令y=0,.(x+2)2=0, ∴.x=-2,.A(-2,0) (2分) (2)令y=4,有4=(x+2)2,x1=0,x2=-4,.C(-4,4) .BC=4,0B=4,0A=2,.S四边形0ACB= 2(0A+BC)xOB= 12: (6分) (3)存在， (7分) P1(2,0),P2(-6,0),P3(-2,8). (9分) 实际问题与二次函数 1.A2.B 3.D【解析】设一次函数y=kx+b(k≠0)，由图象可知， 《000屏得伯品y=-2+60设销修利消为报 据题意得p=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600.:a=-2< -2X220时，P爱大a=20.故选D. 80 0,.p有最大值，当x= 4.D5.56.9 7.40m【解析】以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直 平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线 的解析式为y=a(x+40)(x-40),将(0,200)代入，得200= 1 a(0+40)(0-40),解得a=- 8抛物线的解析式为y= ~8x2+200,将y=150代入得-。x2+200=150,解得x= ±20，.∴.C(-20,150),D(20,150),∴.CD=40m 8.解：(1)(24-3x) (2分) (2)x(24-3x)=45,解得x1=5,x2=3.当x=3时，24-3x=15 >14,不合题意，∴.x的值为5； (6分) (3)设苗圃的面积为S,则S=x(24-3x)=-3(x-4)2+48.. -3<0,0<24-3x≤14，即10 x<8,当x=4时，S最大，最 3 大值为48平方米. (9分) 9.解：(1)设每件商品的进价为a元，根据题意，得80×0.8-a =60%a,解得a=40,故该种商品每件的进价为40元. (4分) (2)y=(80×0.8-x-40)(220+20x)=-20x2+260x+5280= -20(x-6.5)2+6125,∴.当x=6.5时，y最大..x为整数， 当x=6或7时，y最大为6120元. (8分) 80×0.8-7=57(元)，80×0.8-6=58（元），.当售价为57元 或58元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元. (10分) 10.解：（1)，点A(0,90)为图中抛物线的顶点，设抛物线的函 数表达式为y=ax+90, (2分) 把点B(20,70)代入y=ax2+90,得70=400a+90,解得a= 20心抛物线的函数表达式为)y20+90； (5分) (2)把y=20代入y=20+90得20=202+90，解得x= 10√14≈37.4（负值舍去），.0C=30cm,∴.0D=30+20= 50,∴.30<37.4<50，∴.小球最终能落到纸箱内.（10分) 二次函数与一元二次方程 1.C2.B 级·HS·数学第29页第24章随机 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正 确的是() A.可能有5次正面朝上 B.必有5次正面朝上 C.掷2次必有1次正面朝上 D.不可能10次正面朝上 2.下列说法中不正确的是( )》 A.“某射击运动员射击一次，正中靶心”属 于随机事件 B.“13名同学至少有两名同学的出生月份 相同”属于必然事件 C.“在标准大气压下，当温度降到-1℃时， 水结成冰”属于随机事件 D.“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意 摸出一球是白球”属于不可能事件 3.在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，4张 “梅花”，1张“方块”.将这8张牌背面朝 上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率 为() a8 B 3 c 4.在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白 色的小球共有60个，除颜色外其他完全相 同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸 到绿色球、黑色球的频率稳定在30%和 40%,盒子中白色球的个数可能是() A.24个B.18个C.12个D.6个 5.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表 了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有 甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如 图所示，它们除正面外完全相同.把这四张 卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 事件及其概率 测试分数：45分 这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率 是( 多 甲骨文丽 山 山 B. 6 C.4 0.2 6.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的 试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频 率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结 果的试验可能是( A.朝上的点数是5的概率 B.朝上的点数是奇数的概率 C.朝上的点数是大于2的概率 D.朝上的点数是3的倍数的概率 频率 50% 40% 30% 20% 10% 0200040006000次数 第6题图 第7题图 7.跨学科试题·语文中国古代的“四书”是指 《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒 家思想的核心著作，是中国传统文化的重要 组成部分.下面是正面印有“四书”字样的 书签，书签除正面的字样外，其余完全相同. 将这4张书签背面向上，洗匀放好.从中随 机抽取2张书签恰好是《论语》和《大学》的 概率是( 1 B.12 C. 6 D.1 二、填空题（每小题3分，共6分） 8.如图为中国人民银行 发行的抗战80周年 纪念币，兴趣小组做 抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 九年级·HS·数学第25页 抛掷次数 100200 300500 1000 正面朝上的频数58 94 152251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷 一枚该纪念币正面朝上的概率为 9.《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是 我国古代数学的重要名著.某中学打算从这 三部名著中选择两部作为校本课程的学习 内容，恰好选中《九章算术》的概率 为 三、解答题（共18分） 10.(9分)数学社团开展“讲数学家故事”的 活动，如图所示是印有四位中国数学家纪 念邮票图案的卡片A,B,C,D,卡片除图案 外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀 后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取 卡片，讲述卡片上数学家的故事 (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片， 抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概 率是 (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡 片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽 到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案 的概率 刘徽 祖冲之 华罗庚 陈景润 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·九 11.科技情境·AI大模型(9分)国产AI大模 型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的 广泛关注.现有四场网络直播，这四场直播 分别以“A.机器人技术”“B.计算机视觉” “C.自然语言处理”“D.专家系统”为主 题，分别对这四类人工智能进行讲解，这四 场直播同时开始，同学们随机选择一类，进 入直播间听讲解。 (1)甲同学选择听“A.机器人技术”直播 的概率是 (2)甲、乙两位同学准备各自听一场网络 直播，然后两人互相分享.若甲同学先从这 四类中随机选择一类进入直播间听讲解， 然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类 进入直播间听讲解，请用画树状图或列表 的方法，求甲、乙两位同学都没有选择“D. 专家系统”直播间的概率 A.机器人技术 B.计算机视觉 C.自然语言处理 D.专家系统 年级·HS·数学第26页