第23章 解直角三角形 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

B-- 第23章学情评估 评估内容：解直角三角形 (时间：100分钟满分：120分) 一 、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,则cosA的值为 A. 1 2 B.2 C.5 D.26 5 5 2.(中考·镇江)如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道 向上走了120米到达点B,则她沿垂直方向升高了( ) 120 120 密 tanl0米 s0米 B 尔 C.120tan10°米 D.120sin10°米 6 A B 10° 246x 封 A 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1)、B(4,1)、 C(5,6),则sin∠BAC= ( A.2 B.3 5 C.② 2 线4.若（√3tanA-3)2十|2cosB-1|=0,则△ABC是 ( A.直角三角形 B.等边三角形 洲 C.含有60的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 5.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M,过 点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若 AN=1,则BC的长为 A.4 B.6 C.43 D.8 M 20 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，F是 线段DE上的一点.连结AF、BF,∠AFB=90°，且AB=8, BC=14,则EF的长是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距 离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的 身高为1.7m,则树高为 () A.3.4m B.4.7m C.5.1m D.6.8m 8如图，在△ABC中，∠B=45,snC-,过点A作AD1 BC于点D,AB=2√6.若E、F分别为AB、BC的中点，则 EF的长为 () A.2 B.③ C 3 D.4 3 2 FD 0 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点A的营地出发， 沿北偏东15°方向走了5（√3十1）km到达C地，然后再沿 南偏东30°方向走了若干千米到达B地，测得A地在B地 南偏西45°方向，则B、C两地的距离为 () A.52 km B.55 km C.5 km D.5√3km 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的 坐标为(10,4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=专 若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积 分成相等的两部分，则直线1的解析式为 () A.y=3x C.y=-2x+11 D.y=-2x+12 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.已知：c0s(a-15)=7,则a= 2.如图，PI2,a)在反比例函数y0图象上，PH⊥x轴于 点H,则tan∠POH的值为 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 0 H C D 图① 图② 第12题图 第13题图 13.图①是位于市区的“铁军”雕塑，是盐城市标志性文化名 片，将其抽象成图②所示的图形，线段AB表示“铁军”雕塑的 高，点B、C、D在同一条直线上，且∠ACB=60°，∠ADB=30°， CD=17.5m,则线段AB的长约为 m.（计算结果保留 整数，参考数据：√3≈1.7) 14.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,D是 BC上一点，若tan∠BAD=号，则BD的长为 A D 第14题图 第15题图 15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平 地.BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长26m,斜坡AB的坡 比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该 斜坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可 确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B 沿BC至少向右移 m时，才能确保山体不滑坡.（取 tan50°≈1.2) 三、解答题（共75分） 16.(6分)计算： (1)2cos30°-tan60°+sin45°cos45°； (2)(-1)2o25+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°. 09 17.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分 别为a、b、c,其中a=4,b=4√3，求∠A、∠B和边c. 18.(8分)荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发 现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m,将它 往前推送至点B,测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF= 1.1m,此时水平距离BC=EF=1.8m,秋千的绳索始终 拉得很直，求绳索AD的长度. 19.(8分)如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD 的中点 (1)求证：EF⊥BD; (2)若∠BAD=30°，AC=10,求BD的长. 10 20.（10分)（中考·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m,从甲 楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为 18m,求乙楼的高.（参考数据：tan35°≈0.7） 359 30m 21.(12分)（中考·威海）问题提出 已知∠a∠9都是镜角，tana=2,tang=日，求∠a十∠B的 度数、 问题解决 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出 ∠BAD和∠CAD,请你按照这个思路求∠a十∠B的度 数.（点A、B、C、D都在格点上) 备用图 备用圈 策略迁移 (2)已知∠a、∠3都是镜角，taw-号，amg-多，则∠a十 ∠B=°； (3)已知∠a∠R、∠9都是锐角，taa=专tang=号，∠a十 ∠3=∠0，求tan0的值. (提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出 答案) 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 22.(12分)（中考·海南）现有一台红外线理疗灯（如图①所 示)，该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯 臂DE组成，A、B、C三点在同一直线上，图②是该设备的 平面示意图.AC垂直于AF,AF与水平线1平行，CD与L 的夹角为∠1，DE与1的夹角为∠2.经测量，AB为 12cm,BC为26cm,DE为30cm,∠BCD=154°，∠CDE =63°. (1)填空：∠1=°，∠2=°； (2)已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用 效果最佳，求此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：sin26°= 0.44,c0s26°=0.90，sin37°=0.60，c0s37°=0.80) C 图① 图② 23.(13分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶 点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA=8,OC=4,P为对角 线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB,PQ交x轴于点Q. (1)tan∠ACB= (2②)在点P从点C运动到点A的过程中，品的值是香发 生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出 其值.△HDE∽△HAD. 把(52,760)，(53,740)分别代入，得 開品器盟 EH 0设+8解得传1 1740=53k+b, DH-GH,EG-EH AG GH ·y与x的函数表达式为y=一20x+1800(50≤x≤ 75). .AG·EH=EG·GH. (2)根据题意，得(x一50)y=6000, (38眼-2 .提示： ∴.(x-50)(-20x+1800)=6000. 解得x1=60,x2=80. 8開醋 GE EE=心E =n=AG .50≤x75,∴.x=60. GH 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元. 设EH=a,.EG=an. 22.(1)如图①，四边形ABCD是正方形，.BC=AD. ..GH=DH=an+a=a(n+1), AG=2a品：GH=·aa+1)=a(r+m. ..AE=AG+GE=a(n2+2n), CE∥AD,△CFB△AFD.票-器=÷ 由(1)得△ADE≌△DCF :△CEF与△CDF在EF,DF边上的高相等， ∴.AE=DF=a(n2+2n). 器瑞 二-影-子二的位是 (2)证明：如图②，，点E是BC的中点， 期中学情评估 1.D2.C3.C4.A5.A6.D7.B8.B9.C10.A CE-BE-2 BC.CE-AD. 1.512.-av13.514.号 15.22y13 3 CE∥AD,ACFEAAFD,÷器-器-合 =2 16.1)原式=2√20-35-5=45-35-5=45 :FG⊥BC于点G,.∠FGC=∠ABC=90°. 5 5 5 .FG∥AB. (2):x=2-√3，x2=(2-3)2=7-4V3. ∴.原式=(7+4√3)(7-4W3)+(2+√3)(2-√3)+√3= 49-48+4-3+√3=2+√3 17.(1)(2)如图所示. 图① 图② 23.(1)∠DFA=∠ACB=90°，∠DAF=∠CAB ÷△DFAo△BCA器-8 在Rt△ABC中，AB=0.5m,BC=0.3m, 18.(1)证明：，△=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=1>0, 由勾股定理，得AC=√AB2-BC=0.4(m), ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根。 (2),该方程的两个实数根为a、b, AP-168S9DF-12m. .∴.a+b=2m+1,ab=m2+m. ∴.DE=DF+EF=12+1.5=13.5(m). ,(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b 答：古树的高度DE为13.5米. =2(a2+2ab+b)+ab=2(a+b)2+ab, (2)·∠DFB'=∠A'C'B'=90°，∠DB'F=∠A'B'C', .2(a+b)2+ab=20...2(2m+1)2+m2+m=20. 整理，得m2十m-2=0,解得m1=-2,m2=1, ∴△DFgn△Acg.÷器-咒÷需=品 .m的值为-2或1. .BF=9(m)..16-9=7(m). 19.(1)(√128+√50)×2=(8√2+5√2)×2=13√2×2= 答：小丽向前移动了7米. 26√2（米）， 第23章学情评估 答：矩形ABCD的周长为26√2米. 1.C2.D3.C4.B5.B6.B7.C8.A9.A10.D (2)√128×√50-2×（√/13+1）×（√13-1）=8√2X 1.75°12.2 13.1514.215.10 5√2-2×(13-1)=80-24=56（平方米）， 6×56=336(元). 16.1原式=2×9-5+号×号=-5-后+宁=宁 2 答：购买地砖需要花费336元 20.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， (2)原式=-1+2×5-5+5+65) 2-2+2 .DC∥AE,∠A=∠C. =-1十√2+3=2+√2. ∠EDB=∠A,∴∠EDB=∠C 17.在Rt△ABC中，∠C=90° :∠DBF=∠CBD,.△BDF∽△BCD (8△BDF0△BCD,÷器-器脚若=3 ∴.tanB= -45=5.:∠B=60 a 4 3w√5 9 ∠A+∠B=90°，∴.∠A=90°-∠B=90°-60°=30. .BF=5.DC∥AE,.△DFCc∽△EFB. ∴.c=AB=2BC=2X4=8. 邵-品脚号-跟 答：∠B=60°，∠A=30°，c=8. 5BE' 18.设秋千的绳索AD长为xm,则AB为xm, 又.AB=CD=4,.BE=5. 四边形BCEF是矩形，.CE=BF=1.1m. 21.(1)由题意可知，y是x的一次函数. :DE=0.5m,.CD=0.6m则AC为(x-0.6)m, 设y与x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 一探究在线·九年 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 同理，得四边形CAMN为矩形， AC+BC=AB,即(x-0.6)2+1.82=x2,解得x=3, .MN=AC=AB+BC=12+26=38 cm. .绳索AD的长度为3m, ,EM为50cm, 19.(1)证明：连结BE、DE, ..GH=EN=EM-MN=50-38=12 cm. ·∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC GE∥CN∥AF,.GE∥L..DG⊥1. BD的中点， :DE为30cm,∠2=53°， BE=号AC,DE=合AC .∠EDG=90°-53°=37° .'.DG=DE·cos∠EDG=24cm. ∴.BE=DE .DH-DG+GH-24+12-36 cm. F是BD的中点，EF⊥BD, ∠1=64°，.∠CDH=90°-64°=26° (2)由(1)知，AE=BE=DE. ..DC= DH ∴.∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA, cos∠CDH=40cm. ,∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD十∠EDA, ∴·∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+ 28.(07 ∠EDA.即∠BED=2(∠BAE+∠EAD)=2∠BAD=2 ×30°=60° (2器的值不发生变化，其值为宁 BE=ED,△EBD是等边三角形. 理由：过点P作PF⊥OA于点F,FP :BD=BE=2AC=×10=5. 的延长线交BC于点E, 2 PE⊥BC,四边形OFEC是矩形. 20.标注字母，如图， ∴.EF=OC=4.设PE=a,则PF=EF-PE=4-a. 在Rt△CEP中，tan∠ACB-CE=Z, PE 1 ..CE=2PE=2a..BE=BC-CE=8-2a=2(4-a) PQ⊥PB,∴∠BPE+∠FPQ=90°. '∠BPE+∠PBE=9O°，∴∠FPQ=∠EBP. 由题意，得四边形AEDC为矩形， '∠BEP=∠PFQ=90°，∴.△BEP△PFQ. ∠BAC=35°，AE=18m,DE=30m, PE-BEBP .∴.∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE= 焉膘-昭品-242.Q-g 18 m,AC=DE=30 m. ~在Rt△ABC中，tan∠BAC-BC, a=2 .BC=AC.tan∠BAC=30Xtan35°=30X0.7=21m. 第24章学情评估 ∴.BD=BC+CD=21+18=39m. 1.B2.B3.D4.D5.C6.A7.B8.D9.B10.A 答：乙楼的高为39m. 21.(1)如图①中，连结BC 1.随机12.13.314.1515.日 AB=BC=W2+22=√5，AC=√2+3z=√10， 16.(1)从中抽取4个球，必有一个红球是必然事件 .AB2+BC=AC」 (2)从中抽取一个球是蓝球是不可能事件. ∴△ABC是等腰直角三角形 (3)从中抽取一个球是红球是随机事件. .∴.∠ABC=90°，∠BAC=45° (答案不唯一) ∴∠a十∠B=45° 1.品合日 29 (2)90 (3)如图② (2)设需要在这个口袋中再放人x个白球， 由题意知，ano=tan∠GDH=} 得日解得4-2， 经检验，x=2是原分式方程的根. tang=taa∠HDF=7, 答：需要在这个口袋中再放入2个白球， ∴∠a=∠GDH,∠B=∠HDF 18.(1)0.59116(2)0.6 ,∠a+∠B=∠8， (3)12÷0.6-12=8(个) ∠O=∠GDH+∠HDF=∠GDF. 答：除白球外，还有8个其他颜色的小球。 ,DG=√22+62=2√W10,GF=√2+3=√10，DF 19.由题意，可画树状图为 廾始 √2+7下=5√2， ∴.DG+GF2=DF2 △DGF是直角三角形. 乙ABC A B tang=tan∠GDF-G 10 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙 DC2√o=2· 两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， “这甲，乙两辆车从同一出口驶出的概率是号=子 20.(7 图① 图@ (2)画树状图如下： 22.(1)64;53 (2)过点C作CN⊥EM于点N,过点D作DH⊥CN,过 第1个球 点E作EG⊥DH,如图所示. .四边形EGHN为矩形， 第2个球 级数学（上）·HD一 31