2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次方程的解集、配方法、求根公式、判别式及根与系数关系，通过复习x²=t型方程解集过渡到一般形式，搭建旧知到新知的学习支架。 采用启发探究与讲练结合，以问题链引导从特殊到一般，配方法推导培养数学思维，换元法应用体现化归思想，典例与练习助力学生提升推理能力和应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用资源。

必修第一册 高一 人教B版 数学 教学设计-2026-2027学年 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、教学目标 （1）理解一元二次方程的概念，掌握形如x²=t的方程解集情况。 （2）理解配方法的基本步骤，掌握一元二次方程的求根公式，并能熟练运用公式求解方程。 （3）理解判别式Δ的意义，掌握判别式与方程解集的关系。 （4）理解并能应用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）解决简单问题。 （5）通过换元法的学习，体会化归与转化的数学思想。 二、教学重难点 重点：判别式Δ与解集的对应关系，求根公式的应用，根与系数的关系及其应用。 难点：配方法的完整推导过程，利用根与系数的关系求代数式的值。 三、教学方法 本节课采用启发探究式、讲练结合法与多媒体辅助教学相结合的方法。通过问题链引导学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程，重点突出配方法的推导和公式的应用。 四、教学过程 （1）情境导入 教师提问：我们已经学过一元一次方程的解法，现在来看几个特殊的方程：① x²=4；② x²=0；③ x²=-1。请同学们求出它们的解集。 学生活动：学生独立思考并回答。①的解集为{-2，2}；②的解集为{0}；③在实数范围内无解，解集为∅。 教师追问：对于形如x²=t的方程，它的解集情况有哪些？ 师生共同总结：当t>0时，解集为{-，}；当t=0时，解集为{0}；当t<0时，解集为∅。这是最简单的一元二次方程形式，今天我们将探讨一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解集。 （2）探究新知：配方法与求根公式 教师讲解：如何将一般方程ax²+bx+c=0转化为我们熟悉的(x-k)²=t的形式呢？我们需要使用配方法。 推导过程： 因为a≠0，方程两边同除以a，得 x²+x+=0。 移项，得 x²+x=-。 配方（两边加上一次项系数一半的平方），得 x²+x+=-+。 即 (x+)²=。 教师提问：观察右边式子，由于4a²>0，该式的符号完全由分子决定。我们把Δ=b²-4ac称为一元二次方程根的判别式。 师生讨论：根据Δ的符号，方程的解集有三种情况： Δ=b²-4ac的符号 方程的解集情况 根的个数 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根 Δ<0 ∅ 无实数根 教师强调：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，求根公式为 x₁=，x₂=。 （3）探究新知：根与系数的关系 教师提问：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x₁+x₂和x₁·x₂与系数a，b，c有什么关系？ 学生活动：学生利用求根公式进行计算。 计算过程： x₁+x₂ = + = = 。 x₁·x₂ = () · () = = = = 。 教师总结：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x₁+x₂=-，x₁·x₂=。 （4）典例剖析 例1：解下列方程，并利用根与系数的关系检验结果。 ① 2x²-5x+2=0； ② x²-2x+1=0。 解析： ① 对于方程2x²-5x+2=0，a=2，b=-5，c=2。 Δ = b²-4ac = (-5)²-4×2×2 = 25-16 = 9 > 0。 x = = 。 解得 x₁==2，x₂==。 检验：x₁+x₂=2+=，-=-=；x₁·x₂=2×=1，==1。符合。 ② 对于方程x²-2x+1=0，a=1，b=-2，c=1。 Δ = b²-4ac = (-2)²-4×1×1 = 4-4 = 0。 x = = =1。 解得 x₁=x₂=1。 检验：x₁+x₂=2，-=-=2；x₁·x₂=1，==1。符合。 例2：利用换元法解方程 x²-2x-=0。 解析：设 t=，则 t≥0，原方程化为 t²-t=0，即 t(t-1)=0。 解得 t₁=0，t₂=1。 当t=0时，=0，即 x²-2x=0，解得 x=0或x=2。 当t=1时，=1，即 x²-2x=1，x²-2x-1=0。 Δ = (-2)²-4×1×(-1) = 8 > 0。 x = = = 1±。 经检验，x=0，x=2，x=1+，x=1-均为原方程的解。 （5）巩固练习 练习1：不解方程，判断下列方程解集的情况。 ① x²+4x+5=0； ② 3x²-2x-1=0。 答案： ① Δ=4²-4×1×5=16-20=-4<0，解集为∅。 ② Δ=(-2)²-4×3×(-1)=4+12=16>0，解集有两个元素。 练习2：已知关于x的一元二次方程 x²-6x+k=0 有两个相等的实数根，求k的值及此时的根。 答案： 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ=0。 Δ = (-6)²-4×1×k = 36-4k = 0，解得 k=9。 当k=9时，方程为 x²-6x+9=0，解得 x==3。 所以k=9，此时的根为x=3。 练习3：设x₁，x₂是方程 2x²+4x-3=0 的两个根，求下列各式的值。 ① (x₁+1)(x₂+1)； ② ₁ + ₂。 答案： 由韦达定理得：x₁+x₂ = = -2，x₁x₂ = 。 ① (x₁+1)(x₂+1) = x₁x₂ + (x₁+x₂) + 1 = + (-2) + 1 = -1 = 。 ② ₁ + ₂ = ₁x₂ = {-2}/ = {-2} × = 。 （6）课堂小结 本节课我们学习了一元二次方程的解集及其根与系数的关系： 1. 求解一元二次方程的基本思路是通过配方法转化为(x-k)²=t的形式。 2. 判别式Δ=b²-4ac决定了方程解集的情况：Δ>0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根。 3. 求根公式是解一元二次方程的通用工具。 4. 韦达定理反映了根与系数之间的内在联系，常用于求代数式的值。 5. 换元法可以将复杂方程转化为一元二次方程求解。 （7）课后作业 1. 教材习题2.1 A组 第3、4题。 2. 已知方程 x²+px+q=0 的两个根是-3和2，求p、q的值。 答案：由韦达定理得：x₁+x₂ = -p = -3+2 = -1，所以 p=1；x₁x₂ = q = -3×2 = -6，所以 q=-6。 3. 利用换元法解方程：x²+-1=0。 答案：设 t= (t≥0)，原方程化为 t²+t=0，解得 t=0或t=-1(舍)。当t=0时，=0，即 x²-1=0，解得 x=±1。故原方程解为 x₁=1，x₂=-1。 学科网（北京）股份有限公司 $