微专题9 求锐角三角函数值的常用方法&阶段测评6（23.1-23.3）-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

微专题9成锐角三 类型①】 回归定义 +方法指导+++++++++++++++ 直接根据定义求三角函数值，首先求出 相应边的长度，然后代入三角函数公式计算 即可. 十十十十十w十十十十十十十十十十+十十十十 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√2，AB= √10，则下列结论正确的是 ( A.sinB=25 5 B.cosA=5 C.tanB=2 D.tanA= 2 类型2 巧设参数 +方法指导++++++++++++ 若已知两边的比值，或一个三角函数值， 而不能直接求出三角函数相应边的长，则可 采用设参数的方法，先用参数表示出三角函 数相应边的长，再根据三角函数公式计算它 们的比值，即可得出三角函数值 2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E, cosA=号，则an∠DBE的值是 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC于点 F,连结FB,则tan∠CFB的值等于() A得 R C.53 3 D.5√3 角画数值的常用方法 类型3 )等角转换 +方法指导+++++++++++++十 若要求的角的三角函数值不容易求出， 且这个角可以转化为其他角，则可以直接求 转化后的角的三角函数值. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边 的中点，过D作DE⊥AB,垂足为点E,如果 AD=2,AB=6,那么cos∠ADE= 第4题图 第5题图 5.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、 C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD 相交于点P,则tan∠APD的值为 堡型④构造直角三角形 方法指导++++++++++++ 若要求的三角函数值的角不在直角三角 形中，则需要我们根据已知条件构造直角三 角形来解决 ①非直角三角形中，作垂线构造直角三角形. ②网格中，通过连结格，点或作高构造垂直， 6.如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形 ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B 与C重合，连结A'B,则tan∠A'BC'的值为 C(B) 第6题图 第7题图 7.(江阴月考)正方形网格中，∠AOB如图放置， 则cos∠AOB的值为 第23章94 阶段测评6《2 (时间：45分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对 边分别为a、b、c,则下列选项中不正确的是 A.sinB= B.sinC=c a C.cosB= D.tanB=6 之在△ABC中，若anA-l,sinB-竖，你认为 最确切的判断是 A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形 C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 3.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上， 固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升 3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm B水平面 第3题图 第4题图 4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB, ∠BAD=∠ADE=60°，DE=3,AB=10,CE 平分∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的 长为 () A.4 B.13 C.6.5D.7 5.已知直线11∥2∥13∥14，相邻的两条平行直线 间的距离均为h,矩形ABCD的四个顶点分别 在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=8, BC=l2,则tana的值等于 A号 R c D 95探究在线九年级数学（上）·HD 3.1-23.3) 满分：100分) 第5题图 第6题图 6.如图，△ABC中∠C=90°，AC=8,BC=6,线 段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上 滑动，且DE=6,若点M、N分别是AB、DE 的中点，则MN的最小值为 () A.2 B.3 C.3.5 D.4 二、填空题（每小题4分，共24分） 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，2AB=5BC, 则cosB的值为 第7题图 第9题图 4 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=5,则tanA 9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边 OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为 30°，C为OA的中点，BC=1,则点A的坐标为 10.如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B 点恰好落在AD边上，设此点为F,若AB: BC=4:5,则sin∠CFD= E 第10题图 第11题图 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= 30°，CD⊥AB于点D,DE∥BC交AC于点 E.如果BD=2,那么DE= 12.如图，学校平房的窗外有一 路灯AB,灯光能通过窗户 CD照到平房内EF处.经 过测量得：窗户距地面高OD=1.5m,窗户 高度DC=0.8m,OE=1m,OF=3m,路灯 AB的高为 三、解答题（共52分） 13.(10分)计算： (1)6tan230°-√/5sin60°-2sin45°； (2)2 cos45°-(tan40°+1)°+√4 +sin30°. 14.(12分)已知直线y=2x一4与x轴相交，所 成的锐角为α，求a的三个三角函数值， y=2x-4 Q 0 A 15.(14分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠C= 30°，AB⊥AD,AD=4cm.求BC的长. 16.(16分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sina=sin(180°-a),cosa=-cos(180°-a). (1)求sin120°，cos120°，sin150°的值； (2)若一个钝角三角形的三个内角度数比是 1:1:4,A、B是这个三角形的两个顶点，sinA, cosB是方程4x2一mx一1=0的两个不相等 的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数. 第23章96.∠B=30°.由(1)知，△ACD≌△AED, :AAFE的周长=EF △CBF的周长一C示.六△CBF的周长=2 .'ED=CD=5. .在Rt△BED中，BD=2ED=10. .△CBF的周长=5. .BD的长为10. 答：△CBF的周长为5. 6.C 11.C12.5.7513.B14.B15.(9,-4) 7.(1)由折叠可知，CD=CB, 核心素养提升 B(10,8),.CD=CB=10,OC=8. 16.812 在Rt△ODC中，由勾股定理，得OD=6, 第23章解直角三角形 点D的坐标为(6,0) 23.1测量 (2).OA=BC=10,OD=6, 基础在线 .AD=OA-OD=10-6=4. 1.90BC BC-AC602.C3.C4.3605.1.4m 由折叠可知，BE=DE, 6.B 设AE=x,则DE=BE=8-x, 能力在线 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 7.5.2m8.8尺9.A x2+42=(8-x)2,解得x=3, 10.(1)(15-x) .点E的坐标为(10,3). (2).∠C=90°，.AD2=AC2+DC2. 能力在线 .(15-x)2=(x+5)2+102. 8.B9.D10.1211.2√2 ∴.x=2.5. 12.将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题 .CD=5+2.5=7.5(m) 意可知BC⊥AC, 答：树高7.5m. 拓展在线 :圆柱底面半径为米，π取3， 11.过点P作PH垂直EF,垂足为 “底面圆的周长的一半AC=2X2X3 1 H,如图. AB⊥EF, PH⊥EF,CDI EF, ×9=16米。 .AB∥HP∥CD. :圆柱的高为12米， '.△ABMp△PHM,△CDN∽△PHN. .BC=12米. 锦姗册 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=√/AC+B区=√162+12=20（米）. PH=AB·MH,PH=CD:HN 13.(1)由题意，得AB=30×2=60(海里). MB DN ,∠NBC=60°，∠NAC=30°， AB·MHCD·HN ∴.∠ACB=∠NBC-∠NAC=30. MB DN ∴.∠ACB=∠NAC. 设MH=xm,则HN=(8.8-x)m, ∴.BC=AB=60(海里) 2器-1x882.x=4.4 .从海岛B到灯塔C的距离为60海里 0.8 (2)如图，过点C作CP⊥AB于点P Hp-26-5.5(m. ∴.根据垂线段最短，线段CP的长为小船与 .深坑的深度为5.5米 灯塔C的最短距离. 23.2直角三角形的性质 在Rt△CBP中，∠BCP=90°-60°=30°， 基础在线 ∴PB=2BC=30(海里). 1.B2.C ∴.AP=AB+BP=60+30=90(海里). 3.1CD=2AB=号×8=4. ∴.航行的时间为90÷30=3（时） 8+3=11(时). (2)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴若这条船继续向正北航行，上午11时船与灯塔C的距 ∴∠A=90°-30°=60°. 离最小 :CD=号AB=AD,“△ACD为等边三角形. 拓展在线 14.√17-1 ∴.∠ADC=60° 23.3锐角三角函数 :CELAD,.F是CD的中点，EF=CD=DF 23.3.1锐角三角函数 .△EDF为等边三角形 第1课时锐角三角函数 4.B 基础在线 5.(1)证明：：AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠EAD. 1B2A3.C4号 ∴DE⊥AB于点E. 5.在Rt△BCD中，CD=3,BD=5, ∴∠AED=90°=∠C. ,∴.BC=VBD-CD2=/52-32=4. ∴.△ACD≌△AED(AAS).'.AC=AE 又AC=AD+CD=8, (2)DE⊥AB于点E,E是AB的中点， .AB=√AC+BC=√82+4=4V5. ∴.AD=BD..∠B=∠BAD=∠CAD. :∠B+∠BAD+∠CAC=90°， 则m4器有总 一探究在线·九年 COsA-AC=_8_2/5 又：AD平分∠BAC,∠BAC=60° AB 455 ∴.∠B=30°.∴.AB=2AC=16,BC=AB·sin∠BAC= 16×sin60°=8√3 18.由题意，tanA·cosB= 3 6.A7.26°8.A9.⑤ ,tanA=√3， 3 能力在线 c0sB=月.w万，9为-元二次方程2x-3m+3=0 2 的两个实数根. 10.A11,C12.A13.A14. 15.:nB-器告AD-12 5+员=3m 22 m=√3. AB=15. :c0sB=停，∠B为锐角， 由勾股定理，得 .∠B=30°..∠C=180°-∠A-∠B=90°. BD-√AB-AD=√1F-12=9, △ABC为直角三角形. .BC=14, 拓展在线 ∴.线段DC的长为14一9=5， 19.1 (2)E为边AC的中点，AD是边BC 23.3.2用计算器求锐角三角函数值 上的高， 基础在线 AE=EC=DE.∠EDC=∠ECD. 1.A2.2.143.540.8090 ∴.tan∠EDC=tan∠ECD= AD=1 4.(1)0.7314(2)0.9041(3)1.0000 C 5 5.D (3)过点C作CF⊥AB于点F, 6.(1)a≈39.23°.(2)a≈67.08°.(3)a≈74.26°. 由面积公式知，AD·BC=AB·CF, 能力在线 :.CF-AD.BC_12X14_56 7.(1)0.2395(2)0.7488 AB 15 5 8.16.59.8.16 又AC=√AD+CD=13, 拓展在线 isin∠BMC-能-曾×B-器 10.(1)随着锐角度数的增大，它的正弦值逐渐增大，它的余 弦值逐渐减小 拓展在线 (2)sinl8°sin34°<sin50°<sin62°<sin88°， 16.A c0s18°>cos34>c0s50°>c0s62°>c0s88°. 第2课时特殊角的三角函数值 (3)=<> 基础在线 (4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°. 1.C2.A3.D4.A 微专题9求锐角三角函数值的常用方法 +v2x 5.(1)原式=2× 1B223c49526号号 (2原式=1+6×号-3×（停）=3。 阶段测评6(23.1-23.3) 9+1 1.C2.B3.A4.D5.B6.A7.号8含 (3)原式= 1+3 3×1 3 9.(3,1) 10.号 1.312,3m 6.B7B859.号或号 18原武=6×（停）-×-2×号 能力在线 10.A11.C12.60°13.2y3 3 14,6-2 =6×号-号-巨 15.原式=3×得-+唇×竖+V1-3 3 1 (2)原式-号×号-1+名+号 =3-2+2+3-1 =-1+1 =2√3-1. 16.sina-号，且a是锐角，a=45 14.直线y=2x一4的图象与x轴的交点A为(2,0)，即OA ,∴.3cos2a+sin(a-15°)tan(a+15°)-√3cos(a-15°) =2,与y轴的交点B为(0，一4)，即OB=4. =3cos245°+sin30°tan60°-√3cos30 则AB=√22+4=2√5. =3x()'+号×-×9=+9-- ÷.sia=sin∠BA0=AB25-方 OB4_25 17.:在R△ACD中，AC=8,AD=165,∠C=90, COsa-cos_BAO-OA=_2-5 AB2√55， ∴DAC--AS-.∴∠DAC=30 aean∠BA0-8贺-告-2 及数学（上）·HD一 25 15..AB=AC,.∠B=∠C=30°. 在Rt△AEB中，∠A=30°， AB⊥AD, .AE=AB·cos30°=40Xcos30°=20√3km .BD=2AD=2X4=8(cm),∠B+∠ADB=90°. BE=AB·sin30°=20km. ∴.∠ADB=60°. 设AC=BD=xkm, ∠ADB=∠DAC+∠C=60°， AC∥BH,.∠A=∠PBH .∠DAC=30.∠DAC=∠C. (∠A=∠PBH, .'DC=AD=4 cm. 在△APC和△BHP中，AP=BP, .BC=BD+DC=8+4=12(cm). C∠APC=∠BPH, 16.（1)由题意，得sm120°=号os120=-名sm150=号 .△APC≌△BPH(ASA), 2 .'AC=BH..'BD=BH. (2),一个钝角三角形的三个内角度数比是1：1：4， ∴.∠HDB=∠BHD=45 ∴.三个内角分别为30°，30°，120°， ∠ECD=90°-45°=45° 当∠A-30°，∠B-120时，方程的两根为号，-分， ∴.∠ECD=∠HDB.∴.CE=ED. .20W3-x=20十x, 将=号代人方程，得4×（合）}”-m×号-1=0， 解得x=10√3一10≈7.3. 答：甲航行的距离AC约为7.3km. 解得m=0,此时方程为4r-1=0,经检验，-号是方程 拓展在线 4x2一1=0的根， 15.号 .m=0,∠A=30°，∠B=120°，符合题意. 第2课时仰角、俯角与解直角三角形 同理，当∠A=120°，∠B=30°以及当∠A=30°，∠B=30° 基础在线 时，方程的两根均不符合题意. 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120° 1.B2.4903.1203 4.(1)如图，作BE⊥AD于点E, 23.4解直角三角形 ∠A=30°， 第1课时解直角三角形及其简单应用 基础在线 :BE=sn30XAB=合×AB=20(m. 1.D2.C3.c4B5.9 6.7.47.1.8 (2)在Rt△ABE中，AE=cos30°XAB 40m 8.过点O作OD⊥AB于点D, =9×40=20v5. 在Rt△AOD中，∠AOD=90°-60°=30°， 00 ∠DBC=75°， OA=25×2=50(海里)， ∴∠ADB=∠DBC-∠A=75°-30°=45°. 0D=0A·c0s30°=50X5- ∴∠EBD=90°-45°=45°，∴.DE=BE=20m. 2 ,.AD=AE+DE=(20+20W3)m. 25√3（海里）. ∠C=90°，∠A=30°， 在Rt△ODB中，∠DOB=45°， ∴.OB=√2OD=25√3X√2=25W6(海里). CD=sin30XAD=号AD=(10+10w月)m 5.(1)过点A作AE⊥CD,垂足为E, “轮船乙的速度为25y5海里/小时。 由题意，得AE=BD,AB=DE=46m, 能力在线 在Rt△ADE中，∠EAD=B=37°， 9.D10.A1.1012.g5 器0661.3m. ..AE=DE 13.(1)过点B作BF⊥AC于点F, ∴.BD=AE≈61.3m. DE⊥AC,点D为BC的中点， .两楼之间的距离BD约为61.3m (2)在Rt△ACE中，∠CAE=45°， ∴.DE∥BF,DE为△BCF的中位线 ..CE=AE·tan45°≈61.3(m). ∴.BF=2DE=4. .CD=CE+DE≈61.3+46=107.3(m). '∠ABC=∠CFB=90°， ∴.大厦的高度CD约为107.3m. ∴.∠C=∠ABF..∴.tan∠ABF=tanC= 2 能力在线 6.B7.180 ∴AF=2..AB=√4+2=2√5. 8.如图，延长DC交AN于点H,则DH⊥AN, (2)在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2, g- D .CE=2√3.∴.EF=CE=2W3. 在Rt△BEF中，BE=√(2√3)2+42=2√7， EA-能-行2 在Rt△BCH中，∠BCH=∠B=78.5°， .CH=CB·cos78.5°≈10X0.2=2m, 14.如图，延长AC、DB交点为E,过点B BH=CB·sin78.5°≈10X0.98=9.8m, 作BH⊥BD交CD于点H.由题意， .DH=CD+CH=1.6+2=3.6m, 得∠E=90°，∠HBD=90°， 在Rt△DAH中，∠DAH=∠a=8.5, :A、B之间的距离为40km,灯塔P DH 3.6 在AB的中点处， AH=tan8.5≈0.i5=24m, ∴.AP=PB=20km. .AB=AH-BH=24-9.8=14.2m, .河宽AB约为14.2m. 26 探究在线·九 拓展在线 (2)延长CD交AM于点F, 9.延长BC交直线l于点F,过点A作 :CD⊥BN,BN∥AM, AE⊥L,垂足为E,则BF⊥L, .CD⊥AM, 由题意，得AE=BF=40米，AB= ∴.四边形BDFE是矩形 EF=70米，在Rt△ADE中， ∴.DF=BE=10米，BD=EF A309 ∠ADE=45°，DE=,AE =40(米) 设CD=x米，则CF=CD+DF=(x+l0)(米)， tan45 .DF=EF-DE=70-40=30(米)」 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， 在Rt△CDF中，∠CDF=30°， ..AF= 8-u+10米 CF CF=DF·tan30°=30×=10V3(米). 、3 :在Rt△BCD中，∠CBD=60°， '.BC=BF-CF=40一10√3≈23（米）. ∴BD= tan/CBD tan60°32(k、 CD .楼房高度约为23米. 第3课时利用坡角或坡比解直角三角形 EF-BD=3, 3x米 基础在线 1.B2.B3.A4.D5.15√5m 由(1)有AE=3BE=3×10=30(米)， 6.AB⊥BC,∴∠ABC=90. 在Rt△ABD中，∠ADC=15°，AB=5米， AF=AE+E,B+10)-30+9x ·BD=AB 解得x=15√3-15， tam15≈0.27≈18.52（米）. 5 .CD=(15√3-15)（米）. .BC=12米， ∴.CD=BD-BC=18.52-12≈6.5（米）. 即建筑物的高度（即CD的长）为(15√3-15)米. .斜坡改进后的起点D与原起点C的距离约为6.5米， 微专题10解直角三角形的实际应用 7.(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E, 1.过点B作BD⊥AC于点D, 在Rt△ABE中， 则∠BDC=∠ADB=90°. ∠A=a=16°，AB=200m, ∠ABD=31°，∠CBD=61°， 则BE=AB·sinA≈200×0.28=56m, 设BD=n mile, 答：小明一家步行上升的垂直高度约为 4 ∴.AD=BD·tan31°，CD=BD·tan61 56m. 'AC=10 n mile, (2)如图，过点B作BF⊥CD于点F, .x·tan31°+x·tan61°=x(0.60+1.80)=10. 则四边形BEDF为矩形， ∴.DF=BE=56m. ∴.x≈4.2，即BD≈4.2(n mile). .CD=296m, 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2 n mile.. .CF=CD-DF=296-56=240m. 2.如图，过点B作BF⊥AC于点F,由 在Rt△CBF中，∠CBF=B=37°， 题意，得 则Bc-snCB*88-400m CF ∠CAB=180°-70°-50°=60°，∠EBA= ∠BAD=50°，AB=1X20=20(海里). 答：缆车的行驶路线BC的长约为400m. ∠CBE=25°， 能力在线 .∠CBA=∠CBE+∠EBA=75°. 8.B9.D .∴.∠C=180°-∠CAB-∠CBA=45° 10.作EF⊥AB于点F,延长ED交 BC的延长线于点G,则EG⊥BG 在R△ABF中，BF=20×5-10V3(海里)， 2 在Rt△CDG中， 在Rt△CBF中，BC=√2BF=10√6≈24（海里）， tan∠DCG= .灯塔C与码头B的距离约为24海里. 设DG=3x,则CG=4x, 3.55 (3x)2十(4x)2=102,解得x=士2（负值舍去）， 4.如图，延长DF与AB相交于点G, .DG=6,CG=8. 根据题意，可得DG∥CA, 在矩形BGEF中，BG=EF=15十8=23，BF=EG=6十 有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB 1.6=7.6. =90°，AG=EF=CD=1.7, 在Rt△AEF中，∠AEF=24°， DF=CE=32, .AF=EF.tan24°≈23X0.45=10.35. 在Rt△FGB中，tan∠GFB=GS, GF,..GF=. GB .AB=AF+BF=10.35+7.6=17.95≈18.0（米） n313. 答：树高AB约为18.0米. 拓展在线 在R△DGB中，an∠GDB-需GD=CB tan22 11.(1)过点B作BE⊥AM于点E,则∠AEB=90°. GB “斜接AB的坡度：噩方AE=8BE PGF+DF=GD,.3+32=22 解得GB≈38.4. ,在Rt△ABE中，AE2+BE=AB, .AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40. 即(3BE)2+BE2=(10√/10)2，∴.BE=10米. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. .平台BN的高度是10米. 5.(1)3045 年级数学（上）·HD