期中数学重难题（陕西专版）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 陕西专版八年级上册期中数学重难题，聚焦一次函数、勾股定理等核心知识，通过赵爽弦图、旋转木马等文化与生活情境，设计层次分明的选择、填空、解答题，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|32题|一次函数性质（第1题）、勾股定理应用（第7题）|结合图形变换（折叠，第2题）考查空间观念| |填空题|31题|最短路径（第40题）、函数图像（第37题）|融入文化素材（赵爽弦图，第41题）| |解答题|37题|综合应用（第67题问题探究）、实际建模（第78题行程问题）|分层设计，从基础到创新，体现数学思维与表达|

期中数学重难题（陕西专版）2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）若一次函数（k，b为常数且）的图象是由函数的图象向上平移3个单位长度得到的，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．图象经过二、三、四象限 B．随的增大而减小 C．函数图象经过点 D．函数图象与轴交点的坐标为 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C． D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（   ） A．旋转木马转一圈需要 B．当时，小明与入口的距离为 C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D．当时，y随x的增大而增大 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，则正比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与y轴的交点坐标是 D．函数图象与函数的图象平行 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（    ） A．B．C． D． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，）的图象可能是（    ） A．B．C． D． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 13．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 15．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（   ） A． B．7 C． D． 16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．如图，已知大正方形面积为64，中心小正方形面积为16，若用m，n表示直角的两条直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（   ）    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 18．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，当运动时间为2025秒时，点到达的位置是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 20．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）下列说法中：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是；④的算术平方根是；⑤的平方根是；⑥的立方根是．正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，动点在轴的负半轴上，连接，将沿所在直线折叠，当点的对应点恰好落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点是的中点，连接并延长至点，使，作交的延长线于点，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D．6 28．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将沿翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D． 29．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段为（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 31．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 32．（25-26八年级上·重庆·期中）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（    ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 33．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知宽与长之比为的长方形称为黄金矩形，若某长方形为黄金矩形，它的长为，则它的宽为_____. 34．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 35．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是______． 36．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将边长为1的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形对角线的长度为半径作圆，交数轴于两点，且对应的数分别为、，则_____．    37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则_____．（填“”“”或“”） 38．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，三点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．（填“>”，“<”，“=”） 39．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若点，在直线上，则与的大小关系是：________（填“>”“<”或“=”） 40．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 41．（25-26八年级上·陕西西安·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为．若小正方形的面积为4，，有下列说法：①，②，③一个直角三角形的面积为10；④大正方形的边长为其中正确的是______填序号 42．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为_____． 43．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和，高为．若一只蚂蚁从顶点开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm． 44．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示,若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD=________． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期中）定义：对于实数，，，若，则．例如．已知直线、、的图象如图所示，若无论取何值，，则的最大值为________． 46．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是______． 47．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 48．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 49．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图：是等边三角形，，，相交于点，于，，，则的长是______________． 50．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______． 51．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点是线段上一点，连接平分交于点，作于点，交的延长线于点是的高，延长交于点，若，则的长为_____． 52．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为_____． 53．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为_____． 54．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，平分交于点．过点作于点，连接，则的长为_____． 55．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为________． 56．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点在轴的正半轴上，连接、．若，则点的坐标是______． 57．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知直线与两坐标轴的交点坐标分别为和，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴的交点坐标为，则的值为_____． 58．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为______cm． 59．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点M在y轴上，点P(3，-2)，若线段MP的长为5，则点M的坐标是_______. 60．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，是直线上长度为1的一条动线段．已知，，当四边形周长最小时，四边形的面积为______． 61．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点若，则的长为___________． 62．（25-26八年级上·重庆·期中）一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的差等于55，那么就称这个数为“55差数”．把“55差数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数8361，，是“55差数”，且．则最大的“55差数”是_____，若是“55差数”，且．则所有满足条件值的和为_____． 63．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线交轴于，交轴于，轴上一点，为轴上一动点，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则当长度最小时，线段的长为______． 三、解答题 64．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标． 65．（25-26八年级上·重庆·期中）工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． (1)求处离地面的垂直高度； (2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 66．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)若点 P运动到的中点时，t的值是 ； (2)4秒内，若， 求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 67．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】 （1）如图1，在中，，，，则的面积为______； （2）如图2，在中，，，，D是上一点，连接，若，求的长； 【实际应用】 （3）如图3，是某公园的一块儿童休闲娱乐区，现要将其向下方进行扩建，扩建区域为，为了达到美观的效果，要求为等腰三角形，且点D在的延长线上．已知，，，若要在的周围一圈栅栏，围栅栏的费用为20元，请你求出满足条件的点D在不同位置时，所需栅栏的总费用分别为多少元？（接口损耗忽略不计） 68．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 69．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、点，且的面积为9． (1)求的值； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 70．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读一下： 在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 应用一下： （1）若点、，则轴，的长度为___________； （2）若点，且轴，且，则点的坐标为_________； 拓展一下： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为，根据上述规定解决下列问题： （3）如图1，已知，，则___________； （4）如图2，已知，，若，则___________； （5）如图3，已知，点在的正半轴上，且三角形的面积为，设，写出关于的表达式（不要求化简，不注明变量取值范围）． 71．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 72．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． (1)点运动到的中点时，求t的值； (2)运动时间在秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 73．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点． (1)求直线的表达式． (2)点为直线上一点，当时，求点的坐标． 74．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线．且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，在射线上有一动点，连接，试求的面积与之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (3)如图②，过点画平行于轴的直线，将直线沿轴方向平移，当平移到恰当距离时（平移距离大于0），直线与轴交于点，与轴交于点、在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 75．（25-26八年级上·陕西西安·期中）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 76．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中线，于点E， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 77．（25-26八年级上·陕西西安·期中）科学证明，健康饮水的适宜温度是，这个温度区间与人体体温相近，对胃肠道的刺激较小．小明买了一个保温壶，并对这个保温壶进行了保温测试，他向保温壶中倒入热水，经过一段时间的测试发现：保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)热水刚倒入保温壶时的温度是___________； (2)求y与x之间的关系式； (3)小明在9小时后饮用该保温壶里的水，此时保温壶中的水温是否在健康饮水的适宜温度范围内？ 78．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知，两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从，两地相向而行．如图，直线，分别表示甲、乙两人离地的距离与时间之间的函数关系图象，根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)分别求出甲、乙两人离地的距离（千米）与（时）之间的函数关系式； (2)经过多长时间，两人相距40千米？ 79．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中，点，，，，且a、b满足． (1)直接写出A、B、C、D四点的坐标； (2)当时，求证：； (3)当时，在坐标轴上是否存在点M，使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 80．（25-26八年级上·重庆·期中）在等腰中，，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若平分，，求的长； (2)如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； (3)如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 81．（25-26八年级上·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； (3)如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 82．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）在如图1所示的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点． ①求直线的函数表达式； ②若的面积为9，且点在轴正半轴上，求点的坐标． 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，经过、两点的直线是某城市景观规划中的一条景观大道，它与轴正半轴上的点处的景观支线（轴）相连，景观设计部门计划在轴正半轴上找一个点，使得由点A、B、C所构成的（特色景观区域）为等腰三角形，求经过B、C两点的景观道路所在的直线的函数表达式． 83．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． (1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； (2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长； (3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点M到的距离是2，请直接写出符合题意的M点坐标 ． 84．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图1，是边长为2的等边三角形，是边上的高线，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），以为一边在下方作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)若连接，在点运动过程中，求线段长度的最小值； (3)延长交的延长线于点．如图2，当为等腰三角形时，求的面积． 85．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 86．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【观察探究】 （1）如图1，直线的函数表达式与直线交于轴上的一点，与轴交于点，点在轴正半轴上，，点为轴下方的直线上一点，连接． ①求直线的函数表达式； ②若面积是15，求点的坐标． 【实践应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，为某生态湿地公园的局部平面示意图．直线为一条木栈道，它与轴交于点，与轴交于点，直线是一条滨水景观步道，且所在直线的函数表达式为．点为直线上任意的点，过点作轴，为生态湿地公园的垂直观景走廊．为方便游客休息，公园管理部门需在坐标轴正半轴上设置一个休息点，使得构成以为底边的等腰直角三角形，请求出休息点的坐标． 87．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点在第一象限且在直线上，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点、，在轴上取点，且满足轴，是等腰直角三角形．求点的坐标． 88．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为，直线与x轴，y轴分别交于，两点，点是第一象限直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)设的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)当的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使，若存在，请求点C的坐标；若不存在，请说明理由． 89．（25-26八年级上·陕西西安·期中）综合与实践 如图，在长方形 中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接，设点的运动时间为（单位：秒）． (1)当时，的长为______，的长为______． (2)当点不与点重合时，设的面积为，求出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (3)当时，直接写出的值． 90．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在一次函数的学习中，我们经历了“画出函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数． (1)请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出函数的图象； (2)小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 （填序号）； ①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； ②当时，此函数有最大值为1； ③此函数的图象关于轴对称． (3)已知原点．那么在函数的图象上是否存在一点，使得与面积相等．若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 91．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【模型发现】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______． 【模型应用】 （2）如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标； （3）如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 92．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D． (1)如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ． (2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ； (3)在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ． 93．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 94．（25-26八年级上·陕西西安·期中）（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2） 如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 95．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法，可以把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】2025年陕西中考第7题：如图1，正方形的边长为4，点E为的中点，点F在上，，则的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”． 解题思路： ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点A为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点A坐标为，点E坐标为，点B坐标为，点C坐标为． ③由点E和点C的坐标求出直线的关系式为． ④由和点，可求出直线关系式为，即可求点F坐标为． ⑤由此得到线段和的长，从而求出面积为5． 【迁移探究】如图，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． (1)请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） (2)在题（1）建立的直角坐标系基础上，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点．请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在题（1）建立的直角坐标系基础上，把沿着直线折叠，点D的对应点为点，请直接写出点的坐标． 96．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知，点为平面内一点． (1)如图1，当点在线段上时，连接，将绕点顺时针旋转到，点正好在上，若，，求的度数； (2)如图2，当点在延长线上时，满足，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，使点正好在上，连接交于点，点是上一点，且，连接，若，用等式表示线段与线段的数量关系并证明； (3)如图3，当，时，过点作，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，连接，将沿翻折到所在平面得到，点，是直线上的点，且点在点上方，点在点下方，连接，，满足，且，若，直接写出的值． 97．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． (1)求直线的表达式； (2)如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； (3)如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 98．（25-26八年级上·陕西西安·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 99．（25-26八年级上·陕西西安·期中）问题引入：在平面直角坐标系中，我们把到两坐标轴距离相等的点称为“等距点”．如图，轴，轴，且，那么点就叫“等距点”，此时四边形是正方形． (1)请你写出一个在第一象限的“等距点” ． 问题探究： (2)如图，点、点分别在轴、轴上，四边形的内角与互补，，点是第一象限内的“等距点”，求四边形的面积． 问题解决： (3)如图，是等边三角形，点，点是第四象限的“等距点”，连接并延长交的延长线于点，连接，此时，点是线段上的点，连接并延长交轴于点，当时，求的面积． 100．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，两条直线与轴分别交于点和点，求的面积； 【灵活应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，是某校将要扩建的校园活动区示意图，边所在直线的表达式为，边所在直线的表达式为，与交于点，为垂直于边的一条跑道，点为线段上的动点，连接，为休闲区域，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，为运动区域，为扩建的拉伸区域，当为直角三角形时，求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期中数学重难题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D C C A A B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A D C D C D C C A C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B B C B B C C B C A 题号 31 32 答案 B C 1．A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握当时，随的增大而减小，直接利用性质进行判断． 【详解】解：一次函数，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 3．C 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，掌握平移规律是关键． 根据一次函数图象平移规律“上加下减”，向上平移3个单位，则b值增加3，得出新函数解析式，再逐一判断选项． 【详解】解：∵函数向上平移3个单位， ∴新函数为，即， 对于A：∵， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A错误； 对于B：∵， ∴y随x的增大而增大，故B错误； 对于C：当时，， ∴点在图象上，故C正确； 对于D：当时，， ∴与y轴交点为，故D错误； 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得：， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，由，得、同号，再分及，两种情况讨论即可得答案． 【详解】解：， 、同号， 若，图象经过第一、三象限，经过第一、二、三象限， 若，图象经过第二、四象限，经过第二、三、四象限， 只有选项A符合， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括增减性、图象所经象限、与坐标轴的交点及图象的平行，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的图象与性质，分析各选项的正误即可． 【详解】解：由一次函数可知： A：∵，∴函数值随自变量增大而减小，结论正确； B：∵，，∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，∴结论错误； C：当时，，∴与y轴交点为，结论正确； D：∵函数是由函数向下平移8个单位所得到的，∴两图象平行，结论正确； 故选B． 10．A 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 11．A 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题．根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而增大， ，一次函数的图象过第一、二、四象限， 故B，D选项不符合题意； 当时，正比例函数的图象上y的值随x值的增大而减小， ，一次函数的图象过第一、三、四象限， 故C选项不符合题意，A选项符合题意． 故选：A． 12．D 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故D选项正确，A选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、C选项错误； 故选：D 13．C 【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ， 在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故选：C． 14．D 【分析】本题主要考查一次函数的应用、行程问题、求解函数解析式以及相遇问题，解题的关键是分析函数图像，确定甲、乙的速度，利用待定系数法求函数解析式．根据甲车往返路程与时间关系求，再利用待定系数法求函数解析式，通过列方程求相遇时间及时间间隔． 【详解】、由题意知，甲车往返路程相同，从出发到返回共用小时，所以到达地的时间小时，故错误； 、乙车小时行驶千米，根据速度公式可得乙车速度为，所以乙车距地的距离，故错误； 、甲在去程时小时行驶千米，根据速度公式可得去程甲车速度为，甲在去程距地的距离，故错误； 、两车第一次相遇时，乙车距地的距离等于甲车距地的距离，即，解得，故正确； 故选：． 15．C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，过点H作于点K，先利用勾股定理分别求出，，设，则，再利用勾股定理构造关于x的方程得解得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可得出答案． 【详解】解：过点H作于点K，如图所示∶ 依题意得∶， ， ， ∴正方形的边长为1，即， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，， 由勾股定理得∶ 在中，，， 由勾股定理得∶， 设， 则， 在中， 由勾股定理得：， 在，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为：， 故选∶C． 16．D 【分析】本题考查了图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 17．C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形应用； 由勾股定理可判定①；由完全平方公式变形求得，由三角形面积即可判定②；由及，开方即可判定③；由代入中计算即可判定④． 【详解】解：由勾股定理得：， 另一方面，大正方形面积为64，即， ∴，故①正确； 小正方形面积为16，即，展开得：， ∴， ∴，故②正确； ∵，且， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 故正确的有①②③； 故选：C． 18．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律．根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律： ， ， ， ， ∴． 当时，， 故选：C． 19．A 【分析】本题主要考查了点的坐标、行程问题，通过计算发现规律就可以解决问题． 根据点的坐标，可以求得四边形各边的长度，进而求得四边形的周长；同时根据题意，计算可以得到动点运动时间为秒后运动了个单位，刚好运动了圈，又回到了点处，得到答案． 【详解】解：∵点，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， 根据题意，当运动时间为2025秒时，运动了个单位长度， ∵， ∴动点刚好运动了圈，又回到了点处． 故选：A． 20．C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：设前一段线段所在直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴当时，； 故该弹簧长度最大为； 故选：C． 21．B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据已知条件得到，，求得，，过点作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为，解方程组即可得到结论． 【详解】解：对于一次函数，令，得，令，则， ∴，． ∴，． 如图，过点作交于，过作轴于，则， ， 是等腰直角三角形． ． ， ， ∵， ． ，． ∴． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 22．B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【详解】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 23．C 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确分类讨论是解题关键．先分别求出，，，，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质和一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的斜边， ∴也是以为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当时， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图2和图3，当时， ∴， ∴点的纵坐标为或， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，这样的点有3个． 故选：C． 24．B 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的概念．根据定义，算术平方根只针对非负数，且本身非负；平方根有两个值（一正一负）；立方根只有一个实根．逐项判断即可．注意算术平方根与平方根的区别． 【详解】算术平方根只对非负数有定义，负数没有算术平方根，①错误； 的算术平方根是，不是正数，②错误； ，的算术平方根是，③正确； ，的算术平方根是，④错误； 的平方根是，不仅，⑤错误； ，的立方根是，⑥正确． 综上，正确的有③和⑥，共个． 故选：B． 25．B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 在中，，求出，即可求解． 【详解】解：∵的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 连接， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 故选：B． 26．C 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 过点A作轴，过点C作轴，根据题意得出，再由等腰三角形的性质确定，利用全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点C作轴，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：C． 27．C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，实数的混合运算，解题关键是熟练掌握勾股定理．利用勾股定理求得的长，证明，求得，，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴． 故选：C． 28．B 【分析】本题考查了一次函数、翻折的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先求出，推出，由折叠可知：，，得的长；然后设点，则，根据即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，则；令，则， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∴， 设点，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 29．C 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等面积法等知识，过作于点，由角平分线性质可得，再通过勾股定理得出，再由，求出，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴， 故选：． 30．A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 31．B 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 32．C 【分析】本题考查了整式的定义，同类二次根式的判定；当，，则，故①正确；结论②在时n最大为5，此时，，两者为同类二次根式，正确；结论③中与条件矛盾，无解，故错误．因此仅结论①和②正确． 【详解】解：结论①：当，，，则， ∴存在满足条件的单项式有3个，即；故①正确． 结论②：∵，当最大时，则相邻差取最小值2． 由，，得，． 当时，，，，，，． ∴，，两者均为的倍数，为同类二次根式．∴正确． 结论③：∵，但 ∴，矛盾，无解．∴错误． 故选：C． 33． 【分析】本题考查了黄金分割的实际应用，熟悉黄金分割的概念是解题关键； 根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为 ，已知长为，通过比例关系可求宽. 【详解】解：设宽为 ， 则 ， 解得： ， 故答案为： . 34．20米/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 35． 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是有理数， ∵， ∴，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 36．2 【分析】先根据勾股定理求出圆的半径，分别求出、，即可求解． 本题考查了实数与数轴和勾股定理，解题的关键是：根据勾股定理，求出半径． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴圆的半径为：， ∴，， ， 故答案为：2. 37． 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：中， 函数值y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 38．< 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：<． 39．> 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，由于直线斜率，函数值随x的增大而减小，因此当时，． 【详解】解：将点代入直线方程，得； 将点代入直线方程，得； 比较与：， 所以． 故答案为：>． 40．5 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 41．①②④ 【分析】本题考查勾股定理 ——以弦图为背景的计算题．根据可判断①；根据小正方形的面积为4，可判断②；结合①②，通过计算可判断③；根据勾股定理可判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 小正方形的面积为4， ，故②正确； ，， ，， 一个直角三角形的面积为，故③错误； 大正方形的边长为，故④正确； 故答案为：①②④． 42．/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 43． 【分析】本题考查了长方体展开图、勾股定理，以及两点之间，线段最短，根据“两点之间，线段最短”，可得蚂蚁爬行的最短路径长就是线段． 【详解】解：根据题意，展开长方体，如图所示， ，， ． 故答案为：． 44． 【详解】如图所示： 设DE=x，则AD=8-x， 根据题意得：（8-x+8）×2×2=2×2×5， 解得：x=6， ∴DE=6， ∵∠E=90°， 由勾股定理得：CD=， 故答案为： 【点睛】考点：勾股定理的应用 45．2 【分析】根据无论取何值，y总取中的最小值，则y的最大值即求三个函数的公共部分的最大值. 【详解】解：∵无论取何值，y总取中的最小值， ∴当x大于点A横坐标时，y=y1， 当点A横坐标≤x≤点C横坐标时，y=y2， 当x大于点C横坐标时，y=y3， ∴y在点C取得最大值，即y2，y3的交点处， 联立得， 解得， ∴y的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，解此题的关键在于根据题意找到y最大值的点，再联立方程组求解. 46． 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，由勾股定理可得，进而根据数轴上两点间距离公式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 47． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 48． 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 49．9 【分析】在，易求，于是可求，进而可求，而，那么有. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含有角直角三角形的性质，三角形全等判定及性质等相关内容，熟练掌握相关三角形性质及判定的证明是解决本题的关键. 50． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质；分别交、于、；设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】如图，分别交、于、 、、均是等腰直角三角形 ，，， 设，，，，   ，， ∴ ∴ 故答案为：． 51．/ 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到线段相等，再通过全等三角形和线段的和差关系求出的长． 先根据角平分线的性质得出，结合三角形面积比求出的长度；再利用角平分线和垂直的条件证明，得到；最后结合推出，进而求出的长． 【详解】解：平分， ， 由三角形面积公式（为底，为高），可得， ， ，解得， 平分， ，又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 52． 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 53．7或8 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，根据非负数的性质列二元一次方程组，求出a和b的值，进而根据等腰三角形的性质，三角形三边关系分情况计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 当等腰三角形的腰长是时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是2时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 故答案为：7或8． 54． 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点C作于点F，根据勾股定理可求出的长，再由三角形面积可得的长，从而得到的长，然后根据角平分线的性质定理可得，利用可证明，得到，从而求得的长，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点F， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，平分交，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 55． 【分析】先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可． 【详解】解：∵，点的纵坐标为1， ∴AC∥x轴， ∵点，是第一象限角平分线上的两点， ∴∠BAC=45°， ∵， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠C=90°， ∴BC∥y轴， ∴AC=BC=2， 作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小， ∴此时四边形的周长最小， 作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG， ∴EG=2，GA=4， 在Rt△AGE中， ， ∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ． 【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键． 56． 【分析】本题考查了勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离．设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，利用勾股定理可得：，根据可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ， 又点的坐标为， ， 在中，， ， ， ， 两边同时平方可得：， 解得：， 点的坐标为． 故答案为： ． 57．8 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点问题等知识点，求得直线的解析式是解题的关键. 根据直线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移规律得到直线的解析式，最后代入与y轴的交点坐标求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得， 所以． 将直线向左平移个单位，得到的解析式为： 已知与y轴的交点坐标为， 则， 解得：． 故答案为：8． 58． 【分析】本题主要考查了平面展开一最短路径问题和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及利用展开图得出结论是解题关键． 利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 59．(0，2)或(0，-6) 【分析】如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N，在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，由勾股定理得M1N=M2N=4，再由N（0，-2）即可得点M的坐标． 【详解】如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N． ∴在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，M1N=M2N==4， 又∵N（0，-2）， ∴M（0，2）或（0，-6）． 故答案为：（0，2）或（0，-6）． 【点睛】解决本题的基本思路是先确定点M的位置，再用勾股定理计算各线段的长度，再确定M点坐标． 60． 【分析】将点B向上平移1个单位得到，则，连接，由平移的性质可得，可求，四边形周长，故四边形周长最小时，即最小，过点作的对称点，则，连接，则当点共线时，取得最小值，可求直线，那么，同理可求直线，则，最后根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：将点B向上平移1个单位得到，则，连接， ∵是直线上长度为1的一条动线段 ∴点向上平移1个单位得到点， ∴由平移的性质可得， ∵，， ∴， ∴四边形周长， ∴四边形周长最小时，即最小， 过点作的对称点，则，连接， ∴ ∴当点共线时，取得最小值，如图： 设直线，则， 解得， ∴直线， 当， ∴ 同理可求直线， 当， ∴， ∴此时四边形的面积为， ∴当四边形周长最小时，四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，利用二次根式的性质化简，两点间距离公式，轴对称的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握“将军饮马模型”． 61． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 过C作于点F，先证明，得，再由等腰三角形的性质得，进而求出，然后在中，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过C作于点F， 是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为： 62． 【分析】本题考查了整式的加减，二元一次方程组的解．根据“差数”的定义，即千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数的差等于，列出方程．求最大“差数”时，需使千位数字最大，再使百位数字、十位数字和个位数字尽可能大．根据条件，结合的表达式和解方程，找出所有满足条件的值并求和． 【详解】解：一个四位自然数是“55差数”的条件是：千位数字和十位数字组成的两位数，与百位数字和个位数字组成的两位数的差等于55， 即： 化简得： 其中是千位数字，取值范围为1到9；是各位数字，取值范围为0到9． 设，，则． 和为整数，且，（因为是数字）． 由于55为正数，解得可能的整数解为： ，（即，) ，（即，) 情况1：， ，． （因为)，且，所以取5，6，7，8，9． （因为)，且（因为)，所以取5，6，7，8，9． 最大时取最大和最大，即，，则，，所以． 情况2：，，，． （因为)，且，所以取6，7，8，9． （因为)，所以取0，1，2，3，4． 最大时取最大和最大，即，，则，，所以． ∵ 因此，最大的“55差数”是． ∵，． ． 根据“55差数”的两种情况，代入： 情况1（，)：，，代入得： ， 所以． 情况2（，)：，，代入得： ， 所以． ∵． 在情况1中： ，，代入得： ． 化简：，整理得： 取5到9，取5到9，解得整数解： 当，时 ∴， ∴，， ∴，． 当，时 ∴， ∴，，，． 在情况2中：，，代入得：． 化简：，整理得：． 解得：． 取6到9，取0到4，但代入后均为负数（如，)，无有效解． 满足附加条件的有和，对应分别为和． 所有满足条件的值的和为：． 故答案为：，． 63． 【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接，先求出，通过证明，，求出，当时，长度有最小值，此时，，求出直线的解析式为，进而得到直线的解析式为，设，在中，，求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，在上取点，使得，过点作轴于点，连接， 令，解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由旋转的性质得，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为定角， ∴点在过点，且与垂直的直线上运动， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当时，长度有最小值， 此时，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴此时，直线的解析式为， 设， 在中，， ∴， 整理得，，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即，与点重合，舍去， ∴此时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换等知识，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建完全平方式，利用完全平方式的非负性解决最值问题． 64．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，掌握点的坐标特征是解题关键． （1）由x轴上的点的纵坐标为0，求出的值，即可得到点P的坐标； （2）由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，求出的值，即可得到点P的坐标； （3）根据点P在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等，得到，求出的值，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点在x轴上， ， ， ， 点P的坐标为； （2）解：点、点，且轴， ， ， ， 点P的坐标为； （3）解：点在第一象限，且到x轴、y轴的距离相等， ， 解得：， ，， 点P的坐标为． 65．(1)米 (2) 如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） （2）略 66．(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 【详解】（1）解：∵在中， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：2． （2）解：连接， 根据题意，得， 故4秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （3）解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 67．（1）；（2）；（3）当时，所需费用为元；当时，所需费用为元；当时，所需费用为元； 【分析】此题主要考查了应用设计与作图、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键． （1）根据勾股定理得出，然后求面积即可； （2）根据勾股定理得出，继续利用勾股定理求解即可； （3）分三种情况分析：当时，当时，当时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵向下方进行扩建，扩建区域为，为了达到美观的效果，要求为等腰三角形，且点D在的延长线上， ∴分三种情况分析： 当时，如图①所示， 周长为米，所需费用为：元； 当时，如图②所示， ∴， ∴， 周长为米，所需费用为：元； 当时，如图③所示， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴周长为米，所需费用为：元． 68．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 69．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而求解即可； （2）由题意可设直线的表达式为，然后可得，即直线的表达式为，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， ∴令时，则有，解得：；令时，则有， ， ， ， ， ， 解得：， 由题图知， ； （2）解：，设直线的表达式为， 则， ， 直线的表达式为， 令，得， ， ， 线段的长为， ． 70．（1）1；（2）或；（3）5；（4）或；（5） 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． （1）根据若，则轴，且线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）由轴，可设点的坐标为，根据列方程，解之即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （4）根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （5）根据两点之间的折线距离公式即可求解． 【详解】解：（1）由点、可知：轴，的长度为， 故答案为：1． （2）由轴，可设点的坐标为， ∵，， ，解得：或1， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． （3）∵，， ∴． 故答案为：5． （4）∵，，， ， 解得：． 故答案为：或． （5）设点的坐标为，知， ∵， 根据三角形面积公式有， ∴ ∵， ． 71．（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 72．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间路程速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：． （2）解：连接， 根据题意，得， 故秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得， 故． （3）解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 在中，， ∴， 即； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 73．(1) (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求出，然后分两种情况进行讨论：①当在直线的上方时，则；②当在直线的下方时，点在直线的下方，则，根据面积和差关系求解即可． 【详解】（1）解：设直线． 将和代入，得 ， 解得 直线的表达式：． （2）解：在中，令，则 解得 ∵    ∴ ①当在直线的上方时， 即 将代入，得 ②当在直线的下方时， 点在直线的下方， 即   将代入，得 综上所述，点的坐标为或． 74．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出A的坐标，再利用待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点，点分别为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∵点，， ∴， ∵点在射线上， ∴且， 当时，点在线段上， ∴； 当时，点在线段的延长线上， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， 当点为直角顶点时，设，如图： 过点作，设直线m交轴于点，则， ∵为等腰直角三角形，直线轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图： 过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 75．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 76．(1) (2)垂直平分，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据中线的定义可得出结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ； （2）解：与的位置关系是垂直平分， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 又是的中线， ， 与的位置关系是垂直平分 77．(1)90 (2) (3)保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）先由函数图象得在上，则把分别代入，解方程组即可； （3）先整理得分钟，再把代入，得，结合健康饮水的适宜温度是，且，即可作答． 【详解】（1）由图象可知，热水刚倒入保温壶时的温度是， 故答案为：90； （2）保温壶内的水温与测试时间之间满足一次函数关系， 设一次函数关系为，把分别代入得： ， 解得， 与x之间的函数关系式为； （3）保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内；理由如下： 依题意得：分钟， 把代入得： ， 健康饮水的适宜温度是，且 保温壶中的水温是在健康饮水的适宜温度范围内． 78．(1)：，： (2)4小时或小时 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式以及根据实际情况分情况讨论列方程是解题的关键． （1）根据一次函数的表达式形式，结合图象上的点坐标，利用待定系数法分别求出甲、乙对应的函数关系式． （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据两人离A地的距离关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设的函数关系式为：， 因为过点，即， 解得， 故， 设的函数关系式为：， 因为过点，即， 所以， 又因为过点，即， 解得， 所以的函数关系式为：； （2）解：两人相距40千米分两种情况： ①当相遇后相距40千米时，即， 解得， ②当相遇前相距40千米时，即， 解得， 所以经过4小时或小时时，两人相距40千米． 79．(1)； (2)见解析； (3)存在；或或或或或． 【分析】本题考查了直角坐标系下点的坐标，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形．需熟练掌握全等三角形的判定定理，对于等腰三角形中的腰进行分类讨论是解决本题的关键． （1）将整理为完全平方式，求出a与b的值即可求解坐标； （2）由边角边的方法证明和全等，由此可得，再由边角边的方法证明和全等，由此可证； （3）根据等腰三角形的性质，分类讨论腰，即，，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， ； （2）证明：由（1）可得四边形是正方形． 如图1，在的延长线上找一点F，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：有3种情况共6个点： ①当时，如图2， 中，， ， ； ②当时，如图3， ， ， 在中，， ， ； ③当时，如图4， ， ， 综上，点M的坐标为：或或或或或． 80．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． （2）解：．证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． （3）解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 81．(1)直线的解析式为 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法，等腰直角三角形的定义等知识，结合图形分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）把点坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与几何图形面积的计算方法，数形结合，分类讨论即可求解； （3）根据等腰直角三角形的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：直线分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴当时，，则， 当时，，则， 直线与y轴交于点C， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴， 如图所示，设直线与轴交于点，点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在直线中，时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， 即， 解得，， ∴（不符合题意，舍去）； ③当时，， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或； （3）解：存在，理由如下， ①如图所示，，过点作轴于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ②如图所示， 同理，， ∴，则， ∴； ③如图所示，，过点作轴于点，作轴于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ④如图所示， 同理，，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】 82．（1）①；②；（2）或或 【分析】（1）①用待定系数法求直线的函数解析式； ②根据的面积为 9 可得的长，确定的长，可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当时，②如图2，，③如图3，，利用待定系数法可得结论． 【详解】解：（1）①设直线的解析式为：， ∵直线过点、点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②∵的面积为 9 ， ， ， ， 或， 或． ∵点C在轴正半轴上， ∴． （2）分三种情况：①如图 1 ，当时， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； ②如图2，，∵轴， 同理可得直线的解析式为：； ③如图，∵轴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 同理可得直线的解析式为：； 综上，直线的解析式为：或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次方程的解法，三角形面积，等腰三角形，考查了分类讨论思想的运用，第（2）题要注意分类讨论的目的性，通过数形结合找等量关系． 83．(1)见解析 (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了等积法、勾股定理、一次函数的应用、三角形全等的判定和性质等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． （1）如图：连接，根据，结合三角形面积公式和即可证明结论； （2）根据勾股定理可求出，再根据，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，当点M在延长线上时，分别作出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴结合（1）可知． （3）解：对于，令，得：；令，得：， ∴． ∴ 对于，令，得：，则，即， ∵，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或点M在延长线上， ①当点M在边上时，如图：过点作于点G，作于点H， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，得：，解得：， ∴； ②当点M在延长线上时，过点作于点P，轴于点E，轴于点F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的纵坐标为， 把代入得，解得：， ∴； 综上分析可知，点M的坐标为或． 故答案为：或． 84．(1)见解析 (2)线段长度的最小值为 (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据判定定理“”即可求证； （2）由等边三角形的性质可得，，进而由全等三角形的性质得，即得到点在定直线上运动，可知当时，线段取最小值，利用直角三角形的性质解答即可求解； （3）当为等腰三角形时，，过点作于点，由直角三角形的性质得，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴； （2）解：∵是边长为的等边的高， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴当时，线段取最小值． 此时在中，∵，， ∴， ∴线段长度的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点不与点重合， ∴点不与点重合，， ∴，， ∴当为等腰三角形时，则， 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 85．（1）见详解；（2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米，理由见详解 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 86．（1）①；②；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，数学结合，分类讨论是解题的关键． （1）①根据一次函数图象的性质得到，结合题意得到，运用待定系数法即可求解； ②根据题意可得，则，结合列式求解即可； （2）根据等腰直角三角形的定义，结合图形分类讨论：若点在轴的正半轴；若点在轴的正半轴；根据一次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①因为直线与轴交于点， 所以点坐标为， 因为点在轴正半轴上，， 所以， 设直线的函数表达式为， 因为直线过点，即， 所以， 又因为直线过点，即， 解得， 所以直线的函数表达式为． ②将代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 由题意知，点在轴下方， 因为， 所以， 所以， 把代入，得， 所以． （2）若点在轴的正半轴，如图3， 因为直线的函数表达式为，点， 所以时，， 所以， 所以， 所以， 所以． 若点在轴的正半轴，如图4， 因为是以为底边的等腰直角三角形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 综上所述，点的坐标为或． 87．(1) (2) (3)存在点P使得为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标交点的计算方法，待定系数求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值即可； （2）根据题意可求出的面积，由此可确定的面积，设， 根据，列出关于m的方程求解即可解答； （3）根据题意，先求出所在直线的解析式，设，则，图形结合，分类讨论：①，；②，；③，；根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：∵，， ∴； ∴， 设， ∵点D在第一象限， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在点P使得为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 理由如下， 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得：， ∴， ∴． 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴ ∴； 综上所述，存在点P使得为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 88．(1) (2) (3)存在，点C的坐标为或 【分析】（1）设直线的解析式为，把，两点代入解方程组即可． （2）根据题意点可变形为，根据计算即可． （3）过点P作轴，垂足为D，作平分，交y轴于点C，过点C作，垂足为E，以O为圆心，以为半径画弧，交y轴的负半轴于点，利用勾股定理，等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵点P是直线的点，， ∴，， ∴ ，． （3）解：∵， ∴， 解得， ∴， 故点， ∴过点P作轴，垂足为D， 则，，． 作平分，交y轴于点C， 则， 过点C作，垂足为E， 则，由，得， ∴， ∵， ∴， ∴, 故点C的坐标为； 以O为圆心，以为半径画弧，交y轴的负半轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， 符合题意， 故点的坐标为； 综上所述，存在点C，且坐标分别为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，三角形全等，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 89．(1)， (2) (3)或 【分析】（）由题意可得当时，，即得，再根据线段的和差关系及勾股定理即可求解； （）分三种情况：当点在上，点在上，点在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可； （）根据（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，点运动的路程为， 即， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点在上，即时，， ∴； 当点在上，即时，； 当点在上，即时，， ∴； 综上，； （3）解：把代入，得， ∴； 把代入，得， ∴； 综上，当时，的值为或． 90．(1)见详解 (2)③ (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）列表，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据图象可判断； （3）利用三角形面积求得点的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：列表：        0 1 2 3 4 3 2 1 2 3           4 函数的图象如图所示： （2）根据图象可知， ①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；故①错误； ②当时，此函数有最小值为1；故②错误； ③此函数的图象关于轴对称，故③正确； 故答案为：③； （3）存在，点P的坐标为或． 理由如下： ，为和公共边， ， 设的解析式为：， 当点在的右侧时， 将点代入得，， 设的解析式为, 将代入，得， 解得 的解析式为， 解方程组得， 点的坐标为. 当点在的左侧时，根据轴对称的性质，过点的直线为：， 解方程组得，， 点的坐标为． 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或． 91．（1），；（2）；（3）存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题是坐标与图形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直线与坐标轴交点，等腰直角三角形的性质等知识，理解题意，正确应用模型是解题关键． （1）分别证明，，根据 “”即可证明； （2）过点C作轴于点H，先求出于A、B两点坐标，得到，，证明得到，，即可求出点C的坐标为； （3）设，分①点P为直角顶点，Q在上方，②点P为直角顶点，Q在下方，③O为直角顶点，三种情况讨论，逐一求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴． 故答案为：，； （2）如图，过点C作轴于点H， 直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， 解得； 当时，； ，， ，， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 点C的坐标为； （3）在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 理由如下： 设， ①当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 同（1）可证≌， ，， 依题意得：， 解得：， ； ②当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ； ③当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ． 综上所述，在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 92．(1)，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由非负数的性质求解，，如图1，过点作轴于点，证明，可得，，再进一步可得答案； （2）如图中，证明即可得到结论； （3）如图3中，过点作于点，过点作于点．证明，，，设，而，，可得，,,，进一步利用面积公式解答即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 如图1，过点作轴于点． ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）证明：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， . （3）证明：如图3中，过点作于点，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同法可证，， ， 在和中， ， ， ，， 设，而，， ∵，， ，,, ∴， ∴， ∴， ∵A 点到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 93．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别令和，求出对应的y和x的值即可； （2）根据点C坐标表示出点C到y轴的距离，四边形的面积等于和的面积之和，分别求解后相加即可． （3）先根据求出四边形的面积，进而得到的面积．点P的位置有两种可能性，x轴的负半轴和y轴的负半轴，分类讨论，利用三角形面积公式求出或的长，然后求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当，， ∴， 当，，解得，， ∴， （2）∵点在第三象限， ∴点C到y轴的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，， ∵， ∴， 当点P在x轴的负半轴上时，设点， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴， ， 解得，，此时， 当点P在y轴的负半轴上时，设点， ∵点P和点B的相对位置不确定， ∴， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴，此时， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，坐标系中的三角形面积和动点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 94．（1）　　（2）或 【分析】（1）证明，即可得到，，据此即可求得答案； （2）分两种情况讨论：①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，证明，设，可得，，结合勾股定理，即可求得答案；②当在上时，作关于对称的，过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，证得，设，可得，，结合勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： （2）①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ∵， ∴四边形是长方形． ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 由折叠得， ∴． ∴，． ∴，． 设，则，． 在中，由勾股定理，得， ∴，解得． ∴． ∴． ②当在上时，作关于对称的． 过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ∴，． 同理可证． ∴，． ∴． 设，则，． ∴． 在中，由勾股定理，得 ，即 解得 ∴． ∴． 综上所述，的面积为或． 95．(1) (2)点Q的坐标为或 (3) 【分析】（1）根据要求建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式，通过联立解析式求出交点坐标，然后根据割补法求四边形的面积即可； （2）根据等腰三角的性质及判定定理，分情况进行讨论，分别利用勾股定理和两边长度相等，列出方程求解即可； （3）于相交于点，根据给出的示例，利用两直线垂直和待定系数法求出直线的解析式，联立解析式求出交点坐标，然后根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图建立坐标系，，，， ∵四边形为长方形，，， 且， ∴， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴直线的解析式为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立以上两个解析式得， ， 解得， ∴， ∴ ； （2）解：①如图所示， 当点在线段上运动，时，， 此时，为等腰三角形， 根据勾股定理得， ∴； ②如图所示， 当点在线段的垂直平分线上时，假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，不符合题意； 假设点的坐标为，则， 根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∵，符合题意； ∴； 综上，点Q的坐标为或； （3）解：如图所示，与相交于点，根据翻折的性质可得，， 根据给出的例子可得， 由和得，直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， ， 解得， ∴， 点平移到点和点平移到点轨迹一样， ∴由平移的性质得，，， 可以看作向左平移了，向下平移了， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系，一次函数的图象和性质，翻折的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，解题的关键是理解题目给出的建立坐标系的方法． 96．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，根据，得出，进而根据三角形的外角的性质可得得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）连接，设，，根据旋转以及等边对等角、三角形的内角和与三角形的外角的性质分别表示出，结合题意得出，又，，即可得出，则可证明，进而证明，证明，得出，进而证明，结合线段的数量关系，即可得出结论； （3）先确定在与夹角为的直线上运动，当时，最小，求得当重合时即最小，如图作，过点作，设，，则，分别表示出，勾股定理建立方程，求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转到， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ （2）如图，连接， ∵， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵，， ∴，， 如图所示，在上取一点，使得，以为边等边三角形， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴ ∵是等边三角形， ∵ ∴ ∴在上， ∴， ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，以为边作等边三角形， 同理可得 ∴，则也在直线上， 当重合时，， 又∵ ∴， ∵在与夹角为的直线上运动， ∴当时，最小 此时， ∴当重合时即最小 如图作，过点作， ∴设， ∵，将沿翻折到所在平面得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 97．(1)直线的表达式 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． 【详解】（1）解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 （2）∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立， 解得：， ∴， 综上所述，或或． 98．(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）如图1，过点作轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）点M在上方和下方，两种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ，， 如图4，当点M在上方时， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：， ∴，， 即，， 解得，； 故点、点； 同理，当点M在下方时， ∴，， 解得， 故点、点； 综上，，或，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 99．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）根据题干的信息即可写出，答案不唯一； （2）利用构造三角形全等进行线段的转换，同时也将四边形的面积转换成正方形的面积进行求解； （3）通过论证三角形相似找到角相等，进而得到，从而得到，再根据等边三角形的性质得到点到轴的距离，则面积可求． 【详解】（1）由题意得：“等距点”到轴的距离相等，且在第一象限， ∴“等距点”的横纵坐标相等、都为正数， 例如：等答案不唯一； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：过点作轴于，作轴于点， ∴， ∵点是第一象限内的“等距点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴即：， ∵， ∴； （3）解：令与的交点为， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是第四象限的“等距点”， ∴到轴的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，即：点到轴的距离为：， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定、正方形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的性质及判定等，关键是知识点的灵活应用． 100．（1）；（2）或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，折叠的性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入，求出值，把代入，求出的值，再把点代入，求出值，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）把点代入中，得， 所以直线的表达式为， 把点代入中， 得，所以， 把代入中，得， 所以直线的表达式为， 所以当时，，即点， 所以当，的边上的高为4， 所以； （2）因为点在直线上， 所以， 所以，即直线的表达式为， 当时，， 解得，即， 当为直角三角形时，共有两种情况， ①如图，当时，由题可得，， 所以， 因为轴，所以， 所以， 因为， 所以 ②如图，当时，由题可知，，， 所以， 所以， 设，则， 在中，， 所以， 解得， 所以， 所以， 综上所述，点的坐标为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $