微专题11 概率的综合应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

(2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的 4.影响：2点和3点的对面(5点、4点)出现的概率会增大，2 中位数相同.理由如下： 点、3点出现的概率会减小 原来4个球的价格（单位：元）按照从小到大的顺序排 依据：在相邻面“2”和“3”内侧粘重物后，骰子重心会向两 列为7.8,89，则中位数为8生8-8， 个面的公共区域偏移，投掷时重心会使“2”“3”面更贴近桌 面，因此它们的对面“5”“4”面朝上的概率会明显提升，而 所剩的3个球价格（单位：元）分别为8,8,9，其中位数 “2”“3”面自身朝上的概率会降低. 也为8， 5.如抽奖转盘游戏. ∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位 原理：部分抽奖转盘会在低中奖率的区域加重物，使转盘重 数相同. ②@列表略，由表格可以看出，所有机会均等的结果有9 心偏移，指针停在高奖励区域的概率降低，停在低奖励/无 种，乙组两次都拿到8元球的结果有4种，所以乙组两次 奖励区域的概率升高，以此控制中奖概率，实现盈利.（答案 不唯一，其他合理例子均可，如作弊骰子、套圈游戏等) 都拿到8元球的概率为： 6.(1)18,0.55 微专题11概率的综合应用 (2)画出频率分布折线图，如下图， 1.B2号 3.2 (2)树状图如下： 开始 充转命新師两 (3)根据表中数据，试验频率为0.70,0.45,0.63,0.59， 0.52,0.55,0.56,0.55,随着试验次数的增加，频率逐渐稳 定在0.55左右， 两数之积1123112322463369 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的 所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在 可能性有7种， 0.55附近浮动. “摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率为 7.（1)同意嘉嘉的观点.列表如下： 1 23 56 4.75.号6.A7.号8B9.B10.B 1 2 3 4 5 6 7 1.号12号 2 8 3 6 7 9 13.2 9 10 (2)画树状图为 5 6 8 、9 10 11 开始 678 9101112 (第一列代表A骰子掷出的可能的数m,第一行代表B骰 子掷出的可能的数n,其他格中数据代表所有m十n的可 乙 能的和.) 丙A B A B A B A B 即每掷一次，m十n的和只能是连续整数2~12中的一个 由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、 丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种 数，故嘉嘉的观点正确. (2)由(1)中列表可知，m十n的和为7的概率最大，故选m “甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是号 十π的和是7，获胜的概率为%-日 子 单元综合复习（五）随机事件的概率 14.(1)200,144: 热门考点突破 (2)B类软件的人数为：200一80一20一40=60（人）； 补全条形统计图如图： .A2.C3.A4B5.C6.B7.g&号9晋 +入数（人） 10.(1)0.25 80 (2)列表如下： 60 40 正 反 20 正 正正 正反 ABCD软件类别 (3)由题意，列表（略），共12种等可能的结果，其中恰好 令 反正 反反 抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，故P=2 共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”的结果有 1种，因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为子=0.25 数学活动骰子与概率 .日12. 1.C2.D3.g 13.(1)3 28 一探究在线·九年 (2)画树状图，如图： 期末重难点提升2一元二次方程 1.C2.B3.C4.D5.C6.C7.D8.49.7 A 3 10.(1)2x2-4x+1=0, B④⑤④⑤④⑤ x2-2x=- 2-2x+1=-号+1， 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， “抽到的数与文字描述相符合的概率为号=号 红-=合-1=±号， 核心素养提升 =1+9a=1-竖。 14.(1)曲线G:y= 2(x>0)过点P(4,t), (2)x2+2x-2=0,其中a=1,b=2,c=-2, ∴△=b-4ac=22-4X(-2)=12>0. == x=-2±12 2 =-1±√3. (②)由1得=合，放P(,2), x1=-1+√3，x2=-1-√5. :直线l:y=一x十b也经过点P, (3)x2-x=2x-2,x(x-1)=2(x-1), ∴把P(4,2)代人y=-x+6,得司 (x-2)(x-1)=0, =-4十b, x-2=0或x-1=0 解得b=4.5.y=-x十4.5； x1=2,x2=1. 令x=0,则y=-0十4.5=4.5， (4)(x-2)2=(2x-1)(x-2), l与y轴交点的坐标为(0,4.5)： (x-2)2-(2x-1)(x-2)=0, 直线1的函数图象，如图所示。 (x-2)[(x-2)-(2x-1)]=0, y (x-2)(x十1)=0， x一2=0或x十1=0， x1=2,x2=-1. 11.(1)①(45-3x) ②依题意，得x(45一3x)=132, 解得x1=4,x2=11. -2-1 当x=4时，45一3x=45一3×4=33>15，不合题意，舍去； 1:y=-x+4.5 当x=11时，45-3x=45-3×11=12<15,符合题意. (3)依题意，在1与两坐标轴围成的三角形内部（不包含 答：饲养场的宽EF的长为11米. 边界)的格点共有6个，分别是(1,3)，(1,2)，(1,1)， (2)不能达到，理由如下： (2,1),(2,2),(3,1),格点(1,2)，(2,1)在曲线G上，即有 设EF的长为y米， 两个格点在曲线G上，即该格点在曲线G上的概率为号 则DE=38+15+2+2=(3y-3》_60,32米， 2 2 依题意，得y60,3y-156, 2 期末复习 整理，得y2-20y+104=0, 期未重难点提升1二次根式 △=(-20)2-4×1×104=-16<0， .该方程没有实数根. 1.D2.2V33.24.75.74 即当点F在线段BC延长线上时，所围成的饲养场 6.(1)原式=35+33+2y5-55=-2W5+113 BDEF的面积不能达到156平方米. 3 (2)原式=2√5-√3+1-2√3+3=4-√5. 12.(1)设所求方程的根为y,根据题意，y是原方程根的相反 7.(1):x=5+1,y=√5-1， 数，因此y=一x,即x=一y, 把x=-y代入原方程2x2-x一5=0，得 .x-y=2,xy=4. ∴.x2-xy十y2=(x-y)2+xy=22+4=4+4=8. 2(-y)2-(-y)-5=0,即2y2+y-5=0. (2)将方程a(2x十3)2+2bx=3(1-b)移项，得 (2)”x=号5+)，y=2W5-3), a(2x+3)2+2bx+3b-3=0. 1 x+y=√5，xy=2: 即a(2x+3)2+b(2x+3)-3=0. 设x=2x+3,则方程变为ax2+bz-3=0, :义+乏=+y-z+y-2型=51=8 故ax2+bz-3=0的根为x=1和之=-3， y xy xy 1 2 当x=1时，2x十3=1，解得x=-1; 8.(1)-a1-b 当x=一3时，2x十3=-3，解得x=-3; (2).-2<a<-1,0<b<1, 则方程a(2x+3)2+2bx=3(1-b)的两个根是x1=-1, ∴.a+2>0,b-1<0,a-b<0. x2=-3. ∴.原式=a十2|-|b-1|+|a-b 期末重难点提升3图形的相似 =a+2-1+b+b-a=2b+1. 1.C2.B3.C4.C5.B 当a=E,6=号时，原式-2+ 6.(-5,-1)7.号8129.号10.571.8 及数学（上）·HD一微专题11 概率的综合应用 类型① 概率与数式的综合 5.从一2，一1,1,2四个数中任取两数，分别记为 1.(中考·福建)在分别写有一1,1,2的三张卡 a、b,则关于x的不等式组 有解的概 片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上 x>b+1 的数恰好互为相反数的概率是 ( 率是 A B号 c D号 类型3 概率与函数的综合 2.（中考·攀枝花)在分别写有数字1到10的10 6.从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数， 张卡片中，随机地抽出1张卡片，抽到卡片上 分别记作m和n.若点A的坐标记作(m,n), 的数字是质数的概率是 则点A在双曲线y=6上的概率是 () 3.一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小 球上各标有一个数字，分别是1,1,2,3.这些 A号 R司 c D.G 小球除标有的数字外都相同. 7.三个完全相同的小球上分别标有数字一2,1,3， (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个 从这三个球中任意取出一个球记为m,不放回， 小球上标有的数字是1的概率为 再取出一个记为n,则能使一次函数y=mx十n (2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上 的图象过第一、第四象限的概率为 标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出 类型④概率与几何的综合 一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画 8.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的 树状图或列表的方法求摸出的这两个小球上 大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 标有的数字之积是偶数的概率. P,则点P落在阴影部分的概率为 () A.g B.go C. D.f 第8题图 第9题图 9,如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶 点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半 堡型②概率与方程、不等式的综合 为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该 4.(中考·成都)从一1,1,2这三个数中任取两 正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内 个数分别作为a、b的值，则关于x的一元二次 的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为 方程ax2十bx十1=0有实数根的概率为 P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与P2的 大小关系为 () 第24章116 A.P<P2 B.P=P2 14.（中考·眉山)在科技的浪潮中，人工智能正 C.P>P2 D.无法判断 以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某 堡型⑤概率与其他学科知识的综合 校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题 10.小唐参加学校组织的《诗词大会》，需要从九 的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智 宫格中选出正确的两个字，填人诗句“海上 能软件A、B、C、D,每个学生可选择其中1类 明月，天涯 此时”，则他答对的 学习使用.为了解学生对软件的使用情况，随 概率为 机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计 A B克 c号 1 D.9 结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图： 人数（人） 80 升 生尽 60 观赏待 40 话共在 20% 第10题图 第11题图 O A B C D软件类别 11.(中考·黑龙江)如图，随机闭合开关K1、K2、 请根据图中信息，解决下列问题： K中的两个，能让两盏灯泡L1、L2同时发光 (1)这次抽取的学生总人数为 人；扇形 的概率为 统计图中A类软件所占圆心角为 度； 12.(中考·德州)把英文单词“PEOPLE”中的字 (2)补全条形统计图； 母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡 (3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有 片上只写其中的1个字母.然后将卡片洗匀， 3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张 准备从这4名学生中随机选择2人进行学习 卡的概率是 成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好 堡型⑥概率的实际应用 抽到使用A、B两类软件各1人的概率， 13.(中考·宿迁)某校建议学生利用周末时间积 极参加社会实践活动.某一周末有两个项目供 学生选择：A.文明交通劝导志愿行，B.乡村教 育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目. (1)甲同学选择A项目的概率为； (2)请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同 学恰好选择同一项目的概率. 117探究在线 九年级数学（上）·HD