2026-2027学年北师大版九年级数学上学期第一次月考复习卷--

**基本信息** 融合杨辉数学文化与乒乓球运动等现实情境，梯度覆盖一元二次方程、特殊四边形等核心知识，通过新定义“差根方程”及动态几何问题，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程解、平行四边形性质、根的判别式|第7题以杨辉《田亩比类乘除捷法》问题考查方程建模| |填空题|6/18|方程一般形式、菱形面积、折叠问题|第16题矩形折叠结合角平分线，考查空间观念| |解答题|9/72|方程解法、四边形证明、差根方程、动态几何|第21题乒乓球人数增长考查增长率应用，第23题“差根方程”新定义培养推理能力|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考复习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.若x=1是关于x的方程ax-x+2=0的解，则a的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.下列关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是() A.若AC=BD,则平行四边形ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是矩形 C.若AB=AD,则平行四边形ABCD是正方形 D.若BC=CD,则平行四边形ABCD是菱形 3.关于x的一元二次方程x+bx-1=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 4.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边CD的中点.若OB=5,OM=3,则线段 CD的长为() B M A.8 B.9 C.10 D.11 5.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则x-1+x2的值是() A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 6.如图，四边形OABC是矩形，点B是y轴正半轴上一点，AC=5,A2,1,点C在第二象限， 则点C的纵坐标是(). B A.3 B.4 c号 D.5 7.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十 四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步， 长和宽共60步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几 何解法，如图：用四个完全相同的面积为864平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地 的宽为x,则可列方程为() A.(60-2x2=602-4×864 B.x60+x=864 C.(60+2x)2=602-4×864 D.x60-2x=864 8.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AC=3AE,Rt△FEG的两直角边EF,EG 分别交BC,DC于点M,N若正方形ABCD的边长为3，则重叠部分（即四边形EMCN)的面 积为( ) G D 布 E B M C F A.3 B.4 C.8 D.4/2 9.关于x的方程x2+m+3x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，那么m的取值范围是 A.-1≤m<0 B.-1<m≤0 C.-2≤m<-1 D.-2<m≤-1 10.在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8,点E在BC上，CE=43,若点P是菱形ABCD四条 边上异于点E的一点，CE=CP,则以下长度中，不可能是DP的长度的是() A.8-43B.4 C.4V7-8 D.4V7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.把方程3x+22x-3=0化为一般形式是 12.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在BC,AB,CA上，且DE‖CA,DF BA,若 ∠BAC=90,四边形AEDF是一·（填写一种特殊的平行四边形） E 13.若关于x的一元二次方程ax+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026,则一元二次方 程ax-1+bx-b+2=0必有一个实数根为」 14.如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H, 连接OH,若OA=35,则OH的长为 B 15.已知实数a,b,c满足a+b-2c=10,ab-50=2c2,则a-b-c的值为 16.(2025·浙江·模拟预测)如图，在一张矩形纸片ABCD中，E,F分别是AD和BC的中 点.现将纸片按如图方式折叠，使点C与EF上的点G重合.若AG平分∠BAD,BC=2,则AB 的长为」 E H B 三、解答题（本大题共9小题，满分72分) 17.(6分)解方程： (1)4x2-8x+1=0 (2)3x2+52x+1=0 18.(6分)已知四边形ABCD为菱形，AH⊥BC于点H,延长BC至点E,使得CE=BH,连 接AC,BD交于点O,连接DE; B H C E (1)求证：四边形AHED为矩形； (2)已知菱形ABCD的周长20，菱形的面积为24，试求线段CH的长； 19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)设x1,X2是原方程的两个实数根.若k为正整数，求1x2的值. 20.(8分)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线BD上 的两点，且BE=DF,连接AE,AF,CE,CF D (1)求证：△ADE≌△CBF: (2)若AB=4V2,BE=2,直接写出四边形CEAF的周长. 21.(8分)“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平，据统计在伦敦 世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人 (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台.该公司规定：若购 买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元， 但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球 台的台数. 22.(9分)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,BE.过点E作 EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG D A F 备用图 (I)求证：BE=DE=EF: (2)连接CG,若AB=9,CG=3V2,求出DG的长. 23.(9分)已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有两个实数根x1,X2,若满足 X-x=1,则此类方程叫做“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： ()下列是“差根方程”的是；（填写序号) ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x+2ax=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次 项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”· 24.(10分)如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且DE‖AC、CE‖BD,连 接OE 图1 图2 图3 (1)求证：CD与OE互相垂直且平分； (2)如图2，若取AD的中点M,连接ME交CD于点N,求证：MN=NE: (3)如图3，过点E作射线分别交CD,BA的延长线于点F,G,连接DG,△乙的面积为2，求 △DFG的面积. 25.(10分)问题情境： 在边长为10的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP.过点P作BP的垂线，交射 线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线，两线交于点F. 特别研究： D D P (E 图1 图2 图3 (1)如图1，当P是对角线AC中点时，猜想四边形PEFB的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图2，当点P是对角线AC上任意一点时.试说明(1)中的结论是否仍然成立？并说明 理由； (3)如图3，当PC=BC时，点E落在DA的延长线上，请直接写出线段AE的长. 参考答案 一、选择题 1.A 解：把x=1代入方程ax-x+2=0,得a·1-1+2=0,即a+1=0, 解得a=-1. 2.D 解：A.平行四边形ABCD中，对角线相等时为矩形，不符合题意； B.平行四边形ABCD中，对角线互相垂直时为菱形，不符合题意； C、D.平行四边形ABCD中，邻边相等时为菱形，故选项C不符合题意，选项D符合题意. 3.A 解：一元二次方程x2+bx-1=0中，a=1,c=-1, .4=b2-4ac=b2-4×1×-1=b2+4, b2≥0， .b2+4>0, .方程有两个不相等的实数根. 4.A 解：，四边形ABCD是矩形， .∴.∠ABC=∠ADC=90, :O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OB=5 .∴.OA=OC=OB=5 :M是边CD的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴.OM‖AD'CD=2CM' .∴.∠OMC=∠ADC=90, .OM=3' ∴.CM=V0C2-0M2=V52-3=4 .∴.CD=2CM=8 5.C 解：x1是一元二次方程x2-2x-2026=0的实数根， .x-2x1-2026=0, .x=2x1+2026, “x-x1+x2=2x1+2026-X1+x2-=X1+x2+2026 X1,x2是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根， x1+X2=2, ∴x-x1+x2=2+2026=2028. 6.B 解：设对角线OB、AC交于点M, B M :四边形OABC是矩形， :.矩形对角线相等且互相平分，OB=AC=5?M是OBAC共同中点. :B在y轴正半轴，00,0：设B0,bb>0: 0B长度为b:得b=5? ∴.B0,5 设Cx,y,已知A2,1, 由中点坐标公式：AC中点横坐标X+2,纵坐标y+1, 2 2 0+00+5_ OB中点坐标 22 两点中点相同，纵坐标相等： y+1=5 221 两边同乘2：y+1=5, 解得：y=4. :.点C的纵坐标是4 7.A 解：设矩形田地的宽为X,则长为60-x,小正方形的边长为60-2x, 根据小正方形面积的两种求法可列方程为(60-2x2=60-4×864. 8.B 解：过点E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q, D M 正方形ABCD的边长为3， ∴.AB=BC=AD=CD=3,∠B=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°， ∴.在Rt△ABC中，AC=AB+BC=3V2, .AC=3AE, A5=皆AC=R吃， ∴.CE=AC-AE=22, .EP⊥BC,EQ⊥CD,∠BCD=90°， ∴.∠EPC=∠EQC=∠BCD=90°， .四边形EPCQ是矩形， .∵∠EPC=90°，∠BCA=45°， .∠BCA=∠PEC=45°， ∴.EP=CP, .矩形EPCQ是正方形， .EP=EQ,∠PEQ=90°，∠EPM=∠EQN=90°， ∴.∠PEM+∠MEQ=90°， .∠QEN+∠MEQ=90°， ∴.∠PEM=∠QEN, ∴.△PEM≌△QEN ASA, ∴.SA PEM=SAQEN, .S四边形EMCN=S△QEN+S四边形EQCM=S△PEM+Sg边形EQCM=SE方形EPCQ. 在Rt△EPC中，EP=CP,CE=2V2, 又CE2=EP2+CP2, …2V2}=2EP2, 解得EP=2(负值舍去)， .SE方形EPc0=EP2=4, .S四边形EMCN=SE方形EPcQ=4. 9.D 解：x2+m+3x+2m+2=0, .x+2x+m+1=0, ∴.x+2=0或x+m+1=0, 解得x1=-2,X2=-m-1, 关于x的方程x2+m+3x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，且-2<0，即-2不是非负数， ∴.0≤-m-1<1 解得-2<m≤-1. 10.C 解：当点P位于边CD上时，如图所示： B 菱形ABCD中，AB=8:CE=43, ∴.CD=8'CP=43' ∴.DP=CD-CP=8-4V3 当点P位于边AD上时，如图所示： PH 菱形ABCD中，∠B=60,AB=8 :4ACD是等边三角形， 过点C作CH⊥AD于点H, ∴.AH=HD=4 由勾股定理得CH=43, .CE=43 .点p与点H重合， ∴.DP=4 当点P位于边AB上时， .:PC=CE=4V3'BC=8'∠B=60°， .∴.∠BPC=90° ∴.∠BCP=30, .∴.∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°， 由勾股定理得DP=VPC2+CD=4V7. 综上，DP的长为8-43或4或4V7. 故选：C. 二、填空题 11.6x2-5x-6=0 解：，3x+22x-3 =3x·2x+3x-3+2·2x+2·-3 =6x2-9x+4x-6 =6x2-5x-6' :原方程化为一般形式为6X-5x-6=0 12.矩形 解：DE‖CA,DF‖BA, .四边形AEDF是平行四边形， 又.∠BAC=90°， ∴.四边形AEDF是矩形， 故答案为：矩形 13.x=2027 解：ax-1+bx-b+2=0, .ax-12+bx-1+2=0, 设m=x-1, 则方程ax-1P+bx-1+2=0可化为am2+bm+2=0 关于x的一元二次方程ax+bx+2=0(a≠0)有一个实数根为x=2026, .关于m的一元二次方程am+bm+2=0(a≠0)有一个实数根为m=2026, .2026=x-1, .x=2027, .一元二次方程ax-1+bx-b+2=0必有一个实数根为x=2027. 14.5 解：：菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ..AC=20A=65,OB=OD, ,菱形ABCD的面积为30， ACBD-0 ∴BD=25, .DH⊥AB ∴OH=号BD=6. 15.-5 解：a+b=10+2c,ab=2c2+50, ∴.a,b为方程的x-10+2cx+2c2+50=0的两实根， 4=-10+2cl-42c2+50=-4c-5≥0' ∴.c=5,a+b=20,ab=100, ∴.a20-a=100,即a2-20a+100=0,解得：a1=a2=10, ∴.a=b=10, ∴.a-b-c=10-10-5=-5. 16.1+V3 解：：四边形ABCD是矩形， .AB=CD,BC=AD=2,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， 点E,F分别是AD和BC的中点， ∴EF‖AB, ∴.∠AEF=∠ABF=∠BFE=90, ∴.四边形ABFE是矩形， AF-BF-1AD-L, .AG平分∠BAD, ∠BAG=∠DAG=∠BAD=45°， ∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=EG=1, 如图所示，过点G作GK⊥AB, E ∴.△AKG是等腰三角形， 四边形AEGK是矩形，是正方形，四边形BFGK是矩形， ..AE=EG=GK=AK=1,BK=FG. 折叠， ∴BG=BC=2, 在Rt△BGK中，BK=VBG2-GK2=22-12=3, ..AB=AK+KB=1+3, 故答案为：1+3. 三、解答题 17.(1)解：.4x2-8x+1=0, ∴x2-2x=- 4’ ∴.x2-2x+1=- 1+1, 4 即，x-子 3 x-1=±2， 2,书13 米=1+ (2)解：原方程整理，得，3x+10x+5=0, .a=3,b=10,c=5 .∴.△=102-4×3×5=40' “x=-10±/40--5±y10 2×3 3 :x=5+/0 ,=5-10 3 3 18.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， ..AD BC,AD=BC, AD‖HE, .BH=CE, .BH+CH=CE+CH. .'BC=HE, ∴.AD=HE 又.ADHE, ∴.四边形AHED为平行四边形， AH⊥BC, .∠AHC=90°， ,四边形AHED为矩形. (2)解：，四边形ABCD为菱形，周长为20， ..AB=BC=5, .菱形ABCD的面积为24， ∴.S菱形ABcD=BC·AH=24, ∴.5AH=24, ·AH=24 , AH⊥BC, ∠AHB=90°， 在Rt△ABH中，∠AHB=90°， m=8a8-AF-5-子 cH=Bc-8H=5名9 19.(1)解：关于x的一元二次方程x+2x+2k-3=0有两个不相等的实数根， .△=22-42k-3>0, 解得，k<2, ∴.k的取值范围为k<2; (2)解：X1,X2是原方程的两个实数根，k<2, k为正整数， .k=1, 方程为x2+2x-1=0, ∴.X1X2=-1 20.(1)证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠ADE=∠CBF=45°， ..BE=DF, ∴.BD-BE=BD-DF, ∴DE=BF, 在△ADE和△CBF中， AD=BC ∠ADE=∠CBF, DE=BF ∴.△ADE≌△CBF SAS (2)解：.'AB=AD=4V2,∠BAD=90°， ..BD=AB2+AD2=42+42=8' 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC=BD=8,D0=BO=4,OA=OC=4, 又.BE=DF=2, ∴.OB-BE=OD-DF, 即OE=OF=4-2=2, 故四边形CEAF为平行四边形. ,:∠DOC=90, :.四边形AECF是菱形， ∴.AE=VA02+E02=V42+22=25 ∴.4AE=8/5, 故四边形CEAF的周长为8V5. 21.(1)解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为X, 由题意得：3.2(1+x2=5, 解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意，舍去)， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为25%： (2)解：100×1600=160000（元）<240000元， ∴.购买的乒乒球台数超过100台. 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：1600-40×m-100≥1000， 10 解得m≤250， 又m1600-m-100×40=240000, 10 整理得：m2-500m+60000=0, 解得：m1=200,m2=300(不符合题意，舍去)， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台. 22.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD=45°， .AE=AE, .△ABE≌△ADE SAS, ∴BE=DE. 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,则∠EMB=∠EMC=∠END=∠ENC=90°， O B M F :四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90,∠ACB=∠ACD=克<BCD=45, :.四边形EMCN是矩形， .∴.∠MEN=90°， 即∠MEF+∠FEN=90°， .EF⊥DE ∴.∠FED=90°， 即∠FEN+∠NED=90°， ∴.∠MEF=∠NED' ,'EM⊥BC,EN⊥CD'∠ACB=∠ACD ∴.EM=EN’ .:∠EMF=∠END=90, ∴.△EMF≌△END(ASA)' .'EF=DE' ∴.BE=DE=EF. (2)解：连接EG, D M F DE=EF, 矩形DEFG是正方形， .DE=DG,∠EDG=90°」 ,四边形ABCD是正方形， .∴.AD=DC,∠ADC=90°， ,'∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-∠EDC, ∠CDG=∠EDG-∠EDC=90°-∠EDC' .∴.∠ADE=∠CDG' ∴.△ADE≌△CDG(SAS)' .∴.AE=CG=3V2'∠DCG=∠DAE=45°， ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°· ,在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=9 ∴.AC=VAB+BC2=9V2' .CE=AC-AE=9/2-3/2=62 ∴.在Rt△CEG中，EG=CE2+CG-V72+18=3V10. ,'在正方形DEFG中，∠EDG=90°，ED=DG, .∴DE2+DG=EG2=90, .∴.DE=DG=3/5 23.(1)解：①x2-x=0 解得：x1=1或x2=0, x1-x2=1-0=1 ①是“差根方程”； ②x2-4x-5=0 解得：x1=5,x2=-1, :x1-x2=5--1=6≠1' :②不是“差根方程”： (2)解：方程x+2a=0 因式分解得：xx+2a=0, 解得：X1=0,X2=-2a, 方程x+2ax=0是“差根方程”， ∴.0--2a=1' ∴.2a=1' 2a=1或2a=-1 架得：0或知= (3)解：设AB=x1、AC=X2, :△ABC是直角三角形，斜边BC的长为7， ..AB2+AC2=BC2, .x+x2=7 :XX是“差根方程”的两个实数根， X1-x2=1 ∴.x1-x2=1’ .x7+x3-2X1x2=1 .7-2X1X2=1 .X1X2=3 ∴.x1+x2=x1+x3+2x1X2=7+2×3=13 “X飞，是三角形的边长，均为正数， ∴.1+x2=13, …方程二次项系数为1， :.所求差根方程为x-/13x+3=0 24.(1)证明：：DE‖AC、CE‖BD, ∴四边形OCED是平行四边形， ∵矩形ABCD, 0C=号AC=2BD=0D, ∴.平行四边形OCED是菱形， ,CD、OE是菱形OCED的两条对角线， CD与OE互相垂直且平分；， (2)证明：设CD与OE交于点P, M C 可知PEOE,OE1CD,OP=EP ,矩形ABCD, ∴AD⊥CD, ∴.AD‖PE, ∴.∠DMN=∠PEN, M是AD中点， ..MD=-AD, 21 ,P是CD中点，O是CA中点， OP-AD, 即E-专D ..MD=EP, .∠MDN=∠EPN=90°， ∴.△MDN≌△EPN ASA, .MN=NE: (3)解：如图，设DF=m, 矩形ABCD, ..AG DF, ∴.直线AG到直线CD的距离等于矩形的水平边长AD, :OE⊥CD,EP=AD, 2 ∴.S 兰=号m.49=mAD=2} 2 4 即m·AD=8, 5a元号mAD=号 ×8=4. 25.(1)正方形 ,过点P作BP的垂线，交射线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线 ∴.四边形PEFB是矩形 ,四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC的中点处 .'.AP=BP=PC=-AC ∴.四边形PEFB是正方形 (2)仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作MN⊥AD交AD于点M,交BC于点N,则∠AMN=90°， ,'过点P作BP的垂线，交射线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线 .四边形PEFB是矩形 ∴.∠EPB=90° ∴.∠MPE+∠BPN=90o ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAB=∠ABC=90°， ∴.四边形ABNM是矩形， ∴.BN=AM,∠PME=∠BNP=90°， ∴.∠BPN+∠PBN=90°， .∠MPE=∠PBN, .∠DAC=∠ACD=45°， .MN‖CD .∠APM=∠ACD=45°， ∴.∠APM=∠DAC=45°， .PM=AM, ∴PM=BN ∴.△PME≌△BNPASA ∴.PE=BP ∴.四边形PEFB是正方形. (3)解：如图所示，过点P作MN⊥AD交AD于点M,交BC于点N, D M 由(2)知，△PME≌△BNP, ∴.∠BPN=∠PEM, ,AB‖MN .∠BPN=∠ABP, .∠AEP=∠ABP, .PC=BC. ∴.∠CBP=∠BPC, .∠BPE=90°， ∴∠APE+∠BPC=90°， .∠ABP+∠CBP=90°， ∴.∠APE=∠ABP, ∴.∠AEP=∠APE. ∴.AE=AP ,正方形边长为AB=BC=10, ∴.对角线AC=AB2+BC=10V2, .PC=BC=10, :.AP=AC-PC=10只2-10 .AE=10V2-10