甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测考试数学试题

**基本信息** 天水一中高二开学检测数学试卷通过单选、多选、解答等多样题型，结合海洋蓝洞测量（填空12题）、工厂技能测试（解答13题）等真实情境，考查虚数运算、概率、立体几何等知识，体现数学眼光、思维与语言的核心素养，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|虚数运算、斜二测直观图、概率计算|基础概念辨析，如第4题不放回摸球概率| |多选题|2/12|向量性质、正方体线面关系|第10题结合中点动态分析线面角| |填空题|2/10|向量夹角、解三角形|第12题蓝洞测量情境应用正弦定理| |解答题|4/50|统计直方图、解三角形、三角函数、立体几何|第13题分层抽样与概率结合（数据意识），第16题四棱锥面面垂直证明（空间观念）|

天水一中2026-2027学年第一学期高二年级开学检测考试 数学试题 一、单选题（每小题5分，共8小题） 1．设i为虚数单位，则等于（ ） A．-1 B．1 C． D．- 2．已知，则（  ） A． B． C． D． 3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（    ） A． B．2 C． D． 4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知不共线，且，，，则（ ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 6．已知的外接圆圆心为O，半径长为2，且，，则的值为（） A．2 B． C．4 D． 7．四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ） A．224 B．448 C． D．147 8．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共2小题） 9．已知平面向量，，则（   ） A．若，则 B．若，则与的夹角为锐角 C．若为任意非零向量，则存在实数，使得 D．若在上的投影向量为，则或 10．（多选）如图，在正方体中，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面EFG B．直线和平面所成的角为定值 C．异面直线和所成的角不为定值 D．若直线平面EFG，则点为线段的中点 三、填空题（每小题5分，共2小题） 11．已知向量，则与的夹角为________． 12．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m． 四、解答题 13．某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b的值； (2)估计此次测试的平均成绩； (3)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 14．在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. (1)求证： ； (2)求的最小值； (3)若，求△周长的取值范围. 15．设函数 (1)化简； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，求的取值范围． 16．四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A C B A AD AD 11． 12． 13．(1)； (2) (3) 解析：（1）由频率分布直方图可知，即， 又因为，可解得，. （2）此次测试成绩的平均分为：. （3）成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有为，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为. 14．(1)已知，由正弦定理，可得， 化简得，因为△为锐角三角形，所以，所以. （2）由题， 因为△是锐角三角形，，， 所以，则，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，最小值为. （3）由（2）可知，即， 因为， 所以， 周长； 因为，所以， 则周长 15．(1) (2) (3) （1）由 （2）， 由的图象关于原点对称，则, 则，由，故， 故， ,则， 故单调递增区间为 （3）由,则, 由,所以，则 即 在中，,则， 所以,而,所以，得 由正弦定理，, 所以 因为，所以，则， 故. 所以的取值范围为. 16．(1) 证明：如图，连接，交于F，连接． 因为E为的中点，F为的中点， 所以为的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 证明：因为四边形为正方形，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，且E为的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3)过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点． 又因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面PDC，所以平面． 设的中点为Q，连接，则，平面． 以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，． 设是平面ACE的法向量，因为，， 所以令，得． 取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以， 由等边可知：， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量． 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第8页（共9页） 第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $