第03讲 等比数列及其前n项和（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以题型为纲系统覆盖等比数列核心考点，融合基础运算、性质应用与创新建模，强化逻辑推理与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|31题|首项公比运算、定义法判定、性质应用、分类讨论|从基本量到性质拓展，构建"定义-公式-性质-应用"逻辑链| |重难创新|8题|新定义迁移、递推构造、数学建模、因式分解|以创新载体融合等差等比综合，提升信息转化能力| |真题实战|5题|基本量运算、分段和性质、参数最值、综合交汇|对接高考高频考点，强化多模块融合的运算求解素养|

第03讲 等比数列及其前n项和 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 等比数列基本量的计算 2 题型02 等比数列的判定与证明 4 题型03 等比数列项的性质 7 题型04 等比数列中的单调性与最值问题 9 题型05 等比数列前n项和的性质 11 题型06 等比数列的简单应用 14 题型07 等差数列与等比数列的综合 17 重难·创新演练 19 真题·实战演练 25 模拟·基础演练 考查重点：等比数列首项公比基础量运算、数列判定证明、下标与前 n 项和性质、单调性最值、实际应用题，还包含等差等比综合题型，完整覆盖等比数列全部核心考点，侧重公式运算、符号辨析与分类讨论思想。 题型01 等比数列基本量的计算 1．已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 2．记为等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】记的公比为，由知. 而，显然不成立，故， 即.由，得，即. 联立，解得，故. 3．已知等比数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【详解】设等比数列首项为，公比为，则， 已知，则，则， ， 则． 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，， 由得，即， 解得或（舍）， 所以． 5．已知正项等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 方法一： ①当时，，显然不合题意； ②时，，得：， 则，又，则； 由题：， 方法二： ，又，， 由题：， （2）， 故： ， 两式相减得： . 题型02 等比数列的判定与证明 6．（多选）已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．，，成等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】ABC 【详解】A，因为，所以，，， 又，所以，，成等差数列，故A正确； B，由，得， 又，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确； C，结合选项B，有，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，故C正确； D，结合选项B，有， 又，， 所以，则， 所以不是等比数列，故D错误． 7．已知数列满足，． (1)证明为等比数列，并求； (2)记的前n项和为，求满足的n的最小值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）当时，，即，所以， 因为，所以，即， 所以数列为首项，公比的等比数列， 所以数列的通项公式， 所以数列得通项公式. （2）数列的前n项和， ， 因为，所以，故数列为递增数列， 因为，所以当时，， 且当时，， 所以满足的最小值为10. 8．在数列中， ， ， ， ． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求． 【答案】(1)因为 ， 所以数列是以 为首项，为公比的等比数列， 所以 ，即 ； (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由（1）知， 所以. 9．数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知 ， 移项可得 ， 又 ，，则 ， 因此 为常数， 故 是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得 ， 两边同除以得， 因此是首项为，公差为的等差数列， 故，即知. （3）由（2）知， 所以 ，① 两边同乘3得 ，② ①-②得： ， ， 所以 ， 解得. 题型03 等比数列项的性质 10．在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 在正项等比数列中，，所以. 所以. 11．记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ）． A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 由，得，则，因此，即， 由，得，即， 而，则，于是，又， 所以. 12．设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_______ 【答案】/ 【详解】把按下标公差3分为三组，每组项， ， 则， 已知数列是由正数组成的等比数列，公比，则, ， ， ，数列是由正数组成的等比数列，故， ． 13．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 【答案】/ 【详解】方法一：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，， . 方法二：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 取，则，又，； . 题型04 等比数列中的单调性与最值问题 14．已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 15．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 16．已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】设的公比为，由等比数列的性质可知， 结合，可知，是方程的两根， 解得，或，， 根据题意得的前项积存在最大值， 则一定是从大于1递减到小于1，于是，， 则，即，所以， 令，化简得，解得， 因此当时，，当时，，故最大，即. 17．已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 题型05 等比数列前n项和的性质 18．记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 19．已知等比数列的前项和为，，，______． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为（，否则与已知矛盾）， 仍成等比数列，公比为， 设，，， 因为成等比数列，所以， 已知，代入得， 即，代入，解得或， 因为，所以同号， 因为，所以，即， 所以的公比为， 所以就是， 所以，即． 20．已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，根据前项和定义可知， ， ，则有， 化简得，D正确； A选项等价于，通过前述分析已知， 因此只有或，A选项才成立，A错误； B选项等价于，已知， 可得， 因此只有，B选项才成立，B错误； 对C选项左边变形 ， 因此只有或，C选项才成立，C错误. 21．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 22．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 【答案】300 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 题型06 等比数列的简单应用 23．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 【答案】 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 24．2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【详解】由题意知，设第轮训练的模型参数的数量为，则，当时，， 当时，令，则 ，即 ， 设 ，则1024， 当时，， 当时， ， 当时，， 所以 ，又 ， 所以满足 的最小正整数是14，即当第轮训练的模型参数的数量大于时，的最小值为14． 25．集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】第一次操作去掉的区间长度为， 第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为， 第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为， ， 第次操作去掉个长度为的区间，长度和为， 于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为， 由题意可知，，即，解得，又为整数， 所以需要操作的次数n的最小值为4. 故选：B 26．（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 题型07 等差数列与等比数列的综合 27．等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______ 【答案】 【详解】因为数列是公差不为零的等差数列, 所以, 又因为是等比数列的连续三项, 所以 解得:（舍去）或 所以 因为等比数列的首项为 所以 . 故答案为: 28．已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，则____. 【答案】8 【详解】设后3项的公差为d，前3项的公比为q，由 可得， 所以，即， 解得或. 所以或. 当时，， 当时，. 所以. 29．已知为等差数列，为等比数列，，，，则________，方程的解的个数为________个. 【答案】 【详解】设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得或（舍去），则， 可得，， 令，则，化简得， 令，且，， 而， 当时，，此时单调递减，则无其他整数解， 可得方程的解的个数为个. 30．在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 【答案】， 【详解】记由个数构成递增的等比数列为， 则，，则，即 所以， 即 故答案为：，. 31．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 【答案】(1)， (2)证明：由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得：，前两式化简后有， 由上述式子可得：， 化简得：，则或， 若，可得，数列为常数列，故舍去； 若，带入得，又由，解得，，， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）略 重难·创新演练 设题创新:以新定义、数列积、递推构造、生活实物建模为创新载体，融合等差等比双数列综合、数论余数运算、行列递推规律；考查信息迁移、数学建模、分类讨论、因式分解，强化逻辑推理与运算求解素养。 1．（ 2026·河南·二模）已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】详解】设等比数列的公比为. 等比数列是单调递增，. 等比数列的前9项积为1，，得. ，，即，解得或. 等比数列是单调递增，； ，得. 数列是以为首项，1为公差的等差数列，则. 当时，即，解得或. ，，则使的最小正整数为10. 2．【新角度】（ 2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 3．【新考法】（2025·26高二下·广东深圳·期末）已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】详解】由等比数列公比， 则， 解得，所以， 又， 又， 则不含有因子的只有最后一项， 所以除以7的余数为1，则除以7的余数为2，即． 4．【新定义】已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 5．（ 2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 【答案】 【分析】详解】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为， （其中，对应最矮，对应最高）， 由题知是公比的等比数列，因此， 因为最高玉琮孔洞半径，高，则， 代入，得，即最矮孔洞体积为， 又， 由圆柱体积公式得，解得， 由题知是等差数列，且， 所以数列前项和，故个玉琮高度和为. 6．【新题型】（2025·26高二下·河南南阳·阶段检测）记为等比数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)判断是否成等差数列，并给出证明. 【答案】(1)， (2)成等差数列，理由如下： 由 (1) 知 ， ， 而 ， 因为 ，则 ， 所以， 因此 成等差数列. 【详解】（1）已知数列为等比数列，所以， 因为，所以，解得或， 因为，所以，，所以，. （2）略 7．【新考法】等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由等差数列和等比数列满足，，，且， 设的公差为，的公比为，可得 将代入，解得，由，则取， 故，． （2）由，，令， 由于，， 故，即，，使，故令， 则，由于， ， ， 故可以看出当时，成立， 故 8．【新考法】（2025·26高三上·河南平顶山·期末）黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式. 【答案】(1)证明：由第行得到第行时，原有各数及顺序保持不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和，因为每一行首尾均为1，所以第行所有相邻两数之和的总和为， 于是，即， 又，所以，故数列是首项为1，公比为3的等比数列， 从而，即. (2) 【详解】（1）略 （2）当时，第1行为1，1，所以. 当时，第行偶数位置上的数正好是由第行相邻两数相加插入得到的数，所以. 由，得. 因此的通项公式为 真题·实战演练 高频考点：等比数列基本量运算、前 n 项和分段性质、等差等比综合交汇、数列积与下标性质、参数最值与存在性；近三年选择填空为主，兼顾解答小问，侧重基础运算与多模块融合。 1．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 2．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 3．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 5．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列及其前n项和 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 等比数列基本量的计算 2 题型02 等比数列的判定与证明 4 题型03 等比数列项的性质 7 题型04 等比数列中的单调性与最值问题 9 题型05 等比数列前n项和的性质 11 题型06 等比数列的简单应用 14 题型07 等差数列与等比数列的综合 17 重难·创新演练 19 真题·实战演练 25 模拟·基础演练 考查重点：等比数列首项公比基础量运算、数列判定证明、下标与前 n 项和性质、单调性最值、实际应用题，还包含等差等比综合题型，完整覆盖等比数列全部核心考点，侧重公式运算、符号辨析与分类讨论思想。 题型01 等比数列基本量的计算 1．已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．记为等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．3 B． C．6 D． 3．已知等比数列的前项和为，且，则______． 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 5．已知正项等比数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项； 题型02 等比数列的判定与证明 6．（多选）已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．，，成等差数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列 7．已知数列满足，． (1)证明为等比数列，并求； 8．在数列中， ， ， ， ． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； 9．数列满足，，且． (1)证明是等比数列； (2)求数列的通项公式； 题型03 等比数列项的性质 10．在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（    ） A． B． C． D． 11．记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ）． A．3 B． C．6 D． 12．设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_______ 13．已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 题型04 等比数列中的单调性与最值问题 14．已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 16．已知正项等比数列满足，，记为的前项积，若对任意的，都有，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 17．已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 题型05 等比数列前n项和的性质 18．记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 19．已知等比数列的前项和为，，，______． 20．已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 21．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 题型06 等比数列的简单应用 23．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是______. 24．2025年11月9日，首届中国（国际）机器人辩论大赛决赛在北京举办．经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式．最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军．某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列，且首项，公比．若第轮训练的模型参数的数量大于，则的最小值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 25．集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，其操作过程如下：第一次操作：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，去掉的长度记作；第二次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，去掉的长度和记作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段…，第n次操作去掉的长度和记为.已知是等比数列，若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 题型07 等差数列与等比数列的综合 27．等差数列中，公差，而且是等比数列的连续项，则时_______ 28．已知数列{an}共有5项且都是正数.该数列的前3项成等比数列，后3项成等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，则____. 29．已知为等差数列，为等比数列，，，，则________，方程的解的个数为________个. 30．在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 31．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 重难·创新演练 设题创新:以新定义、数列积、递推构造、生活实物建模为创新载体，融合等差等比双数列综合、数论余数运算、行列递推规律；考查信息迁移、数学建模、分类讨论、因式分解，强化逻辑推理与运算求解素养。 1．（ 2026·河南·二模）已知单调递增等比数列的前9项积为1，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为（   ） A．5 B．9 C．10 D．12 2．【新角度】（ 2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 3．【新考法】（2025·26高二下·广东深圳·期末）已知为等比数列的前项和，且公比，．若将除以所得余数记为，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．【新定义】已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 5．（ 2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 6．【新题型】（2025·26高二下·河南南阳·阶段检测）记为等比数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)判断是否成等差数列，并给出证明. 7．【新考法】等差数列和等比数列满足，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知：①；②，使．设为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求的值． 8．【新考法】（2025·26高三上·河南平顶山·期末）黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式. 真题·实战演练 高频考点：等比数列基本量运算、前 n 项和分段性质、等差等比综合交汇、数列积与下标性质、参数最值与存在性；近三年选择填空为主，兼顾解答小问，侧重基础运算与多模块融合。 1．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 2．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 4．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 5．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $