第二十六章二次函数单元练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上学期二次函数单元卷，覆盖抛物线性质、最值、实际应用等核心知识，梯度合理，注重数学思维与应用意识培养，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|抛物线点坐标、配方、顶点坐标、增减性|基础巩固，结合图象辨析，发展几何直观| |填空题|5/15|开口方向、对称轴应用、物理情境最值|知识迁移，联系小球飞行高度等实际，体现数据意识| |解答题|9/75|解析式求解、平移、篱笆面积、头盔利润、刹车距离、四边形面积|分层设计，综合应用，如刹车距离问题构建二次函数模型，四边形面积探究发展推理能力与创新意识|

第二十六章二次函数单元练习题2026—2027学年度人教版九年级数学上学期 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1.在抛物线上的一个点是    ． A. B. C. D. 2.将二次函数配方为的形式为(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点坐标是  (    ) A. B. C. D. 4.在二次函数的图象上，当随的增大而增大时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.二次函数、、为常数的图象如图所示，则方程有实数根的条件是(    ) A. B. C. D. 第9题图 第13题图 第6题图 第5题图 6.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7.若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线是  (    ) A. B. C. D. 9.二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 10.当时，函数的最大值为，则满足的条件为(    ) A. B. 或或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.若二次函数的图象开口向下，则          填“”或“”或“”． 12.若抛物线的顶点在轴上，则的值为          ． 13.如图，抛物线的对称轴为直线，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为           ． 14.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是           15.已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为          ． 三、解答题：本题共9小题，共75分. 16.本小题分 已知二次函数． 直接写出该二次函数图象的对称轴是           请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象 根据图象回答下列问题： 当时，的取值范围为           当时，的取值范围为          ． 17.本小题分 已知二次函数的图象经过点，，，且与轴交于，两点点在点的左侧． 求此二次函数的解析式； 判断点是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出的面积；如果不在，请说明理由． 18.本小题分 已知抛物线． 将它化成的形式； 写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． 19.本小题8分 已知二次函数的图象可以由二次函数的图象平移得到且经过点和． (1)求二次函数的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标； (2)求二次函数的图象与x轴交点坐标； (3)若有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为______； 20.本小题分 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． 求与的函数关系式及值的取值范围； 要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 21.本小题8分 如图，直线与抛物线交于点，． 用含的代数式表示的长； 求的最大值； 求面积的最大值． 22.本小题分 某商店以每顶元的价格新进一批头盔，经市场调研发现：售价定为每顶元时，每月可售出顶为配合交管部门“一带安全带一盔头盔”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为顶． 直接写出与之间的函数关系式 若该商店销售头盔每月的利润为元，求与之间的函数关系式在的条件下，当取何值时，每月销售头盔的利润有最大值最大利润是多少 23.本小题分 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下表： 刹车后行驶的时间 刹车后行驶的距离 发现：开始刹车后行驶的距离单位：与刹车后行驶的时间单位：之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，解答下列问题： 求关于的函数解析式．不要求写出自变量的取值范围 若汽车刹车后，行驶了多长距离． 若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 24.本小题分 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 答案 1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8.A 9.A 10.， 当时，图象在轴右侧，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，图象在轴左侧，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 如图所示： 当时，时，， 解得：， 时，函数的最大值为， ； 当时，时，， 解得：， 时，函数的最大值为， ，即， 当原点在和之间即，且时，有最大值为， ， 综上，或或， 故选：． 11.  12.  13.  14.  15.  16.【小题】直线 【小题】，描点、画图象如图所示． 【小题】或   17.【小题】；  【小题】点在这个二次函数的图象上；当时，，，，，，的面积为． 18.【小题】． 【小题】抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 19.（1）解：二次函数的图像可以由二次函数的图像平移得到， ， 将和代入， 得，解得：， ， ， 顶点坐标为； （2）解：令，则，解得：，， 二次函数的图像与轴交点坐标为，； （3）解：有两个不相等的实数根， ， ； 21.【小题】，，  ． 【小题】 ，，  当时，的最大值为． 【小题】如图，连接，，作，垂足为，于点，     ，轴，轴， 四边形是矩形． ，    当时，  有最大值． 20.由题意，得：， ； ， 即，解得：， 值的取值范围为：； 当时，即，解得：，， ， ， 即的长是米； ， ，抛物线开口向下，对称轴为：， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， 当时，取的最大值，最大值为：， 当的长是米时，围成的花圃面积最大．  21.由题意得． 由题意得，其中． ． ， 抛物线开口向下． 又， 当时，有最大值，最大值为． 即当时，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是元． 22.【小题】设关于的函数解析式为． 将，，代入，得解得 关于的函数解析式为． 【小题】由得关于的函数解析式为， 当时，， 汽车刹车后，行驶了米． 【小题】会．理由如下： 由得关于的函数解析式为， ． 当时，汽车完全停止，行驶了米． ，该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 24.（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 1 学科网（北京）股份有限公司 $