第23章 解直角三角形 章末考点整合与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

章末芳点整 01分点突破 考点一直角三角形的性质 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E, AC=6,则CD的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边 AB的中点，CD=3,AC=2,则BC的长为( A.3 B.4 C.6 D.42 考点二利用定义求锐角三角函数值 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,下 列各式中，正确的是 AanA=号 B.COsA=1 C.sin D.tanB号 4.如图所示，∠AOB是放置在 正方形网格中的一个角，则 sin∠AOB的值是 考点三特殊角的锐角三角函 数值 5.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，则 这个三角形最小角的正切值为 B C3 3 D 6在△ABC中，若c0sA=号，anB=5,则这个 三角形一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 91 合与素养提升 7.计算：2cos60°-sin30°+tan45°= 考点四解直角三角形 8.如图是教学用的直角三角板，边AC=30cm, ∠C-0,tan∠BAC-9,则边BC的长为 ( A.30√3cmB.20√3cmC.10W3cmD.5√3cm 2A6.7A 30° 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2,cosC -号，则AB边的长为 考点五解直角三角形的实际应用 10.某滑雪场用无人机测量雪 50°y个45 道长度.如图，通过无人机 的镜头C测一段水平雪道 A 一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角 为45°，若无人机镜头C处的高度CD为 238m,点A,D,B在同一直线上，则雪道AB的 长度为 m.(结果保留整数，参考数据 sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) 11.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意 图，AB,BC可分别绕点A,B转动，测量知 BC=8cm,AB=16cm.当AB,BC转动到 ∠BAE=60°，∠ABC=50°时，点C到AE的 距离为 cm.(结果保留小数点后一位， 参考数据：sin70°≈0.94，√3≈1.73)》 92 02真题演练 12.(2025·上海)如图，某博物馆大厅电梯的截 面图中，AB的长为12m,AB与AC的夹角为 a,则高BC是 ( A.12sing m B.12cosa m C.12m D.12m sina coSa B 12m ?m a 145 60B 第12题图 第13题图 13.(2025·北京)如图，某数学兴趣小组测量 棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰 角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为 60°，且A,B,D三点在同一直线上，若AB= 16m,则这棵树CD的高度是 ( ) A.8(3-√3)m B.8(3+√3)m C.6(3-√3)m D.6(3+√3)m 14.(2025·广西)如图，在4×4网格正方形中， 每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 △ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值 是 ( A.5 B.10 C.26 4 5 5 5 D.5 B………i… 第14题图 第16题图 15.(2025·广东)计算：2022°+√4+ 一2 sin30°=· 16.(2025·陕西)如图，已知sin0= 3,0A=6, 点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角 三角形时，则AP= 03素养提升 17.(2025·四川)如图，某数学兴趣小组为了测 量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从 与古树底端D在同一水平线上的点A出发， 沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m 到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离 后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端 E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树 DE的高度（参考数据：sin37°≈ 5,C0s37°≈ an37≈，计算结果用根号表示，不取近 4 似值)： B 37 60 =2:5∴.△ABG≌△CDG(AAS), ∴.AG=C'G: 13v5-1:2②)号 (2)由(1)可知△ABG≌△C 16tanB=子cosB=号 3 DG,∴.GD=GB,∴.AG+GB= AD,设AG=x,则GB=8-x, 17.旗杆AB的高度约为17m. 方法技巧专题 求锐角三角函数的 在Rt△ABG中，.AB2+AG 常见四种方法 =BG,即62+x2=(8-x)2, 解得x= 4,sin∠ABG= 1.B2号 7 3.sin∠BAD= AG 4 BG 8西 1 4. 5 6.2 7.C 第2课时特殊角的三角函数值 8sin∠EBC- 14 1.C2.A3.D4.A 5.45°6.40° 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形 7.(1)1+ 2(2)- 1 ：(3)11. 1.C2.A 8.60°9.60 3.∠A=30°，∠B=60°，AB=4V6. 4.B5.B6.2 10.B11.A12.30° 13.(4,√3) 7.AB=15. 14.(1)6:(2)1. 8.60°或120°4或2 15.(50/3+50)m. 9.D10.A11.A12.B 16.(1)2-3:(2)√2-1. 13.60 23.3.2用计算器求锐角 14.AF=2√5-√6 三角函数值 1.B2.(1)0.4136;(2)0.6115 15.(1)证明略；(2)tan∠EDF= 3 3.(1)0=5619':(2)0=414': 第2课时仰角、俯角 (3)0=7352:(4)0=710'. 1.B2.B3.C4.1824 4..cos∠BAC=0.625, 5.9.56.(20√5-20) .∠BAC≈51.3°. 7.58.A9.20√510.14.4 5.(1)111:(2)11; 11.CD的长度约为54m. (3)设a为锐角，tana·tan(90° 12.如果船不改变航线继续向西 -a)=1: 航行，没有触礁危险. (4)1. 13.(1)AB=25.6(m) 6.(1)随着锐角度数的增大，它的 (2)经过12s时，无人机刚好离 正弦值逐渐增大，它的余弦值 开圆圆的视线EB. 逐渐减小： 第3课时坡度和坡角 (2)sin18°<sin34°<sin50°<1.A2.B3.280 sin62°<sin88°，cosl8°>cos34° 4.30°和20√5米5.606.2√5 >c0s50>c0s62°>c0s88. 7.A8.B9.A10.A (3)= 11.3412.21013.1.5 (4)sinl0°<cos70°<sin50°<14.水坝原来的高度为12米. cos30°. 15.需要拆除.理由略。 阶段提升自测（三）】 章末考点整合与素养提升 1-5 DCABC 6-8 CAA 9.110.②③④11.6 1.B2.D3.A 5.C 7 12.号114员 6.D7.号 8.C9. 16 49 10.43811.6.312.A13.A 11 1.42 1 14.C15.316.23或3√/2 2. 4.D5.D 17.古树DE的高度为(40-10/3)m 6.买一张彩票可能会中奖，买100 第24章随机事件及其概率 张彩票不一定中奖。 24.1在重复试验中观察随机现象 7.A8.D 第1课时确定事件与随机事件 9.(1)0.68,0.74,0.68,0.69, 1.B2.B3.C4.=5.B 0.705,0.701;(2)当n很大时， 6.(1)、(2)、(4)是随机事件，(3)是不 落在“铅笔”的频率将会接近0.7； 可能事件，(5)是必然事件. (3)获得铅笔的概率是0.7； 7.(1)n=2.(2)n=6.(3)2<6. (4)圆心角的度数为252° 8.(1)不可能(2)C 10.(1)“3点朝上”出现的频率是 第2课时用频率估计事件 6 发生的机会的大小 品-。“5点朝上”出现的频 1.C2.C3.12 率是器=方：2)小预的说法 1 4.(1)0.180,0.170,0.167,0.165, 0.168,0.163;(2)0.167;(3)通过 是错误的.这是因为：“5点朝 多次试验，对其他点数出现的频： 上”的频率最大并不能说明“5 率进行观察，均稳定在石附近， 点朝上”这一事件发生的概率 最大.只有当试验的次数足够 5.8个. 大时，该事件发生的频率稳定 6.(1)取出白球的机会是子： 在事件发生的概率附近；小红 的判断是错误的，因为事件发 (2)袋中的红球有6个. 生具有随机性，故“6点朝上” 24.2随机事件的概率 的次数不一定是100次. 24.2.1概率及其意义 11.(1)P(抽到的是不合格品)= 1.C2.A3.D4.A5.A 1 6.(1)P(抽到两位数)= 2 (2)共有12种情况，其中 抽到的都是合格品的情况有6 (2)P(抽到的数是2的倍数) 种，P(抽到的都是合格品)三 立：(3)P(抽到的数大于10)= :(3)x的值大约是16. 1 品 24.2.3列举所有机会均等的结果 7.D8.B9.A10.A11.B 1.C2.D 4.10 5.B 12号138 6.B7.C 8.4 9.C10.B 话名 9 11.B12.9 (2)需要在这个口袋中再放入 2个白球. (2)1 15.(1)由于B、C下面标2，说明它 们为中心的8个方格中有2个 15.)号，(2)图略，向西参观的 地雷，而C的右边已经有一个， 概率较大。 A就是一个地雷，还有一个 章末考点整合与素养提升 可能在B、C的位置， 1.B2.2.83.D4.A5.A ∴.现在还剩下2个地雷； 1 (2)根据(1)得PA有地雷)=1， 6.4 7.(1)总共12种情况.图略；(2) 这个游戏对甲、乙双方不公平， 24.2.2频率与概率 明显乙获胜的概率更高. 50 8.A9.C (2)画树状图略，抽到的两张 10.司 卡片恰好是“丝丝”和“核核” 13平 1号 的概率为行 15 夹册《提分专练》参考答案 专练01二次根式的双重非负性 +3,即2<c<8, 典例导练 ∴.原式=√(c-2)7 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴.y √c-8r 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, =1c-21-2c-81=c-2-8 解得x=士8，.x十y=11或-5. 知能检测 1.由题意得，2十6=0' /2m-4=0 专练03最简二次根式 典例导练 解得 /m=2 由题意得：1-x>0,∴.x-1<0,∴.(x n=-3' ∴.√m+=√13. =-1- 2.由题意，得(m-3)≥0，∴.m≥ 1 3,∴.2m-4>0,∴.2m-4+n =-1-x +2|十√(m-3)7十4=2m可知能检测 化简为：2m-4+|n+2|+ 1.(1)D(2)D √(m-3)r+4=2m 2.由题意，得2x+1=x十3，解得：x ∴.n+2|+√(m-3)m=0, =2,∴.A=55,B=35, .n+2|≥0，/(m-3)n≥0， A+B=C,.C=A+B=8√5 ∴.n+2=0,(m-3)=0, =√320，C=√/10x十3y, .n=-2,m=3,.(m十n)224= ∴.10x+3y=320,∴.20+3y 12024=1. 320,解得：y=100,.√2y-x 专练02运用√/a=|a化简 =√2×100-22=/196=14. 典例导练 专练04二次根式的混合运算 原式=|a-1|+a-3|,当a<1 典例导练 时，原式=(1-a)+(3-a)=4-2a 原式=[(2√2+3)(2√2-3)]203· =2,解得a=1(舍去)；当1≤a≤3(2√2-3)-2-11-21=(8 时，原式=(a-1)+(3-a)=2=2, 9)2·(2√/2-3)-√2+1-√2= 符合条件；当a>3时，原式=(a一1) -2√2+3-2+1-√2=4-42. +(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍 知能检测 去.∴.a的取值范围是1≤a≤3. 知能检测 1)Vm×8-6X5=√400 2 1.(1)-a1-b (2)由题意，得a<0,1<a<2,b /=20-5=20-3=17 N >0,0<b<1, ∴.a+1<0,a+b0,b>0, (2)(1-2√3)2-(2-√5)(2+√5) ∴.√(a+1)+-√(a+b) =1-43+12-(4-3) =la+1+61-la+b =1-4w3+12-1=12-43 =-a-1+b+a+b=2b-1. (3)(5+2)(W5-2)+|1-√2| 2.由三边关系定理，得5-3<c<5√5×6=5-4√2-1-32=-22. 51