九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：第20章 二次根式～第21章 一元二次方程）

**基本信息** 聚焦二次根式与一元二次方程，25题分层设计，融合杨辉几何解法、乒乓球运动等文化与现实情境，可精准评估运算能力、模型意识及创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式性质、方程根的判别式等|题7以杨辉《田亩比类乘除捷法》为背景，渗透数学文化| |填空题|6/18|方程一般形式、海伦-秦九韶公式等|题15结合连续整数边长三角形，考查抽象与推理能力| |解答题|9/72|方程求解、动态几何、新定义问题等|题21通过乒乓球人数增长建模，题25“差根方程”新定义培养创新意识|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 10．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 【答案】，1，6 【分析】先根据确定的取值范围，进行分类讨论，再结合是整数，推出为非负完全平方数，逐一验证得到符合条件的． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数， 设，为非负整数，可得， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的为，，． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 【答案】 【分析】先根据完全平方公式化简，再分别将四个运算符代入计算，判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 15．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据海伦公式代入三边长化简得到面积表达式，再根据面积为整数的条件，结合且为整数，从小到大验证即可得到的最小值． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴半周长， ∴，，， ∴， ∵为整数， ∴为大于的整数， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； ∴的最小值为． 16．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即，， ， ； （2）解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 18．（6分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将各项二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）使用完全平方公式和二次根式的除法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解：               ． 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 20．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 21．（8分）（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 22．（9分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： (1)请用上面的方法化简：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】（1）利用题目所给的方法进行分母有理化； （2）将化简后代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． 23．（9分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 24．（10分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 25．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第20章 二次根式~第21章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）等式成立的条件是（     ） A． B． C．或 D． 2．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广西贺州·期中）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 12．（江西省南昌市第十九中学2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 15．（2026·江西·三模）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 16．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）计算 (1)计算：； (2)计算：． 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 20．（8分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 21．（8分）（上册第三章追梦期中达标测试卷）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 22．（9分）（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料，解答下列问题： 如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 如： (1)请用上面的方法化简：． (2)若，求的值． 23．（9分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 24．（10分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 25．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $