第18讲 等比数列及其前n项和（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖概念、通项公式、前n项和、性质及上海特色无穷等比数列各项和，按“知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、分层训练帮助学生系统突破基本量运算、判定证明等高频考法。 讲义突出上海高考命题特色，设置基础-能力-培优三级目标，如用定义法规范证明步骤培养数学思维，通过无穷等比数列极限模型应用训练数学语言表达。真题与课本典例结合，分层练习精准对接考情，助力教师把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第18讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列有关的概念 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 知识点3 等比数列的常用性质 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 题型破译 (含超链接） 题型1 基本量运算（选填送分核心题） 题型2 等比数列判定与证明（解答题必考） 题型3 数列性质简化运算（中档提速题） 题型4 无穷等比数列各项和（上海特色压轴基础题） 题型5 等差等比综合题（解答高频第一问） 题型6 等比数列不等式恒成立（上海压轴高频） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列基本量计算 秋考第2题 / 秋考第12题 等差与等比综合 春考第13题 春考第7题 / 考情分析 1.填空题/选择题（高频基础/中档题）：单题分值4–5分，多数为基础送分题，少数年份作为填空小压轴，侧重性质应用、参数辨析、无穷等比数列极限考查。 2.解答题（主流考查形式）：常与等差数列综合考查，多作为数列解答题第1、2小问铺垫核心结论；在高考21题数列压轴中，高频嵌入等比放缩、无穷等比求和、新定义数列推理等拔高考点。 3.上海专属特色考点：无穷等比数列各项和（数列极限）为上海高考独有高频考点，是一轮复习核心重点，区别于全国卷，必考且易失分。 2027上海高考命题趋势预判 1.基础基本量运算题型持续稳定，作为试卷固定送分题型，难度低、容错率小，重点考查计算规范性。 2.无穷等比数列极限依旧是上海高考核心特色热点，必考形式包含极限求解、参数范围判定、实际应用建模。 3.强化逻辑辨析考查，重点针对公比正负、公比取值范围、数列单调性、性质适用条件等陷阱点出题。 4.解答题命题模式固定：数列判定→求通项→求前n项和→极限求解/不等式证明综合设问。 5.易错陷阱常态化考查：前n项和公式不分公比、等比中项正负取舍、忽略数列项与公比不为0的隐含条件。 复习目标 基础目标（全体学生必达成，保底得分） 1.精准理解等比数列定义：，掌握定义法证明等比数列的规范步骤。 2.熟练记忆并灵活运用通项公式及推广式。 3.掌握等比数列前n项和分段公式，养成分类讨论的解题习惯： 4.掌握上海特色考点：无穷等比数列各项和公式，明确公式适用条件。 5.熟练解决基本量方程组问题，会利用下标性质简化运算，提升解题速度。 能力目标（中档学生冲刺110+） 1.灵活运用等比数列所有核心性质，规避性质适用陷阱，快速简化复杂运算。 2.熟练掌握aₙ与Sₙ的相互转化，规范完成等比数列的证明与通项求解。 3.独立解决等差、等比数列交汇综合题型，掌握常见设元、消元技巧。 4.能判断无穷等比数列极限是否存在，根据极限条件求解公比、首项的参数范围。 培优目标（冲刺120+/130+高分） 1.掌握一阶线性递推的构造技巧，快速构造新等比数列求解通项。 2.精准分析等比数列单调性、最值问题，熟练处理含参数的分类讨论问题。 3.掌握等比数列放缩技巧，可独立完成数列不等式证明类压轴小题。 4.熟练应对抽象等比数列、新定义数列的推理题，掌握反例辨析命题真假的解题方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 自主检测 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 自主检测 3．（25-26高三上·上海·期中）已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则______. 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 知识点3 等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 自主检测 5．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 题●型●破●译 题型1 基本量运算（选填送分核心题） 例1-1（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比______. 例1-2（25-26高三上·上海松江·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则______． 例1-3（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知等比数列满足，设的前项和为，则______. 例1-4（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 方法技巧 万能解题模板： 1.统一以a₁、q为核心未知数，搭建方程组求解； 2.优先使用下标和性质、中项性质消元，规避复杂高次方程； 3.求解出q、G等参数时，必须验证正负根的合理性，非正项数列不可直接舍去负根。 提速技巧：已知任意两项aₘ、aₙ，直接用推广式求公比，无需先求首项。 【变式训练1-1】（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【变式训练1-2】（25-26高三下·上海·期中）已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 【变式训练1-3】（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海·开学考试）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则______． 题型2 等比数列判定与证明（解答题必考） 例2-1（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 例2-2（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 方法技巧 上海高考阅卷优先认可两种规范方法，严禁枚举有限项证明： 1.定义法（首选）：证明（常数），同时标注； 2.中项法（次选）：证明，且三项均不为0。 关键注意点：由Sₙ解析式求通项再证明数列时，必须单独验证n=1时首项符合通项公式。 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【变式训练2-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 题型3 数列性质简化运算（中档提速题） 例3-1（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 例3-2（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 例3-3（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 方法技巧 遇到项的乘积、下标和相等、片段和相关问题，优先用性质，不硬算基本量。 【变式训练3-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （    ） A．①②均为真命题. B．①是真命题，②是假命题： C．①是假命题，②是真命题. D．①②均为假命题. 【变式训练3-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）在等比数列中，，若集合，则集合A中元素的个数为（   ） A．2012 B．2013 C．4022 D．4023 【变式训练3-3】（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 【变式训练3-4】（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 题型4 无穷等比数列各项和（上海特色压轴基础题） 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知数列是以3为首项、为公比的等比数列，则其无穷项和为________． 例4-2（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 方法技巧 核心公式： 绝对前提：，无此条件极限不存在！ 三大考法：直接求解无穷和、根据极限存在求公比参数范围、几何分割/实际应用建模求和。 【变式训练4-1】（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【变式训练4-2】（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【变式训练4-3】（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 题型5 等差等比综合题（解答高频第一问） 例5-1（2026·上海·一模）若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 例5-2（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 例5-3（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 方法技巧 常见模型：三项既成等差又成等比、数列部分项等差/部分项等比、双数列交汇求值。 最优设元技巧：等比三项常设，减少未知数个数，简化计算；列式后优先因式分解，取舍不合理根。 【变式训练5-1】（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式训练5-2】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 题型6 等比数列不等式恒成立（上海压轴高频） 例6-1（24-25高三下·上海·开学考试）已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例6-2已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 方法技巧 核心解题总思路：数列恒成立问题统一转化为「数列最值问题」，即： 任意，恒成立； 任意，恒成立。 万能解题模板（上海高考规范步骤） 1.第一步：化简解析式：利用等比数列通项、求和公式、性质化简不等式，分离参数（优先分离参数，规避分类讨论），得到或恒成立形式。 2.第二步：判断数列单调性：作差法或作商法判断增减，结合等比数列公比正负、取值范围分析摆动、递增、递减特性。 3.第三步：锁定最值：正项等比数列单调则最值在首项/无穷趋近值；摆动等比数列需对比奇偶项最值；含参等比数列需对公比分类讨论。 4.第四步：求解参数范围：根据最值建立不等式，结合的整数特性取舍端点，规范验证边界。 高频细分考法&技巧 考法1：Sₙ恒成立问题：等比数列前n项和不等式恒成立，优先利用无穷等比和放缩：正项、时，，可直接解决求和上界恒成立问题。 考法2：通项不等式恒成立：重点规避摆动陷阱，摆动数列无整体单调性，需分开讨论奇数项、偶数项的最值，不可直接用单调结论。 考法3：含参恒成立求整数解：上海特色小题考法，求出参数范围后，结合正整数n的取值，筛选符合条件的整数最值。 易错分析 1.默认等比数列单调，忽略摆动数列无全局最值； 2.恒成立与存在性混淆：恒成立看整体最值，存在性看临界最值； 3.忽略，误用连续函数最值，未验证首项、末项整数端点。 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【变式训练6-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 【变式训练6-3】（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【变式训练6-4】已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 2．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 5．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 6．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 2．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（   ）． A． B． C． D． 3．已知数列的首项． (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 4．在等比数列中， (1)已知，公比，求前10项和； (2)已知，，，求前项和． 5．（1）若数列，都是等比数列，则数列，是等比数列吗？ （2）已知数列是等比数列，且，试比较与的关系． 6．已知等比数列的前项和为． (1)求证：当公比时，，，成等比数列； (2)求证：，，成等比数列； (3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 7．斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： (1)若等比数列满足条件，求的公比q． (2)若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． (3)设，试写出斐波那契数列的通项公式． 8．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 2．已知等比数列满足，则______. 3．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等差数列中，首项，公差，且成等比数列，则公差___________. 5．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 7．（2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 8．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为______. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 10．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 11．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 12.（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 重难·创新演练 1．（25-26高三上·上海杨浦·期末）阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于、两点，要求弓形部分面积.先构造直线，且与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级、；再用同样的方法在切点、两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明可知级三角形的面积都是级三角形面积的，则这无穷多个三角形的面积之和逼近弓形面积，所以求出这无穷多个三角形的面积之和的极限值就可以得出弓形面积.若已知抛物线：，直线：，则抛物线与直线围成的弓形面积为（   ）.    A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海青浦·阶段检测）已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（    ） A．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列 B．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列 C．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列 D．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列 3．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中），则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质”． A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，，现有如下的两个判断： ① 对任意的正整数及，数据的第百分位数一定不小于数据的第百分位数； ② 对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差. 其中正确的结论是（     ）. A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 5．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 6．（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 7．（2026·上海·一模）对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（ ） A．2026!!的个位数字为0 B．2025!!的个位数字为5 C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 8．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 9．（24-25高三下·上海·开学考试）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题. ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 则上述命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）公差为的等差数列，，如果、、成等比数列，求数列的通项______. 11．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 13．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 14．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 15．（2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列有关的概念 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 知识点3 等比数列的常用性质 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 题型破译 (含超链接） 题型1 基本量运算（选填送分核心题） 题型2 等比数列判定与证明（解答题必考） 题型3 数列性质简化运算（中档提速题） 题型4 无穷等比数列各项和（上海特色压轴基础题） 题型5 等差等比综合题（解答高频第一问） 题型6 等比数列不等式恒成立（上海压轴高频） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列基本量计算 秋考第2题 / 秋考第12题 等差与等比综合 春考第13题 春考第7题 / 考情分析 1.填空题/选择题（高频基础/中档题）：单题分值4–5分，多数为基础送分题，少数年份作为填空小压轴，侧重性质应用、参数辨析、无穷等比数列极限考查。 2.解答题（主流考查形式）：常与等差数列综合考查，多作为数列解答题第1、2小问铺垫核心结论；在高考21题数列压轴中，高频嵌入等比放缩、无穷等比求和、新定义数列推理等拔高考点。 3.上海专属特色考点：无穷等比数列各项和（数列极限）为上海高考独有高频考点，是一轮复习核心重点，区别于全国卷，必考且易失分。 2027上海高考命题趋势预判 1.基础基本量运算题型持续稳定，作为试卷固定送分题型，难度低、容错率小，重点考查计算规范性。 2.无穷等比数列极限依旧是上海高考核心特色热点，必考形式包含极限求解、参数范围判定、实际应用建模。 3.强化逻辑辨析考查，重点针对公比正负、公比取值范围、数列单调性、性质适用条件等陷阱点出题。 4.解答题命题模式固定：数列判定→求通项→求前n项和→极限求解/不等式证明综合设问。 5.易错陷阱常态化考查：前n项和公式不分公比、等比中项正负取舍、忽略数列项与公比不为0的隐含条件。 复习目标 基础目标（全体学生必达成，保底得分） 1.精准理解等比数列定义：，掌握定义法证明等比数列的规范步骤。 2.熟练记忆并灵活运用通项公式及推广式。 3.掌握等比数列前n项和分段公式，养成分类讨论的解题习惯： 4.掌握上海特色考点：无穷等比数列各项和公式，明确公式适用条件。 5.熟练解决基本量方程组问题，会利用下标性质简化运算，提升解题速度。 能力目标（中档学生冲刺110+） 1.灵活运用等比数列所有核心性质，规避性质适用陷阱，快速简化复杂运算。 2.熟练掌握aₙ与Sₙ的相互转化，规范完成等比数列的证明与通项求解。 3.独立解决等差、等比数列交汇综合题型，掌握常见设元、消元技巧。 4.能判断无穷等比数列极限是否存在，根据极限条件求解公比、首项的参数范围。 培优目标（冲刺120+/130+高分） 1.掌握一阶线性递推的构造技巧，快速构造新等比数列求解通项。 2.精准分析等比数列单调性、最值问题，熟练处理含参数的分类讨论问题。 3.掌握等比数列放缩技巧，可独立完成数列不等式证明类压轴小题。 4.熟练应对抽象等比数列、新定义数列的推理题，掌握反例辨析命题真假的解题方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列有关的概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2=ab. 自主检测 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 2．（25-26高三上·上海·开学考试）若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 知识点2 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1qn-1. (2)等比数列通项公式的推广：an=amqn-m. (3)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==. 自主检测 3．（25-26高三上·上海·期中）已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则______. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由，且，，成等比数列，知，化简得， 所以或（舍去），则. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 知识点3 等比数列的常用性质 (1)若m+n=p+q，则aman=apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w=m+n，则aman=，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*). (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0). (4)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. 自主检测 5．（24-25高三上·上海·期中）已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若是严格递减数列，显然能推出， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”必要条件； 若对任意的正整数都成立， 则中不可能同时含正项和负项，故， 所以，，即，， 或，，即，. 当，时，有，即，是严格递减数列； 当，时，有，即，是严格递减数列， 所以“对于任意的正整数，都有”是“是严格递减数列”充分条件， 综上所述，“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的充要条件. 故选：C. 知识点4 等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的 前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列(公比q=-1且n为偶数除外)，其公比为qn. 题●型●破●译 题型1 基本量运算（选填送分核心题） 例1-1（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比______. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 故答案为： 例1-2（25-26高三上·上海松江·期中）已知等比数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故 故答案为： . 例1-3（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知等比数列满足，设的前项和为，则______. 【答案】 【详解】设等比数列的首项为，公比为（），则，. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. . 故答案为：. 例1-4（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 【答案】3 【详解】由， 当时，，不合题意. 当时，， 对比系数可得， 故答案为：3. 方法技巧 万能解题模板： 1.统一以a₁、q为核心未知数，搭建方程组求解； 2.优先使用下标和性质、中项性质消元，规避复杂高次方程； 3.求解出q、G等参数时，必须验证正负根的合理性，非正项数列不可直接舍去负根。 提速技巧：已知任意两项aₘ、aₙ，直接用推广式求公比，无需先求首项。 【变式训练1-1】（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】 【详解】因为，，则， 且，所以. 【变式训练1-2】（25-26高三下·上海·期中）已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 【答案】 【详解】已知数列为等比数列，设首项是，公比为，则， ，解得， ． 【变式训练1-3】（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】9 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 【变式训练1-4】（25-26高三上·上海·开学考试）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则______． 【答案】2 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得，可得． 方法二：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则；故. 故答案为：2 题型2 等比数列判定与证明（解答题必考） 例2-1（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 依题意得：， 化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 由，可得数列是等比数列， 且等比数列的首项为，公比为， 则. 例2-2（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【答案】(1)证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； （2）由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 方法技巧 上海高考阅卷优先认可两种规范方法，严禁枚举有限项证明： 1.定义法（首选）：证明（常数），同时标注； 2.中项法（次选）：证明，且三项均不为0。 关键注意点：由Sₙ解析式求通项再证明数列时，必须单独验证n=1时首项符合通项公式。 【变式训练2-1】（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，， 可得，，； （2）由，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 即； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， 在数列中假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列， 可得，即， 由，可得， 则， 则，为方程的两根，可得， 这与、、互异矛盾， 则在数列中不存在不同的三项、、成等比数列. 【变式训练2-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线和，它们的图像分别为曲线和． (1)求函数和的最大值； (2)证明：曲线和有唯一交点； (3)设直线与两条直线、共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，求证：，，成等比数列． 【详解】（1）对求导，， 令，即，所以1，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 对求导，， 令，即，解得， 当时，，，单调递增；当时，，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 因此，的最大值为，的最大值为． （2）， 设，则， 令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即，令，则， 所以，当，，单调递减， 当，，单调递增，所以，即， 所以， 所以， 所以在为减函数， 又，，即， 所以，由零点存在定理知，在存在唯一的零点， 即方程有唯一解，所以，曲线和有唯一交点． （3）由（1）知，， 由（2）知，要使直线与两条曲线、共有三个不同交点， 则直线必过曲线和的交点，且， 所以，故有， 因为，且， 由（1）知在上递增，所以， 同理，且， 由（1）知在上递减， 所以，即， 所以，即，，成等比数列． 题型3 数列性质简化运算（中档提速题） 例3-1（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由题意得解得或； 当时，，不满足，不符合题意； 所以符合条件的数列的个数是， 故选：C. 例3-2（24-25高三上·上海闵行·期中）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故选：C 例3-3（2026·上海闵行·模拟预测）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 方法技巧 遇到项的乘积、下标和相等、片段和相关问题，优先用性质，不硬算基本量。 【变式训练3-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （    ） A．①②均为真命题. B．①是真命题，②是假命题： C．①是假命题，②是真命题. D．①②均为假命题. 【答案】C 【详解】设已知正项等比数列的公比为， 对于①：当时，等比数列各项均相等，恒成立，但是不一定成立，故①错误； 对于②：由题意得，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【变式训练3-2】（24-25高三下·上海·阶段检测）在等比数列中，，若集合，则集合A中元素的个数为（   ） A．2012 B．2013 C．4022 D．4023 【答案】D 【详解】等比数列的通项公式为： 已知 ，所以： 因此，公比 为：. ，,此时 单调递增，且 ,. 记， 当时，；当时，；当时，. 因此：. 所以， 在以前单调递减，在以后单调递增，在时相等，取得最小值. 即 对于和，有，从而和的和为0. 这种对称性使得前2011项的和与从2013到4023项的和相互抵消， 即. 时，，满足条件；时，和变为正数，不满足条件. 因此，集合中元素的个数为4023， 故选：D. 【变式训练3-3】（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 【答案】A 【详解】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，， 又， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故命题①是假命题； 对于命题②，因为， 因为，所以，所以， 又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有， 又， 所以，故命题②是真命题， 综上，①是假命题，②是真命题. 【变式训练3-4】（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 题型4 无穷等比数列各项和（上海特色压轴基础题） 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知数列是以3为首项、为公比的等比数列，则其无穷项和为________． 【答案】6 【详解】由题意，数列的前项和为， 当时，，即， 则数列的无穷项的和为6. 例4-2（2026·上海·模拟预测）已知数列满足，若，则__________． 【答案】 【详解】，， 所以是以3为首项，为公比的等比数列， 所以. 方法技巧 核心公式： 绝对前提：，无此条件极限不存在！ 三大考法：直接求解无穷和、根据极限存在求公比参数范围、几何分割/实际应用建模求和。 【变式训练4-1】（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 【变式训练4-2】（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. 【变式训练4-3】（2026·上海·模拟预测）如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 题型5 等差等比综合题（解答高频第一问） 例5-1（2026·上海·一模）若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 【答案】或 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由，可得，即可得出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则， 因为，所以. 所以或. 例5-2（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 【答案】D 【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得， 且存在正整数使得，则符合题意； 当时，存在正整数使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. 例5-3（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 方法技巧 常见模型：三项既成等差又成等比、数列部分项等差/部分项等比、双数列交汇求值。 最优设元技巧：等比三项常设，减少未知数个数，简化计算；列式后优先因式分解，取舍不合理根。 【变式训练5-1】（2026·上海浦东新·三模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. 【变式训练5-2】（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 【详解】（1）由， 当时，， 则，即，而， 所以. （2）由，则，① 当时，，② ①②，得， 即， 即，所以数列是以1为公差的等差数列. （3）由（2）知，等差数列的公差， 因为，，成等比数列， 所以，则， 即，解得， 所以，函数开口向上，对称轴为, 而，所以或12时，取得最小值. 题型6 等比数列不等式恒成立（上海压轴高频） 例6-1（24-25高三下·上海·开学考试）已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，若，则, 所以. 当时，,, 设，, 在区间内单调递增， 内单调递减， 所以,与矛盾， 所以，所以，正确，故A正确； 对B，若恒成立，①恒成立， 在①式中由时成立，可得, 若,则, 在①式中取得到 所以与矛盾， 所以，故B正确； 对C，因为，所以. 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， 当时，,,所以. 与假设矛盾，故不成立， ， 因为，所以， 当时， (由当且仅当时取等号得到，此结论是高中数学课本习题中常见结论，详细证明参见D中证明) 所以， 所以. 当时，， 所以，则，故C正确； 对D，由可知，且， 所以，即， 设， 由，可知： 当时，单调递增；当时，单调递减． ，即在上恒成立． 当时，，则， 当时，，则，故D错误． 故选：D 例6-2已知数列满足，（，）.又数列满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1)当时，， 即，亦即， 又，即，所以数列是等比数列. （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是. 方法技巧 核心解题总思路：数列恒成立问题统一转化为「数列最值问题」，即： 任意，恒成立； 任意，恒成立。 万能解题模板（上海高考规范步骤） 1.第一步：化简解析式：利用等比数列通项、求和公式、性质化简不等式，分离参数（优先分离参数，规避分类讨论），得到或恒成立形式。 2.第二步：判断数列单调性：作差法或作商法判断增减，结合等比数列公比正负、取值范围分析摆动、递增、递减特性。 3.第三步：锁定最值：正项等比数列单调则最值在首项/无穷趋近值；摆动等比数列需对比奇偶项最值；含参等比数列需对公比分类讨论。 4.第四步：求解参数范围：根据最值建立不等式，结合的整数特性取舍端点，规范验证边界。 高频细分考法&技巧 考法1：Sₙ恒成立问题：等比数列前n项和不等式恒成立，优先利用无穷等比和放缩：正项、时，，可直接解决求和上界恒成立问题。 考法2：通项不等式恒成立：重点规避摆动陷阱，摆动数列无整体单调性，需分开讨论奇数项、偶数项的最值，不可直接用单调结论。 考法3：含参恒成立求整数解：上海特色小题考法，求出参数范围后，结合正整数n的取值，筛选符合条件的整数最值。 易错分析 1.默认等比数列单调，忽略摆动数列无全局最值； 2.恒成立与存在性混淆：恒成立看整体最值，存在性看临界最值； 3.忽略，误用连续函数最值，未验证首项、末项整数端点。 【变式训练6-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【答案】 【详解】由题意对任意正整数，存在不超过的正整数，使得， 由，令，则； 令，则，或； 故数列的任意一项均为的正整数次幂形式，且为递增数列， 设，其中，，且， 即数列各项均为正整数的递增数列. 又，且， 可得，故； 由， 故， 由，可知， 则， 故，则； ①当时，则，则由可知， 此时，， 满足题意； ②当时，则，可取， 则， 满足题意； ③当时，则，，又， 故； 由， 可知数列的前项中， 至少有两项不在数列的前项中（不包含第项）. 故可设， 其中，且数列为正整数列的递增子数列且. 故， 解得. 又，而， 故只能取，即只可能两项不在数列的前项中； 则数列中，而只能取或，故产生矛盾； 故不满足题意； 综上可知，满足要求的正整数只能为或，即个数为. 故答案为：. 【变式训练6-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）公比为的无穷等比数列满足恒成立，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】已知等比数列的通项公式为， 依题意恒成立， 因为，所以恒成立， 当时，该式为，显然成立， 接下来讨论的情况，当时，有， 原不等式等价于，显然成立；当时， 有，原不等式等价于，显然成立； 当时，先分析时的情况，此时不等式为， 即，因为，可化为， 解得或，结合得， 接下来验证当时，不等式对也成立， 当为奇数时，为偶数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立； 当为偶数时，为奇数，， 原不等式等价于即， 因为且，所以该式成立， 故综上所述，或. 【变式训练6-3】（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 【变式训练6-4】已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 2．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 二、填空题 3．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【详解】由题意得， 故答案为：189. 5．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 6．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 2．一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设各项均为正数的等比数列为，且公比为， 因为其每一项都等于它后面的相邻两项之和， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 故选：C 3．已知数列的首项． (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 【答案】(1)证明：由，，得的通项公式为． 设，则． 又， 所以，是以27为首项，9为公比的等比数列； (2)证明：由，，得． 两边取以3为底的对数，得． 所以． 又， 所以，是首项为1，公差为的等差数列． 4．在等比数列中， (1)已知，公比，求前10项和； (2)已知，，，求前项和． 【详解】（1）根据等比数列的前n项和公式可得 （2）根据等比数列的前n项和公式可得． 5．（1）若数列，都是等比数列，则数列，是等比数列吗？ （2）已知数列是等比数列，且，试比较与的关系． 【详解】（1）由题意不妨设数列，的公比分别为，显然， 则是常数，故也是等比数列； 同理有，也是常数，故是等比数列； （2）由题意不妨设数列的公比为，则， ，， 又，所以. 6．已知等比数列的前项和为． (1)求证：当公比时，，，成等比数列； (2)求证：，，成等比数列； (3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) 当时，所以，， ， 显然，所以，，成等比数列， 当且时， 则，， ， 显然，，所以， 所以，，成等比数列； 综上可得当公比时，，，成等比数列； (2) 当时，所以，， ， 显然，所以，，成等比数列， 当时， 所以，， ， 因为、，所以，所以， 所以，，成等比数列， 综上可得，，成等比数列； (3) 推广（1）和（2）的结果，可得结论：等比数列的前项和为，当公比时，，，成等比数列； 证明如下： 当时，又，所以， 当且时，又，所以， 当时，对任意的，都有， 又， ， ，，成等比数列； 7．斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式： (1)若等比数列满足条件，求的公比q． (2)若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式． (3)设，试写出斐波那契数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)或，； (3)，. 【详解】（1）由题意可知，又， 则； （2）设，的公比分别为，由可知显然， 结合（1），由于两数列结构相同，不妨令， 则， 所以， 交换公比，则有； （3）由（2）可知. 8．某牧场今年初牛的存栏数为，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…    (1)写出一个递推公式，表示与之间的关系； (2)将（1）中的递推公式表示成为的形式，其中，为常数； (3)求的值（精确到1）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意知，并且 ．    ① （2）解：将化为 ．    ② 比较①②的系数，可得， 解这个方程组，得， 所以，（1）中的递推公式可以化为． （3）解：由（2）可知，数列是以为首项， 为公比的等比数列，则 ． 所以． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【详解】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B 2．已知等比数列满足，则______. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 3．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等差数列中，首项，公差，且成等比数列，则公差___________. 【答案】 【详解】由题意可得， 由等比数列性质可得， 即，解得或（舍） 故答案为： 5．（2025·上海杨浦·一模）等差数列的公差不为，前项和为，若，，成等比数列，则______. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 【答案】11 【详解】令，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 设数列的前项和为，则， 所以， 因为单调递增， 又，， 所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11. 7．（2025·上海闵行·一模）已知是等比数列，若、是函数的两个零点，则________ 【答案】 【详解】由题意可知的两根为，，所以由韦达定理可知 ， 所以， 因为是等比数列，其通项满足 ，公比的平方 （若则，不符题意）， 所以 与 同号，故 ,又因为 ， 综上可得 . 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为______. 【答案】8 【详解】为等比数列，且公比， 所以，可得， ，可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 所以，可得， 所以，可得， 解得，又， 所以使得成立的最大值为8. 故答案为：8. 9．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知等比数列满足：，，且公比． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和，求的值． 【详解】（1）， 由条件知，是方程的两根， 解得或． 又，所以，， 所以，， 从而． （2）令，得，故. 10．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 11．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 【详解】（1），， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：，. （3）因. . 12.（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 重难·创新演练 1．（25-26高三上·上海杨浦·期末）阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于、两点，要求弓形部分面积.先构造直线，且与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级、；再用同样的方法在切点、两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明可知级三角形的面积都是级三角形面积的，则这无穷多个三角形的面积之和逼近弓形面积，所以求出这无穷多个三角形的面积之和的极限值就可以得出弓形面积.若已知抛物线：，直线：，则抛物线与直线围成的弓形面积为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的方程为， 联立可得， 因此，解得，可得； 设， 联立可得； 因此 所以， 点到直线的距离为， 因此的面积； 记第级的每个三角形的面积为，即， 又第级三角形的面积都是级三角形面积的，所以可得； 根据三角形构造规则可知第级共有三角形个数为， 所以第级中所有三角形面积为； 因此抛物线与直线围成的弓形面积为. 故选：C 2．（24-25高三上·上海青浦·阶段检测）已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（    ） A．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列 B．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列 C．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列 D．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列 【答案】C 【详解】由题对任意正整数，都有，可判断，，…，不可能为等差数列， 理由如下：假设，，…，为等差数列，公差为， 若，，则，矛盾； 若，，当时，，存在使得，矛盾； 若，，当时，，存在使得，矛盾； 若，当时，，，必有使得，矛盾； 若，当时，，，必有使得，矛盾； 对于A，为等差数列与上述推理矛盾，故A错误； 对于B，为等差数列与上述推理矛盾，故B错误； 对于D，为等差数列与上述推理矛盾，故D错误； 对于C，取，，，满足题意，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）若数列满足：对任意的正整数，总存在正整数使得（其中），则称具有“性质”，对于以下两个结论，说法正确的是（    ） 结论①：若具有“性质”，则中任意一项均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质”． A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 【答案】A 【详解】对于①：若具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得， 当时，， 因为具有“性质”，则存在正整数，使得， 所以， 当时，，由“性质”可得，存在正整数，使得，即， 当时，，由“性质”可得，存在正整数，使得， 则，即存在正整数，使得，， 综上，中任意一项均可写成中的两项之差，故①正确； 对于②：因为，所以， 假设它具有“性质”，则对任意的正整数，总存在正整数使得， 即， 当时，，此时符合题意； 当时，，6不是2的整数次幂，即不存在正整数，使得， 因此等比数列不具有“性质”，故②正确. 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，，现有如下的两个判断： ① 对任意的正整数及，数据的第百分位数一定不小于数据的第百分位数； ② 对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差. 其中正确的结论是（     ）. A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【详解】，，则点在一次函数图象上， ，，在函数图象上， ，，则增长速度越来越快， 由于，，结合图象可得，当时，，则①正确； 取，则，, ，其中， 则，， 当时，必有，则②错误. 5．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 6．（2025·上海普陀·一模）设，数列和满足，且，，现有如下两个命题： ①若数列是等比数列，则数列是常数列： ②设是数列的前项和，若是符合题意的的最大值，则能被7整除． 则下列结论中正确的是（　　） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【详解】假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故①为真命题； 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，而 ， 故，所以取得最大值时为， 此时，， 故 ， 根据二项式定理可知， 故除以7余数为1，所以可以被7整除，故②为真命题. 故选：A. 7．（2026·上海·一模）对任意正整数n，定义n的双阶乘：当n为偶数时，；当n为奇数时，，则下列四个命题中错误的是（ ） A．2026!!的个位数字为0 B．2025!!的个位数字为5 C．2025!!和2024!!和2025!不可构成等比数列 D．有不止一个正整数n可以使得n!!，(n+1)!!，(n+2)!!构成等差数列 【答案】D 【详解】对于A，中包含因数10，所以的个位数字为0，A选项正确； 对于B，中包含因数5，且因数均为奇数，所以的个位数字为5，B选项正确； 对于C，，， 所以有， 又，， 所以和和不可构成等比数列，C选项正确； 对于D，若构成等差数列，则有， 当n为正偶数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 由和都是奇数，则也是奇数，则， 而时，，等式不成立，此时无解； 当为正奇数：设， 则，，， 代入等差条件，得， 即， 为奇数，为偶数，则为偶数， 又时，，要成立， 则中只能有这一个偶数因数，否则等式两边约去后，左边为偶数右边为奇数，不成立， 则有，此时，等式成立. 因此，只有时构成等差数列，D选项错误. 8．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 9．（24-25高三下·上海·开学考试）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题. ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 则上述命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，，均为等差数列，，，不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点， 中至多一个元素，①正确； 对于②，令，，满足，均为等比数列， 但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解， 且有两个偶数解时，否则， ，单调性相反，方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解， 且有两个奇数解时，否则， ，单调性相反， 方程至多一个奇数解，，不可能同时成立， 若，， 则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 故不可能有4个不同的正数解，即M中最多有3个元素， 如，此时，③正确； 对于④，为单调递增，为递减数列， ，不为常数列且各项均不相同， 前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确， 则上述命题中正确的个数为3个，即①③④. 故选：C 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）公差为的等差数列，，如果、、成等比数列，求数列的通项______. 【答案】或 【详解】因为，可得①， 因为、、成等比数列，所以，即， 整理可得②， 联立①②可得或， 当，时，； 当，时，数列为常数列，此时. 综上所述，或. 11．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 12．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________． ①存在正整数，使得成等差数列； ②存在正整数，使得成等比数列； ③存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列； ④存在正整数，且，使得． 【答案】①③④ 【详解】由题意可知，显然成等差数列，即①正确； 由题可知在上依次为（奇数，奇数，偶数）或（奇数，偶数，奇数）， 所以不可能满足，故不存在正整数，使得成等比数列.因此②错误； 易知， 故满足，因此有成等差数列， 即存在常数，使得对任意正整数，都有成等差数列.所以③正确； 由递推公式计算可得数列前16项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, 其中， 所以存在正整数，且，使得，即④正确. 故答案为：①③④ 13．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. (3)证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 14．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． (1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和； (2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有； (3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1），，. (2)，，故， 构造函数，，则， 函数在上单调递增，， 故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即. (3)不存在，，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 15．（2025·上海金山·一模）现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． (1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． (2)若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； (3)若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【详解】（1）设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； （2）设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； （3）由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $